莫让浮云遮望眼 除尽繁华识真颜

数学本质就是用数学的眼光认识世界，揭示数学规律，总结数学方法，形成数学思想，提炼数学精神，并从上述活动中得到思想、心灵的升华. 在数学学习的过程中，若能重视对问题背后的数学本质的追溯，无疑能有效提高学习的效率，培养数学意识与数学能力.

本文从一道高考试题出发，追根溯源，努力去洞察、揭示一类高考试题的本质.

春雨断桥人难渡：

一道高考试题的思考历程

题1？摇（2009年高考上海卷）已知函数f（x）=sinx+tanx，项数为27的等差数列an满足an∈-，，且公差d≠0，若f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，则当k=________时， f（ak）=0.

上海作为我国高中教育与高考改革的试验田，其高考试题年年有创意，且内涵丰富. 比如此题，从题面看，等差数列镶嵌在函数问题中，新意十足. 此前有作者给出如下解析：

因为函数f（x）=sinx+tanx是奇函数，所以其图象关于原点对称，且图象过原点.

又因为f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0，则必有f（a14）=0，所以k=14.

这实在让人如坐云雾中，“f（a14）=0”是如何得出的？上述解答的根据在哪儿？

根据经验，题设条件“f（a1）+f（a2）+

…+f（a27）=0”的利用，不太可能考虑将a1，a1，…，a27代入函数解析式f（x）=sinx+tanx，那么，该如何将此函数与等差数列结合起来？也许应该去考虑函数f（x）=sinx+tanx的性质：奇函数， f（0）=0，且在区间-，上单调递增.

又考虑到{an}为等差数列，故由f（a1）+f（a2）+…+f（a27）=0得f（a14-13d）+…+f（a14-d）+f（a14）+f（a14+d）+

…+f（a14+13d）=0.

假设a14>0，则f（a14-13d）+…+f（a14-d）+f（a14）+f（a14+d）+…+f（a14+13d）>f（-13d）+…+f（-d）+f（0）+f（d）+

…+f（13d）=0，与题意矛盾;

假设a14<0，则f（a14-13d）+…+f（a14-d）+f（a14）+f（a14+d）+…f（a14+13d）

…+f（13d）=0，也与题意矛盾.

综上，a14=0，故f（a14）=0.

看似一道小小填空题，其实并不简单！本题巧妙地将等差数列与函数的奇偶性、单调性融为一体，解题突破口隐藏得深，不易寻找合适的切入点，同时对推理论证的能力有相当高的要求，给人一种“山重水复疑无路”、“春雨断桥人难渡”的困苦之感.

小舟撑出柳阴来：

试题的本质透析

从有效解题的角度来说，对试题的求解过程进行回顾与总结，努力寻找试题背后隐藏的数学本质，也许还能收获更多. 对上题的求解过程进行回顾，我们不难总结出下述结论：

定理1  已知函数f（x）是定义在D（0∈D）上的奇函数，且为单调函数，等差数列{an}满足an∈D，若f（a1）+f（a2）+…+f（a2k+1）=0，则ak+1=0.

证明  设等差数列的公差为d，则f（a1）+f（a2）+…+f（a2k+1）=f（ak+1-kd）+f[ak+1-（k-1）d]+…+f（ak+1-d）+f（ak+1）+f（ak+1+d）+…+f[ak+1+（k-1）d]+f（ak+1+kd） ①.

（1）若函数f（x）在D上单调递增，假设ak+1>0，则①式>f（-kd）+f[-（k-1）d]+…+f（-d）+f（0）+f（d）+…+f[（k-1）d]+f（kd）=0，这与f（a1）+f（a2）+…+f（a2k+1）=0相矛盾;假设ak+1<0，则①式

（2）若函数f（x）在D上单调递减，同理有ak+1=0.

综上，命题得证.

