数列的概念与简单表示法

黄邦活

重点：数列的通项公式;数列的函数性质;数列的通项an与前几项和Sn的关系.

难点：求数列的最大项和最小项;由数列的递推关系式求数列的通项公式.

1. 观察—归纳—推理

根据数列的前几项求它的一个通项公式，通常运用观察法，即观察分式中分子与分母的特征、相邻项的变化特征、拆项后的特征、各项符号和绝对值的特征等，综合得出项与项数n之间的关系. 若关系不明显时，还应将部分项作适当的变形，统一成相同的形式，让规律凸现出来. 对于正负符号的变化，可用（-1）n或（-1）n+1来调整，转化为一些常见数列的通项公式求解. 但是，根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用“从特殊到一般”的数学思想，是不完全归纳法，因此得出的通项不一定可靠，要注意代值检验.

2. 数列与函数

数列可以看做是一类特殊的函数，数列的单调性、周期性、最大（小）项可以运用函数的知识及思想方法来解决，但要特别注意：数列中自变量的取值是不连续的，只能取正整数.

3. 数列单调性

有关数列最大项、最小项、有界性问题，主要根据数列的单调性求解，也可以通过转化为函数的最值问题或结合函数图象等方法来求解. 在求数列中的最大（小）项时，应注意数列中的项可以是相同的，故不应漏掉等号.

（1）求数列中最大项的方法：设an为最大项，则有an≥an-1，an≥an+1;

（2）求数列中最小项的方法：设an？摇为最小项，则有an≤an-1，an≤an+1.

4. 由数列的前n项和求数列的通项

第一步，令n=1，由Sn=f（an）求出a1;

第二步，令n≥2，构造an=Sn-Sn-1，用an代换Sn-Sn-1（或用Sn-Sn-1代换an，这要结合题目的特点具体安排），由递推关系求通项;

第三步，验证n=1时的结论是否符合n≥2时的结论，如果符合，那么统一“合写”;如果不符合，那么应分段表示.

5. 由数列递推公式求通项公式的方法

？摇？摇由a1和递推关系求通项公式，可把每相邻两项的关系列出来，抓住它们的特点进行恰当处理，借助拆分或取倒数等方法，利用“化归”“累加”“累乘”来求解.

（1）对于形如“an+1=an+f（n）”的递推关系式，只要f（n）可求和，便可利用累加的方法求通项公式.

（2）对于形如“=g（n）”的递推关系式，只要g（n）可求积，便可利用累乘或迭代的方法求通项公式.

（3）对于形如“an+1=Aan+B（A≠0且A≠1）”的递推关系，可用迭代法或构造等比数列法求通项公式.

例1  已知数列{an}的通项公式是an=，则数列中的正整数项有（    ）

A. 1项？摇？摇 B. 2项？摇？摇

C. 3项？摇？摇 D. 4项

思索  由于是求数列{an}中的正整数项，因此>0且4n+31能整除2n-1. 根据通项公式是一个分子、分母都是含n的一次式，可以先对通项公式进行变行，将分子变成“常数”，然后再由正整数的整除性进行求解.

破解  因为an==2+，所以当an为整数时，33能整除2n-1，则2n-1=1，3，11，33，即n=1，2，6，17，此时an>0，故数列{an}中的正整数项共有4项，故答案选D.

例2  数列1，-3，5，-7，9，…的一个通项公式为（    ）

A. an=（-1）n（1-2n） ？摇

B. an=2n-1？摇

C. an=（-1）n（2n-1）？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇

D. an=（-1）n（2n+1）

思索1  观察各项符号及数值的变化，归纳出项与项数的关系式即为所求的一个通项公式.

思索2  根据数列{an}通项公式的定义知，an是数列中第n项与序号n之间的一个式子，可以用n=1，2，3，…代入验证，进行排除.

