Markov状态转换机制的GARCH模型研究

谢婷婷+张佳未+朱涛+江孝感

摘要：为了更好地描述存在结构转换的时间序列的波动性，将马尔科夫链和状态转换机制引入GARCH模型，定义了MRS-GARCH模型，使GARCH模型的预测精度和持续性问题得到改善。鉴于还没有MRS-GARCH模型的稳定性和矩的存在性的相关研究，因此，基于马尔科夫链的理论以及几何遍历性和有限矩的简单假设，并使用漂移函数阐述了MRS-GARCH的稳定性和矩的存在性的充分条件。

关键词：MRS-GARCH模型；稳定性；矩的存在性

中图分类号：F224文献标志码：A文章编号：1673-291X（2014）11-0136-03

引言

如果观察长时期的金融时间序列，就可以发现许多时间序列存在戏剧性中断。Diebold（1986）和Lamoureux，Lastrages（1990）的研究发现，波动过程中的结构性变化有较高的持续性，若仅用一个模型来描述效果不佳。传统的模拟方法是ARCH模型、GARCH模型、ARCH模型族以及随机波动（SV）模型。ARCH模型族和随机波动模型通常利用过去的样本数据拟合模型参数，然后以估计的模型为基础，获得方差波动的预测结果。其隐含的假设是拟合期数据与预测期基于同一参数模型，即结构不变。然而，金融市场的变结构是存在的，金融市场的波动性建模同结构转换相结合的问题很值得研究。GARCH模型系数固定不变，不能反映波动的结构变化，波动预测和动态风险管理还不够完善。1989年，Hamilton利用马尔科夫转换模型（MS模型）分析了美国的经济周期机制，提出描述经济周期状态的方法。由于MS模型描述了不同状态或机制下，经济行为的不同特征，故MS模型又称为区制转换模型（RS模型）。MS模型与一般的时变参数模型的主要区别在于它的参数取决于经济所处的状态，而状态通常由经济理论或现实等确定，状态转换模型在研究长期经济行为和短期波动行为方面应用广泛。Hamilton，Susmel（1994）将马尔科夫状态转换模型（MRS）与异方差模型相结合（MRS-ARCH模型），应用于美元汇率分析，并利用纽约股市数据进行实证，有效地辨识了波动过程的异常波动点。MRS-ARCH模型可以描述时间序列的结构性变化，改善了GARCH模型的预测精度和持续性问题。而在国内的研究中，虽然GARCH模型在时间序列的波动性建模中应用广泛，但对GARCH模型的变结构问题的研究并不多，特别是马尔科夫状态转换的波动模型。MRS-GARCH模型比较难处理，故稳定性和矩的存在性还没有相关的研究。本文将Markove-switching过程引入GARCH模型，使得时变概率在平稳和剧烈波动状态间的单变量GARCH模型中进行状态转换，较好地揭示了存在结构转换的波动特性。另外，本文还证明了MRS-GARCH的稳定性和矩的存在性的充分条件。

一、模型描述

马尔科夫链：

令 （1）

马尔科夫转换的时间序列一般模型如下：

令yt为一个内生变量的向量，xt为一个外生变量的向量。令Yt为包含至时期t的全部观察值的一个向量。如果过程受制于时期t的状态，则yt的条件密度

其中st为状态变量（不可观测），状态的转移服从离散的K状态马尔科夫过程，满足（1）式，θ为条件密度的参数向量。

GARCH模型：

Bollerslev（1986）定义的标准GARCH（1，1）模型为：

（2）

（3）

其中，误差项ut是独立同分布的，有零均值和单位方差。假设条件方差为常数。为测定波动过程持续性的度量。当用日数据和高频数据来估计这个模型时，λ趋近于1，意味着波动是高度持续的且该过程可能不是协方差平稳的。然而，有学者认为这种高持续性可能是GARCH的参数随着时间而发生状态转换所致。Diebold（1986）指出，如果条件波动中存在变结构，这种高持续性可能是伪持续性，而且Lamoureux，Lastrages（1990）提出由GARCH模型度量的波动持续性可能被高估是因为没有考虑模型中的确定性结构变化，因此对波动采用变结构的波动模型建模十分必要。所以，本文将Markove-switching过程引入GARCH模型中，使得时变概率在平稳和剧烈波动状态之间的单变量GARCH模型中进行状态转换，提出了MRS-GARCH模型。