我们知道，奇函数的图象其实是一种中心对称图形，只是其对称中心恰好为原点. 进一步进行一般化，可得以下结论：

定理2  已知函数f（x）是定义在D上的单调函数，且其图象关于点（a， f（a））对称，等差数列{an}满足an∈D，若f（a1）+f（a2）+…+f（a2k+1）=（2k+1）f（a），则ak+1=a.

证明  因为f（x）的图象关于点（a， f（a））对称，由平移知识知，函数g（x）=f（x+a）-f（a）为奇函数，且g（x）仍为单调函数. 令bn=an-a，则数列{bn}为等差数列.

由f（a1）+f（a2）+…+f（a2k+1）=（2k+1）f（a），得[f（a）-f（a）]+[f（a）-f（a）]+

…+[f（a2k+1）-f（a）]=0，即g（b1）+g（b2）+

…+g（b2k+1）=0.

结合定理1，有bk+1=0，即ak+1=a.

学而生疑，疑而有思，思然后得. 数学问题的本质正是在思维的层层深入中揭开了神秘的面纱，繁华除尽真颜现.

顺便指出，从平移的角度看，定理1与定理2其实是等价的.

一题可破万题山：

一类高考试题的完美求解

运用上述定理，可以轻松解决2012年四川卷的两道高考难题.endprint

题2？摇（2012年高考四川卷）设函数f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不为0的等差数列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7等于（    ）

A. 0   B. 7   C. 14   D. 21

解析  由f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，得[f（a1）-2]+[f（a2）-2]+…+[f（a7）-2]=0，即得[（a1-3）3+a1-3]+[（a2-3）3+a2-3]+…+[（a7-3）3+a7-3]=0 ②.

令g（x）=x3+x，显然g（x）是一个单调递增的奇函数. 再构造数列{bn}：bn=an-3，显然{bn}是一个等差数列. 所以②式等价于g（b1）+g（b2）+…+g（b7）=0.

由定理1，知b4=a4-3=0，即a4=3.

所以，a1+a2+…+a7=7a4=21，正确选项为D.

题3 （2012年高考四川卷）设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为的等差数列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2-a1a5等于（    ）

A. 0？摇？摇？摇？摇？摇？摇 B. π2？摇？摇？摇？摇？摇？摇

C. π2？摇？摇？摇？摇？摇？摇 D. π2

解析？摇 由f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，得[f（a1）-π]+[f（a2）-π]+…+[f（a5）-π]=0，即（2a1-cosa1-π）+（2a2-cosa2-π）+…+（2a5-cosa5-π）=0，即2a1-+sina1-+2a2-+sina2-+

…+2a5-+sina5-=0③.

令g（x）=2x+sinx，显然g（x）是奇函数，且由导数知识易判断g（x）为递增函数.再构造数列{bn}：bn=an-，显然{bn}是一个等差数列. 所以，③式等价于g（b1）+g（b2）+…+g（b5）=0. 由定理1，知b3=a3-=0，即a3=，故a1=，a5=.所以，[f（a3）]2-a1a5=2×-cos2-×=，正确选项为D.

评注  此两题都结合定理1去构造单调的奇函数进行求解，当然也可以结合定理2进行构造，只是我们对奇函数的判断比对一般中心对称图形的判断更为简洁而迅速.

实践表明，透析数学问题背后的本质是破除题海最有力、最有效的武器.在学习的过程中，我们必须切实加强回顾与反思，以达到“一题可破万题山”的境界.endprint

题2？摇（2012年高考四川卷）设函数f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不为0的等差数列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7等于（    ）

A. 0   B. 7   C. 14   D. 21

解析  由f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，得[f（a1）-2]+[f（a2）-2]+…+[f（a7）-2]=0，即得[（a1-3）3+a1-3]+[（a2-3）3+a2-3]+…+[（a7-3）3+a7-3]=0 ②.

令g（x）=x3+x，显然g（x）是一个单调递增的奇函数. 再构造数列{bn}：bn=an-3，显然{bn}是一个等差数列. 所以②式等价于g（b1）+g（b2）+…+g（b7）=0.

