课例“垂径定理”教案赏析

徐建华

[摘  要] 圆是初中数学几何部分非常重要的知识，它是轴对称图形，垂径定理是圆对称性衍生出的一个重要性质，在圆的很多问题中都需要用到垂径定理及其推论. 上好这节课事关学生的后续学习，值得仔细探究与学习.

[关键词] 垂径定理;激疑引趣

垂径定理是苏教九年级上册圆的对称性这一节的重要内容，它是圆对称的具化反映，是圆对称性的延伸与拓展，揭示了圆的弦与直径、弧与弧之间的几何关系和代数关系. 通过垂径定理的探究与运用，会向学生渗透“特殊—一般—特殊”的数学思想，培养学生观察分析、归纳概括的能力.

联系语文，激疑引趣

1. 语文课例：在初中语文八年级上册中，同学们都学过“中国石拱桥”这一课文. 课文向同学们详细介绍了位于河北境内现存最早的石拱桥——赵州桥. 大家还记得课文插图中赵州桥的样子吗？现在为了对这座古老的桥梁进行进一步研究，需要对其进行测算.

2. 问题引入：如图1所示，赵州桥是一座圆弧形拱桥，它桥拱的跨度为37.4 m，拱高7.2 m，问：桥拱的半径是多少？（注：跨度即为桥拱所对应的弦长，拱高即弧的中点到弦的长度）

赏析？摇 以学生学习过的语文课文为引子，有两点好处：其一，这是学生们熟悉的内容，根据心理学研究，学生在遇到自己熟悉的内容时往往会高度注意;其二，将语文与数学联系起来，会引起学生的好奇心，更易投入到本课的学习中.

循序渐进，猜想定理

数学是一门猜想的学科，许多伟大的数学定理都是由数学猜想开始的. 为了使学生们能够通过自我探究得到垂径定理，本课学习由猜想开始.

1. 旧知回顾，承上启下

观察图2和图3，并通过模型实验回答下列问题.

（1）在图2中，弦AB将⊙O分成了两部分，说出每部分的名称.

（2）移动图2中的AB，使之过圆点（图3），此时⊙O被分成的两部分各叫什么？它们存在什么样的关系？若将⊙O沿着AB对折（图3），两者能重合吗？

赏析？摇 为了保证学生学习过程中的自我探究，教师可让学生事先准备好几张圆形纸片，并让学生在回答问题前先动手实验——将圆形纸片沿任意一条直径对折，观察能否重合. （有些老师喜欢再用电脑去演示，笔者认为这是多此一举，因为学生通过亲身体验已经得到了最直观的感受，况且电脑演示的直观程度比实物的直观程度低）通过学生的验证，我们得到了有关圆的最基本性质——圆的对称性：圆是轴对称图形，任意一条直径所在的直线均是它的对称轴.

2. 运动变换，猜想结论

（1）变动中寻找规律

观察图4、图5和图6中弦AB的运动变化过程，分析图形并回答下列问题.

①图4中，AB和CD为⊙O的两条直径，找出圆中相等的线段与弧.

②图5中，直径AB与CD相互垂直，图中相等的线段与弧有哪些？

③图6中，保持AB与CD的垂直关系，上下平移弦AB，圆中存在哪些相等的线段与弧？

④通过上面三幅图的变换过程，你能否从中找到什么规律？

（2）猜想中归纳结论

根据上述三幅图形的运动变化过程及探究得出的结论，我们可以大胆地做出如下猜测：

观察图6，AB为⊙O上任意一条弦，CD为⊙O的一条直径，AB和CD的关系是相互垂直，发现在上下平移AB的过程中，无论AB处于何位置，都存在这样的关系：AE=BE，=，=，因此，我们可以大胆地猜测这样的结论：在⊙O中，AB为圆的任意一条弦，CD为⊙O的一条直径，且AB⊥CD，垂足为点E，则AE=BE，=，=.

赏析？摇 在教学过程中，直接抛出垂径定理的命题让学生运用已有知识去证明，这是以往大多数教师采用的方法——讲授法，但这样就缺失了学生们的自我探究过程. 教学设计中通过两条直径相交，到两直径垂直，再到直径与非直径的弦垂直，给予了学生探究的空间，让学生有了足够的思维时间，体现了学生探究性学习的动态性和发现性，契合了学生的认知规律.

逐步探究，证明定理

1. 引导证明，归纳定理

理论的猜想需要严格的说理论证才能被运用于现实，为了证明我们的猜想，可对上述猜想进行更严谨的理论说明. 上述猜想可以转化成如下题设：

如图7所示，AB是⊙O的任意一条弦，CD为⊙O的一条直径，AB⊥CD，垂足为E，求证：AE=BE，=，=.

分析？摇 要证明AE=BE，题设中已知AB⊥CD，自然想到利用等腰三角形三线合一定理，因此需要构造三角形. 而弧相等可以考虑用圆心角所对应的弧相等或者用对称性来完成.

证明？摇 ①连结AO，BO，则AO=BO.

AO=BOAB⊥CD？圯E为AB中点？圯AE=BE.

②由①知OC为∠AOB的平分线？圯∠AOC=∠BOC？圯=.

∠AOC=∠BOC∠COD=∠DOC？圯∠AOD=∠BOD？圯=.