破解1（观察法）  数列中的奇数项为正数，偶数项为负数，符号可用（-1）n-1来表示;又从第二项起，每一项的绝对值都比前一项的绝对值大2，故其一个通项公式为an=（-1）n-1.（2n-1）=（-1）n（1-2n）.

破解2（排除法）  当n=1时，数列的首项a1=1，将n=1代入A中得a1=1，代入B中得a1=1;代入C中得a1=-1;代入D中得a1=-3.因此可排除C、D.又当n=2时，a2=-3，将n=2代入A中得a2=-3，代入B中得a2=3，据此排除B. 综上所述，答案应选A.

例3  （2014年高考新课标卷Ⅱ）数列{an}满足an+1=，a8=2，则a1=________.

思索  根据a的值及递推关系解得a7，然后同理由a7解得a6，直到由a2解得a1.

破解  因为a8=2，所以=2，解得a7=;同理可得a6=-1，a5=2，a4=，a3=-1，a2=2，a1=.

例4  数列{an}中，a1=3，a2=7，当n≥1时，an+2等于anan+1的个位数，则该数列的第2015项是（    ）

A. 1  B. 3   C. 7   D. 9

思索  由于递推表达式没有确定，且所求项的项数较大，因此根据条件可先尝试计算出a3，a4，a5等有限项，发现项的重复性，再利用数列的周期性求解.endprint

破解  由a1=3，a2=7，得a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，…，所以数列{an}是以6为周期的数列，所以a2014=a335×6+5=a5=7，故答案选C.

例5  （2014年高考辽宁卷） 设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则（    ）

A. d>0？摇 B. d<0？摇？摇

C. a1d>0？摇 D. a1d<0

思索  根据递减数列的定义，2a1an+1-2a1an<0对任意的正整数n成立，再结合等差数列的定义可解.

破解  因为数列{2a1an}为递减数列，所以2a1an+1-2aa<0，即2a1（an+1-an）<0，又等差数列{an}的公差为d，所2a1d<0，所以a1d<0，故答案选D.

例6  已知数列{an}的通项an=，则an的最小值为________.

思索1  应用求数列最大项与最小项的方法，设an为最小项，列出不等式组an≤an-1，an≤an+1，解之即可.

思索2  将数列的通项构造成相应的函数，通过函数的单调性求解.

破解1  设an为最小项，则可得≤，≤，解得≤n≤，而11<<12，n∈N？鄢，即得n=6. 故an的最小值为a6==.

破解2  因为an==n+-1，令f（x）=x+-1，易知f（x）在区间（0，]上单调递减，在区间[，+∞）上单调递增.又因为5<<6，所以当n=5时，a5=5-1+=;当n=6时，a6=6-1+==.因为>，所以an的最小值为.

例7  （2014年高考广东卷节选）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S2n-（n2+n-3）·Sn-3（n2+n）=0，n∈N*.

（1）求a1的值;

（2）求数列{an}的通项公式.

思索  （1）将n=1代入方程，结合a1=S1解方程即可得a1;（2）先由方程S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0解出Sn，然后再由Sn与an的关系可得通项an.

破解  （1）由题意有S-（12+1-3）S1-3（12+1）=0，得a+a1-6=0，解得a1=2或-3. 又数列的各项均为正数，所以a1=2.

（2）因为S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，所以[Sn-（n2+n）]（Sn+3）=0，又数列的各项均为正数，所以Sn>0，所以Sn=n2+n.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n;当n=1时，a1=2符合上式. 故an=2n（n∈N？鄢）.

例8  （2014年高考新课标卷Ⅱ改编）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1，求{an}的通项公式.

思索  根据递推关系式的特点，适当进行变形或设待定系数，构造新的等比数列{an+p}（其中p为常数），求出p后容易求得an.

破解1  由an+1=3an+1得an+1+=3an+. 又a1+=，所以可得an+是首项为、公比为3的等比数列，所以an+=，因此数列{an}的通项公式为an=.

破解2  设an+1+p=3（an+p），即an+1=3an+2p，又an+1=3an+1，所以2p=1，得p=，以下同破解1.