由定理1，知b4=a4-3=0，即a4=3.

所以，a1+a2+…+a7=7a4=21，正确选项为D.

题3 （2012年高考四川卷）设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为的等差数列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2-a1a5等于（    ）

A. 0？摇？摇？摇？摇？摇？摇 B. π2？摇？摇？摇？摇？摇？摇

C. π2？摇？摇？摇？摇？摇？摇 D. π2

解析？摇 由f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，得[f（a1）-π]+[f（a2）-π]+…+[f（a5）-π]=0，即（2a1-cosa1-π）+（2a2-cosa2-π）+…+（2a5-cosa5-π）=0，即2a1-+sina1-+2a2-+sina2-+

…+2a5-+sina5-=0③.

令g（x）=2x+sinx，显然g（x）是奇函数，且由导数知识易判断g（x）为递增函数.再构造数列{bn}：bn=an-，显然{bn}是一个等差数列. 所以，③式等价于g（b1）+g（b2）+…+g（b5）=0. 由定理1，知b3=a3-=0，即a3=，故a1=，a5=.所以，[f（a3）]2-a1a5=2×-cos2-×=，正确选项为D.

评注  此两题都结合定理1去构造单调的奇函数进行求解，当然也可以结合定理2进行构造，只是我们对奇函数的判断比对一般中心对称图形的判断更为简洁而迅速.

实践表明，透析数学问题背后的本质是破除题海最有力、最有效的武器.在学习的过程中，我们必须切实加强回顾与反思，以达到“一题可破万题山”的境界.endprint

题2？摇（2012年高考四川卷）设函数f（x）=（x-3）3+x-1，{an}是公差不为0的等差数列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，则a1+a2+…+a7等于（    ）

A. 0   B. 7   C. 14   D. 21

解析  由f（a1）+f（a2）+…+f（a7）=14，得[f（a1）-2]+[f（a2）-2]+…+[f（a7）-2]=0，即得[（a1-3）3+a1-3]+[（a2-3）3+a2-3]+…+[（a7-3）3+a7-3]=0 ②.

令g（x）=x3+x，显然g（x）是一个单调递增的奇函数. 再构造数列{bn}：bn=an-3，显然{bn}是一个等差数列. 所以②式等价于g（b1）+g（b2）+…+g（b7）=0.

由定理1，知b4=a4-3=0，即a4=3.

所以，a1+a2+…+a7=7a4=21，正确选项为D.

题3 （2012年高考四川卷）设函数f（x）=2x-cosx，{an}是公差为的等差数列，若f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，则[f（a3）]2-a1a5等于（    ）

A. 0？摇？摇？摇？摇？摇？摇 B. π2？摇？摇？摇？摇？摇？摇

C. π2？摇？摇？摇？摇？摇？摇 D. π2

解析？摇 由f（a1）+f（a2）+…+f（a5）=5π，得[f（a1）-π]+[f（a2）-π]+…+[f（a5）-π]=0，即（2a1-cosa1-π）+（2a2-cosa2-π）+…+（2a5-cosa5-π）=0，即2a1-+sina1-+2a2-+sina2-+

…+2a5-+sina5-=0③.

令g（x）=2x+sinx，显然g（x）是奇函数，且由导数知识易判断g（x）为递增函数.再构造数列{bn}：bn=an-，显然{bn}是一个等差数列. 所以，③式等价于g（b1）+g（b2）+…+g（b5）=0. 由定理1，知b3=a3-=0，即a3=，故a1=，a5=.所以，[f（a3）]2-a1a5=2×-cos2-×=，正确选项为D.

评注  此两题都结合定理1去构造单调的奇函数进行求解，当然也可以结合定理2进行构造，只是我们对奇函数的判断比对一般中心对称图形的判断更为简洁而迅速.

实践表明，透析数学问题背后的本质是破除题海最有力、最有效的武器.在学习的过程中，我们必须切实加强回顾与反思，以达到“一题可破万题山”的境界.endprint