MRS-GARCH：

定义每个时间t对应一个未观察到的状态变量，通过概率来选择模型的参数，其中St是时刻t可能的信息集，包括。因此定义MRS-GARCH如下：

（4）

（5）

（6）

其中函数可以是一个logistic或指数link 函数。这样，状态概率就为时变的，状态的动态可内生地确定。显然，函数的自变量可以与不同。

MRS-GARCH模型可以看成一个以混合分布为转换核心的马尔科夫链，比较难处理，因此稳定性和矩的存在性还没有相关的研究。下文基于马尔科夫链的理论和漂移函数给出了稳定性和矩的存在性的充分条件。

二、定理及证明

假设：

在MRS-GARCH模型中，假设在第一种状态（st=1）下，这个过程局部表现为严平稳且存在二阶矩。在其他的状态（st>1）下，条件波动可以是单整的或易波动的。我们的假设如下：

A1 ut是i.i.d.的且在R上有持续为正的密度，E（ut）=0，Var（ut）=1

A2 对于j=1，2，…，n，βj>0，且αj>0

A3 p1t（y2

t-1）>0且对于所有的时间t，y2

t-1→∞时p1t（y2

t-1）→1

A4 α1+β1<0，也就是第一个状态是稳定的。

假设A1是标准的且对于GARCH模型普遍使用的分布都满足。我们可将连续性的要求替换为不完全连续。假设A2比一般的非负条件（βj≥0，αj≥0）要稍强。如果对于所有的j有αj=βj=0，这模型就是静态的混合模型，不是真的限制。在假设A3中，我们假设st=1的概率是严格为正的，即未考虑在t-1时刻过程的状态，在时刻t总有一个正的概率会达到那个稳定的状态。而且假设了稳定的过程支配全部的过程，当发生一个大的冲击过程会回归到平稳状态。这些回归减轻了过程中的压力，包括如下定理中的稳定性。

随机稳定性的充分条件

定理1 在假设A1到A4的条件下，yt是几何遍历的。如果过程从它的固定分布开始，那么过程为严平稳的且以指数衰减的β混合的。

令使从t-1甚至更早而不是从t时刻才开始的信息集的函数，写出该模型的马尔可夫链状态空间表达式如下：

有概率

有概率

证明：过程{yt，ht}构成了一个由给出的状态空间的齐次马尔科夫链，其中，是上受到S限制的Borel σ代数集，λ是上的一般Lebesque测度。令表示在第m步{yt，ht}从{y0，h0}转移到集合的概率。为建立马尔科夫链的几何遍历性，首先要指出该过程是λ-不可约的，并且采用与Zhang，Russel和Tsay（2001）类似的步骤。对于不可约性，得出对于所有的{y0，h0}∈S和所有的有正Lebesque测度（Chan（1993））的Borel可测集合有是充分的。对于一个给定的{y0，h0}∈S我们可以在有限步数内达到任何{y，h}∈A。令且。由于，则。因此，存在一个正整数，因此在第一种状态下通过m+1个中间步，其中，且对于所有的i>1有可以到达点{y，h}。这个状态空间等式的连续性表明在任何{y，h}∈A的周围存在一个开放的集合D有D*=，且给出假设A3存在一个正实数有，因此

因此该链为λ-不可约的。对于S上的每个有限制的连续函数g，在{y，h}上是连续的，因此该过程是一个λ-不可约的Feller链。假定这个结果可以充分的证明Feigin和Tweedie（1985）的漂移结论。如漂移函数我们令，其中η是满足的正数，且测试集为，其中c是如下定义的正数。因此，

其中，。

由假设A3有当时有

因为是连续的且限制在一个紧集中且h

因此就满足了漂移函数的标准。由Feigin和Tweedie（1985）的定理2，{yt，ht}是几何遍历的，因此{yt}也是几何遍历的。则这条链也是V-几何混合的（Meyn，Tweedie，1993，定理16.1.5），即等同于该过程为以指数衰减的β-混合的要求。

这结果表示存在一个唯一的不变量概率量度可以解Chapman-Kolmogorov等式，并且可以由Kolmogorov扩展定理用至下而上的方法为这个过程构建一个平稳概率量度以获得边界值。此外，几何遍历的属性表示给定任何初始分布，这个过程在总的变化量上收敛到它的有一个统一的几何率的平稳量度。这表示这个过程是β混合的，因此自协方差函数以一个指数率趋于0。