1. 数列1，1，2，2，…的一个通项公式是（    ）

A. ？摇？摇 B.

C. ？摇 D.

2. 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10等于（    ）

A. 1   B. 9   C. 10   D. 55

3. 设数列{an}满足an+1=，a2015=2，那么a1等于（    ）

A. -  B. 2   C.  D. -3

4. 已知数列{an}的通项公式为an=，数列{an}的最大项是（    ）

A. a1   B. a2   C. a3   D. a4

5. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=（n∈N*）.若bn+1=（n-λ）+1，b1=-λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围为（    ）

A. λ<2 B. λ>3

C. λ>2 D. λ<3

6. 已知数列{an}，满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，则数列{an}的通项公式为_______.

7. 已知数列{an}中，a=1，前n项和Sn=an.

（1）求a2，a3;

（2）求{an}的通项公式.

参考答案

1. D？摇

2. A 因为Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，所以S1=1.令m=1得Sn+1=Sn+1，所以Sn+1-Sn=1，即当n≥1时，an+1=1，所以a10=1，故答案选A.

3. A    4. D？摇

5. A  根据an+1=，得=+1，所以+1=2+1. 又a1=1，所以+1=+12n-1=2n，所以bn+1=（n-λ）2n，所以bn+1-bn=（n-λ）2n-（n-1-λ）2n-1=（n-λ+1）2n-1>0，所以n-λ+1>0.又n∈N*，所以λ<2.

6. an=2，n=1，，n≥2 当n=1时，由已知可得a1=21=2;当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+nan=2n①，故a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=2n-1②. 由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1，所以an=. 显然n=1时不满足上式，所以an=2，n=1，，n≥2.

7. （1）由S2=a2得3（a1+a2）=4a2，解得a2=3a1=3. 由S3=a3得3（a1+a2+a3）=5a3，解得a3=（a1+a2）=6.

（2）由题设知a1=1. 当n>1时，有an=Sn-Sn-1=an-an-1，整理得an=an-1. 于是a1=1，a2=a1，a3=a2，…，an-1=an-2，an=an-1. 将以上n个等式两端分别相乘，整理后可得an=. 综上可得，{an}的通项公式为an=.endprint

破解  由a1=3，a2=7，得a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，…，所以数列{an}是以6为周期的数列，所以a2014=a335×6+5=a5=7，故答案选C.

例5  （2014年高考辽宁卷） 设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则（    ）

A. d>0？摇 B. d<0？摇？摇

C. a1d>0？摇 D. a1d<0

思索  根据递减数列的定义，2a1an+1-2a1an<0对任意的正整数n成立，再结合等差数列的定义可解.

破解  因为数列{2a1an}为递减数列，所以2a1an+1-2aa<0，即2a1（an+1-an）<0，又等差数列{an}的公差为d，所2a1d<0，所以a1d<0，故答案选D.

例6  已知数列{an}的通项an=，则an的最小值为________.

思索1  应用求数列最大项与最小项的方法，设an为最小项，列出不等式组an≤an-1，an≤an+1，解之即可.

思索2  将数列的通项构造成相应的函数，通过函数的单调性求解.

破解1  设an为最小项，则可得≤，≤，解得≤n≤，而11<<12，n∈N？鄢，即得n=6. 故an的最小值为a6==.

破解2  因为an==n+-1，令f（x）=x+-1，易知f（x）在区间（0，]上单调递减，在区间[，+∞）上单调递增.又因为5<<6，所以当n=5时，a5=5-1+=;当n=6时，a6=6-1+==.因为>，所以an的最小值为.

例7  （2014年高考广东卷节选）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S2n-（n2+n-3）·Sn-3（n2+n）=0，n∈N*.

（1）求a1的值;

（2）求数列{an}的通项公式.

思索  （1）将n=1代入方程，结合a1=S1解方程即可得a1;（2）先由方程S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0解出Sn，然后再由Sn与an的关系可得通项an.