通过上述证明过程，我们可以清晰地归纳出垂径定理：

垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的弧. 数学符号表示为：CD⊥AB，垂足为ECD是圆O的直径，AB为圆O的弦？圯=AE=BE=

2. 巩固定理，探究变式

仔细分析垂径定理，可以发现它的构成包含五个要件：①CD为圆O的直径;②AB⊥CD;③AE=BE;④=;⑤=. 那么如果知晓其中任意两个条件，能否确定其他三者呢？我们需要进一步探究.

探究1？摇 在圆O中，AB为弦（非直径），CD为圆O的直径，且CD过AB的中点E，求证：AB⊥CD;=;=.

【可概括为平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧】

探究2？摇 在圆O中，CD为圆O的直径，AB为圆O的弦，且AB与CD交于点E，=，求证：AB⊥CD;AE=BE;=.

【可概括为平分弦所对劣弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的优弧】

探究3？摇 在圆O中，CD为圆O的直径，AB为圆O的弦，且AB与CD交于点E，=，求证：AB⊥CD;AE=BE;=.

【可概括为平分弦所对优弧的直径，垂直平分弦并且平分弦所对的劣弧】

探究4？摇 在圆O中，CD和 AB均为圆O的弦，AB⊥CD于点E，且AE=BE，求证：CD为圆O直径;=;=.

【可概括为圆O的一条弦被另一条弦垂直平分，则此直线为直径，并且此直径平分弦所对的弧】

问：通过以上四个探究过程，你可以找到什么规律？

引导学生发现垂径定理反映的是直径、弦和弧之间的关系，引导学生认识到任意选择垂径定理构成要件中的两个要件，均可以得出其他三个要件.

为了使学生明确垂径定理的构成要件，巩固所学知识，安排图8至图11四幅图让学生判断能否使用垂径定理或其推论.

再次向学生强调垂径定理的运用需要两个条件，缺一不可.

赏析？摇 所谓不愤不启，不悱不发，在教学过程中，应力促学生达到愤悱的状态，然后给予启发，引导学生论证垂径定理. 接着，通过变换垂径定理的条件与结论，让学生自行论证，总结出垂径定理中的五个要件，且只要满足两个就可以得出其他三个这样的规律. 让学生完整无缺地经历垂径定理的知识探究过程，在探究的过程中提升思维的分析能力.

设置命题，运用定理

1. 联系勾股定理，运用于计算

案例1？摇 如图12所示，在圆O中，弦AB的长为24，点O到AB的距离为5，求圆O的半径.

分析？摇 这是垂径定理的使用，根据条件，点O到AB的距离为5，所以要作OC⊥AB，满足条件之一垂直;O为圆心，满足条件之二，OC是过圆心的直线. 根据垂径定理可知C为AB的中点，故BC=12. 要求半径只需连结OB，利用勾股定理.

变式1？摇 如图12所示，OB=5，OC=3，AC=BC，求AB的长.

分析？摇 这是垂径定理推论的使用，根据题设知OC是过圆心的直线，C是AB的中点，满足垂径定理的两个要件，因此可知OC⊥AB，再使用勾股定理可以求解BC，进而求得AB.

思考？摇 圆的弦长为2a，圆心到弦的距离为b，圆的半径为r，则a，b，r三者之间满足什么样的关系？

分析？摇 a，b，r三个字母分别代表半弦长、弦心距和半径，此三条线段组成了一个直角三角形，因此三者满足勾股定理，即a2+b2 = r2.

变式2？摇 如图13所示，在圆O中，AB=16，OC⊥AB于点E，CE=4，求圆O的半径.

分析？摇 根据题设可知，题目条件满足垂径定理，BE=8，设圆的半径为r，则OE=r-4. 根据勾股定理可得r2=（r-4）2+82，解得r=10.

问：现在你能解决赵州桥的半径问题了吗？（解略）

2. 联系几何知识，运用于证明

案例2？摇 如图14所示，在同心圆中，直线分别交大圆与小圆于A，B，C，D四点，求证：AC=BD.

分析？摇 隐去大圆，弦CD是小圆的一个非直径弦，过点O作OE⊥CD于点E，可以利用垂径定理，证明CE=DE. 隐去小圆，弦AB为大圆的非直径弦，A，B，C，D在同一直线上，又OE⊥AB，利用垂径定理可得AE=BE. 两式相减可以得到AC=BD.

变式1？摇 图14中隐去大圆或小圆，需要哪些条件才能证明AC=BD？

变式2？摇 如果是三个同心圆，你能证明哪些线段相等？

案例2的目的主要是让学生明确这样一个事实：过圆心作弦的垂线是解决这类问题常用的方法.

赏析？摇 从代数和几何两方面运用垂径定理，覆盖了垂径定理运用的面，恰当地变换问题题设与结论，拓宽了垂径定理运用的范围与难度，细化了垂径定理运用的点. 学生在同种题型、不同形式的题目训练中升华了知识，促进了知识点的迁移.

学生的学习，尤其是数学习题，是一个逐步探索的过程，讲授法虽然可以高效率地将知识灌输给学生，但学生的印象却不如逐步探究来得深刻. 学生的发展是学生通过对一条条定理、一道道例题的自主探究而形成的，教学中应放手让学生自我探究，但应注意形散而神聚.