矩的存在性的充分条件

对于k=1，定理1需要的条件对于过程的协方差稳定性是充分的。

定理2 在假设A1至A3的条件下，如果对于某些k≥1有且，那么yt是几何遍历的且。

当概率为常数时为特例，即对于所有的j和t，pjt=pj，几何遍历性和矩的存在性的充分条件在推论1至3中给出。

证明：考虑漂移函数，其中，，而且η是某个正数满足，测试集为，经过冗长的计算后得到

假设A3和误差项的矩的有界性表明

当h→∞时，

使用定理1中同样的论点，我们可以看出存在一个紧密的集合C对于某些a<∞和所有（h，y）的有，由此可以得出结论。

推论1 在假设A1至A2和不变概率条件下，如果，定理1成立。

由定理1中同样的步骤且设，η 满足可以得出结论。

该推论表明协方差稳定性的要求并非对于所有的GARCH状态都是必须的，但平均起来对于这些状态的概率分布却是必须满足的。注意对于非稳定GARCH过程的高值的这些状态必须符合足够低的概率。

推论2 在假设A1，A2，A4和不变概率的条件下，如果稳定状态的概率为正（p1>0）且对于st>1，GARCH过程（5）是单整的（IGARCH），定理1成立。

推论2可以直接由推论1得出。

在多于两种状态时，可能可以构建至少两种有不同持续性参数且其和为一的不同的IGARCH过程同时存在，但实际上不太可能。因此推论2可能与一个有两个状态的模型相关，其中一个为IGARCH。从该定理可得出一个特例，当剧烈波动的过程是单整的，如果不考虑当存在一个实数δ有0<δ≤p1时状态概率的特征，MRS-GARCH过程是协方差平稳的。当状态概率是时变的，不考虑在每个状态中GARCH模型的参数值，他们可以在平静周期中相对地较高。此外，在时变概率的过程中，某一个状态中的的和小于1是确定严平稳的充分条件，而在固定概率的过程中就不成立了。

推论3 在假设A1-A2和常概率条件下，如果稳定状态概率为正，对于k≥1，且，定理2成立。

由与定理2相同的步骤并设，其中可以得出结论。

该推论表明根据矩的存在性，条件仅在平均水平上必须成立，而当概率是时变的时，该条件仅在稳定状态下成立。

三、结论

我国经济政策处于不断健全中，金融波动的变结构是客观存在的。本文将马尔科夫状态转换机制引入GARCH模型，针对波动的变结构建立了新的变参数GARCH模型，给出了以时变概率在平稳和剧烈波动状态之间转换的状态转换单变量GARCH模型，为更好地模拟和预测波动在高、低波动状态之间的转换以及政策变迁引起的状态跳跃（jump）时的特征提供了一种更完善的建模工具，提出并证明了该过程平稳性以及矩的存在性的充分条件。这些结论是新颖的，对于今后研究金融时间序列的时变波动性的特征具有基础和指导作用。

参考文献：

[1]Engle R F.Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation [J].Econometrica，

1982，（50）：987-1007.

[2]Bollerslev T.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J].Journal of Econometrics，1986，（31）：307-327.

[3]He C，Tersvirta T.Properties of moments of a family of GARCH processes[J].Journal of Econometrics，1986，（31）：307-327.

[4]Meyn S，R.Tweedie.Markov chains and stochastic stability [M].New York：Springer-Verlag，1993.

[5]孙金丽，张世英.具有结构转换的GARCH模型及其在中国股市中的应用[J].系统工程，2003，21（6）：86-91.

Research on the GARCH model transformation mechanism of Markov state

XIE Ting-ting ，ZHANG Jia-wei，ZHU Tao，JIANG Xiao-gan

（Economics and management college，Southeast University，Nanjing 211189，China）

Abstract:In order to better describe the present volatility time series structure transformation，the Markoff chain and state transition mechanism is introduced into the GARCH model，the MRS-GARCH model is defined，the prediction accuracy and continuity of the improved GARCH model. In view of the fact that there is no related research，the stability of MRS-GARCH model and the moment so，Markov chain theory and the simple hypothesis geometric ergodicity and finite moments based，and use the drift function describes the sufficient conditions for the existence and stability of MRS-GARCH and moments.