破解  （1）由题意有S-（12+1-3）S1-3（12+1）=0，得a+a1-6=0，解得a1=2或-3. 又数列的各项均为正数，所以a1=2.

（2）因为S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，所以[Sn-（n2+n）]（Sn+3）=0，又数列的各项均为正数，所以Sn>0，所以Sn=n2+n.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n;当n=1时，a1=2符合上式. 故an=2n（n∈N？鄢）.

例8  （2014年高考新课标卷Ⅱ改编）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1，求{an}的通项公式.

思索  根据递推关系式的特点，适当进行变形或设待定系数，构造新的等比数列{an+p}（其中p为常数），求出p后容易求得an.

破解1  由an+1=3an+1得an+1+=3an+. 又a1+=，所以可得an+是首项为、公比为3的等比数列，所以an+=，因此数列{an}的通项公式为an=.

破解2  设an+1+p=3（an+p），即an+1=3an+2p，又an+1=3an+1，所以2p=1，得p=，以下同破解1.

1. 数列1，1，2，2，…的一个通项公式是（    ）

A. ？摇？摇 B.

C. ？摇 D.

2. 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10等于（    ）

A. 1   B. 9   C. 10   D. 55

3. 设数列{an}满足an+1=，a2015=2，那么a1等于（    ）

A. -  B. 2   C.  D. -3

4. 已知数列{an}的通项公式为an=，数列{an}的最大项是（    ）

A. a1   B. a2   C. a3   D. a4

5. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=（n∈N*）.若bn+1=（n-λ）+1，b1=-λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围为（    ）

A. λ<2 B. λ>3

C. λ>2 D. λ<3

6. 已知数列{an}，满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，则数列{an}的通项公式为_______.

7. 已知数列{an}中，a=1，前n项和Sn=an.

（1）求a2，a3;

（2）求{an}的通项公式.

参考答案

1. D？摇

2. A 因为Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，所以S1=1.令m=1得Sn+1=Sn+1，所以Sn+1-Sn=1，即当n≥1时，an+1=1，所以a10=1，故答案选A.

3. A    4. D？摇

5. A  根据an+1=，得=+1，所以+1=2+1. 又a1=1，所以+1=+12n-1=2n，所以bn+1=（n-λ）2n，所以bn+1-bn=（n-λ）2n-（n-1-λ）2n-1=（n-λ+1）2n-1>0，所以n-λ+1>0.又n∈N*，所以λ<2.

6. an=2，n=1，，n≥2 当n=1时，由已知可得a1=21=2;当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+nan=2n①，故a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=2n-1②. 由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1，所以an=. 显然n=1时不满足上式，所以an=2，n=1，，n≥2.

7. （1）由S2=a2得3（a1+a2）=4a2，解得a2=3a1=3. 由S3=a3得3（a1+a2+a3）=5a3，解得a3=（a1+a2）=6.

（2）由题设知a1=1. 当n>1时，有an=Sn-Sn-1=an-an-1，整理得an=an-1. 于是a1=1，a2=a1，a3=a2，…，an-1=an-2，an=an-1. 将以上n个等式两端分别相乘，整理后可得an=. 综上可得，{an}的通项公式为an=.endprint

破解  由a1=3，a2=7，得a3=1，a4=7，a5=7，a6=9，a7=3，a8=7，…，所以数列{an}是以6为周期的数列，所以a2014=a335×6+5=a5=7，故答案选C.

例5  （2014年高考辽宁卷） 设等差数列{an}的公差为d，若数列{2a1an}为递减数列，则（    ）

A. d>0？摇 B. d<0？摇？摇

C. a1d>0？摇 D. a1d<0

思索  根据递减数列的定义，2a1an+1-2a1an<0对任意的正整数n成立，再结合等差数列的定义可解.

破解  因为数列{2a1an}为递减数列，所以2a1an+1-2aa<0，即2a1（an+1-an）<0，又等差数列{an}的公差为d，所2a1d<0，所以a1d<0，故答案选D.