Key words:MRS-GARCH model；stability；existence of moments

[责任编辑 李可]

定理2 在假设A1至A3的条件下，如果对于某些k≥1有且，那么yt是几何遍历的且。

当概率为常数时为特例，即对于所有的j和t，pjt=pj，几何遍历性和矩的存在性的充分条件在推论1至3中给出。

证明：考虑漂移函数，其中，，而且η是某个正数满足，测试集为，经过冗长的计算后得到

假设A3和误差项的矩的有界性表明

当h→∞时，

使用定理1中同样的论点，我们可以看出存在一个紧密的集合C对于某些a<∞和所有（h，y）的有，由此可以得出结论。

推论1 在假设A1至A2和不变概率条件下，如果，定理1成立。

由定理1中同样的步骤且设，η 满足可以得出结论。

该推论表明协方差稳定性的要求并非对于所有的GARCH状态都是必须的，但平均起来对于这些状态的概率分布却是必须满足的。注意对于非稳定GARCH过程的高值的这些状态必须符合足够低的概率。

推论2 在假设A1，A2，A4和不变概率的条件下，如果稳定状态的概率为正（p1>0）且对于st>1，GARCH过程（5）是单整的（IGARCH），定理1成立。

推论2可以直接由推论1得出。

在多于两种状态时，可能可以构建至少两种有不同持续性参数且其和为一的不同的IGARCH过程同时存在，但实际上不太可能。因此推论2可能与一个有两个状态的模型相关，其中一个为IGARCH。从该定理可得出一个特例，当剧烈波动的过程是单整的，如果不考虑当存在一个实数δ有0<δ≤p1时状态概率的特征，MRS-GARCH过程是协方差平稳的。当状态概率是时变的，不考虑在每个状态中GARCH模型的参数值，他们可以在平静周期中相对地较高。此外，在时变概率的过程中，某一个状态中的的和小于1是确定严平稳的充分条件，而在固定概率的过程中就不成立了。

推论3 在假设A1-A2和常概率条件下，如果稳定状态概率为正，对于k≥1，且，定理2成立。

由与定理2相同的步骤并设，其中可以得出结论。

该推论表明根据矩的存在性，条件仅在平均水平上必须成立，而当概率是时变的时，该条件仅在稳定状态下成立。

三、结论

我国经济政策处于不断健全中，金融波动的变结构是客观存在的。本文将马尔科夫状态转换机制引入GARCH模型，针对波动的变结构建立了新的变参数GARCH模型，给出了以时变概率在平稳和剧烈波动状态之间转换的状态转换单变量GARCH模型，为更好地模拟和预测波动在高、低波动状态之间的转换以及政策变迁引起的状态跳跃（jump）时的特征提供了一种更完善的建模工具，提出并证明了该过程平稳性以及矩的存在性的充分条件。这些结论是新颖的，对于今后研究金融时间序列的时变波动性的特征具有基础和指导作用。

参考文献：

[1]Engle R F.Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation [J].Econometrica，

1982，（50）：987-1007.

[2]Bollerslev T.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J].Journal of Econometrics，1986，（31）：307-327.

[3]He C，Tersvirta T.Properties of moments of a family of GARCH processes[J].Journal of Econometrics，1986，（31）：307-327.

[4]Meyn S，R.Tweedie.Markov chains and stochastic stability [M].New York：Springer-Verlag，1993.

[5]孙金丽，张世英.具有结构转换的GARCH模型及其在中国股市中的应用[J].系统工程，2003，21（6）：86-91.

Research on the GARCH model transformation mechanism of Markov state

XIE Ting-ting ，ZHANG Jia-wei，ZHU Tao，JIANG Xiao-gan

（Economics and management college，Southeast University，Nanjing 211189，China）

Abstract:In order to better describe the present volatility time series structure transformation，the Markoff chain and state transition mechanism is introduced into the GARCH model，the MRS-GARCH model is defined，the prediction accuracy and continuity of the improved GARCH model. In view of the fact that there is no related research，the stability of MRS-GARCH model and the moment so，Markov chain theory and the simple hypothesis geometric ergodicity and finite moments based，and use the drift function describes the sufficient conditions for the existence and stability of MRS-GARCH and moments.

Key words:MRS-GARCH model；stability；existence of moments

[责任编辑 李可]

定理2 在假设A1至A3的条件下，如果对于某些k≥1有且，那么yt是几何遍历的且。

当概率为常数时为特例，即对于所有的j和t，pjt=pj，几何遍历性和矩的存在性的充分条件在推论1至3中给出。

证明：考虑漂移函数，其中，，而且η是某个正数满足，测试集为，经过冗长的计算后得到

假设A3和误差项的矩的有界性表明

当h→∞时，

使用定理1中同样的论点，我们可以看出存在一个紧密的集合C对于某些a<∞和所有（h，y）的有，由此可以得出结论。

推论1 在假设A1至A2和不变概率条件下，如果，定理1成立。

由定理1中同样的步骤且设，η 满足可以得出结论。

该推论表明协方差稳定性的要求并非对于所有的GARCH状态都是必须的，但平均起来对于这些状态的概率分布却是必须满足的。注意对于非稳定GARCH过程的高值的这些状态必须符合足够低的概率。

推论2 在假设A1，A2，A4和不变概率的条件下，如果稳定状态的概率为正（p1>0）且对于st>1，GARCH过程（5）是单整的（IGARCH），定理1成立。

推论2可以直接由推论1得出。

在多于两种状态时，可能可以构建至少两种有不同持续性参数且其和为一的不同的IGARCH过程同时存在，但实际上不太可能。因此推论2可能与一个有两个状态的模型相关，其中一个为IGARCH。从该定理可得出一个特例，当剧烈波动的过程是单整的，如果不考虑当存在一个实数δ有0<δ≤p1时状态概率的特征，MRS-GARCH过程是协方差平稳的。当状态概率是时变的，不考虑在每个状态中GARCH模型的参数值，他们可以在平静周期中相对地较高。此外，在时变概率的过程中，某一个状态中的的和小于1是确定严平稳的充分条件，而在固定概率的过程中就不成立了。

推论3 在假设A1-A2和常概率条件下，如果稳定状态概率为正，对于k≥1，且，定理2成立。

由与定理2相同的步骤并设，其中可以得出结论。

该推论表明根据矩的存在性，条件仅在平均水平上必须成立，而当概率是时变的时，该条件仅在稳定状态下成立。

三、结论

我国经济政策处于不断健全中，金融波动的变结构是客观存在的。本文将马尔科夫状态转换机制引入GARCH模型，针对波动的变结构建立了新的变参数GARCH模型，给出了以时变概率在平稳和剧烈波动状态之间转换的状态转换单变量GARCH模型，为更好地模拟和预测波动在高、低波动状态之间的转换以及政策变迁引起的状态跳跃（jump）时的特征提供了一种更完善的建模工具，提出并证明了该过程平稳性以及矩的存在性的充分条件。这些结论是新颖的，对于今后研究金融时间序列的时变波动性的特征具有基础和指导作用。

参考文献：

[1]Engle R F.Autoregressive conditional heteroskedasticity with estimates of the variance of United Kingdom inflation [J].Econometrica，

1982，（50）：987-1007.

[2]Bollerslev T.Generalized autoregressive conditional heteroskedasticity[J].Journal of Econometrics，1986，（31）：307-327.

[3]He C，Tersvirta T.Properties of moments of a family of GARCH processes[J].Journal of Econometrics，1986，（31）：307-327.

[4]Meyn S，R.Tweedie.Markov chains and stochastic stability [M].New York：Springer-Verlag，1993.

[5]孙金丽，张世英.具有结构转换的GARCH模型及其在中国股市中的应用[J].系统工程，2003，21（6）：86-91.

Research on the GARCH model transformation mechanism of Markov state

XIE Ting-ting ，ZHANG Jia-wei，ZHU Tao，JIANG Xiao-gan

（Economics and management college，Southeast University，Nanjing 211189，China）

Abstract:In order to better describe the present volatility time series structure transformation，the Markoff chain and state transition mechanism is introduced into the GARCH model，the MRS-GARCH model is defined，the prediction accuracy and continuity of the improved GARCH model. In view of the fact that there is no related research，the stability of MRS-GARCH model and the moment so，Markov chain theory and the simple hypothesis geometric ergodicity and finite moments based，and use the drift function describes the sufficient conditions for the existence and stability of MRS-GARCH and moments.

Key words:MRS-GARCH model；stability；existence of moments

[责任编辑 李可]