例6  已知数列{an}的通项an=，则an的最小值为________.

思索1  应用求数列最大项与最小项的方法，设an为最小项，列出不等式组an≤an-1，an≤an+1，解之即可.

思索2  将数列的通项构造成相应的函数，通过函数的单调性求解.

破解1  设an为最小项，则可得≤，≤，解得≤n≤，而11<<12，n∈N？鄢，即得n=6. 故an的最小值为a6==.

破解2  因为an==n+-1，令f（x）=x+-1，易知f（x）在区间（0，]上单调递减，在区间[，+∞）上单调递增.又因为5<<6，所以当n=5时，a5=5-1+=;当n=6时，a6=6-1+==.因为>，所以an的最小值为.

例7  （2014年高考广东卷节选）设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，且Sn满足S2n-（n2+n-3）·Sn-3（n2+n）=0，n∈N*.

（1）求a1的值;

（2）求数列{an}的通项公式.

思索  （1）将n=1代入方程，结合a1=S1解方程即可得a1;（2）先由方程S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0解出Sn，然后再由Sn与an的关系可得通项an.

破解  （1）由题意有S-（12+1-3）S1-3（12+1）=0，得a+a1-6=0，解得a1=2或-3. 又数列的各项均为正数，所以a1=2.

（2）因为S2n-（n2+n-3）Sn-3（n2+n）=0，所以[Sn-（n2+n）]（Sn+3）=0，又数列的各项均为正数，所以Sn>0，所以Sn=n2+n.

当n≥2时，an=Sn-Sn-1=（n2+n）-[（n-1）2+（n-1）]=2n;当n=1时，a1=2符合上式. 故an=2n（n∈N？鄢）.

例8  （2014年高考新课标卷Ⅱ改编）已知数列{an}满足a1=1，an+1=3an+1，求{an}的通项公式.

思索  根据递推关系式的特点，适当进行变形或设待定系数，构造新的等比数列{an+p}（其中p为常数），求出p后容易求得an.

破解1  由an+1=3an+1得an+1+=3an+. 又a1+=，所以可得an+是首项为、公比为3的等比数列，所以an+=，因此数列{an}的通项公式为an=.

破解2  设an+1+p=3（an+p），即an+1=3an+2p，又an+1=3an+1，所以2p=1，得p=，以下同破解1.

1. 数列1，1，2，2，…的一个通项公式是（    ）

A. ？摇？摇 B.

C. ？摇 D.

2. 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，那么a10等于（    ）

A. 1   B. 9   C. 10   D. 55

3. 设数列{an}满足an+1=，a2015=2，那么a1等于（    ）

A. -  B. 2   C.  D. -3

4. 已知数列{an}的通项公式为an=，数列{an}的最大项是（    ）

A. a1   B. a2   C. a3   D. a4

5. 已知数列{an}满足a1=1，an+1=（n∈N*）.若bn+1=（n-λ）+1，b1=-λ，且数列{bn}是递增数列，则实数λ的取值范围为（    ）

A. λ<2 B. λ>3

C. λ>2 D. λ<3

6. 已知数列{an}，满足a1+2a2+3a3+…+nan=2n，则数列{an}的通项公式为_______.

7. 已知数列{an}中，a=1，前n项和Sn=an.

（1）求a2，a3;

（2）求{an}的通项公式.

参考答案

1. D？摇

2. A 因为Sn+Sm=Sn+m，且a1=1，所以S1=1.令m=1得Sn+1=Sn+1，所以Sn+1-Sn=1，即当n≥1时，an+1=1，所以a10=1，故答案选A.

3. A    4. D？摇

5. A  根据an+1=，得=+1，所以+1=2+1. 又a1=1，所以+1=+12n-1=2n，所以bn+1=（n-λ）2n，所以bn+1-bn=（n-λ）2n-（n-1-λ）2n-1=（n-λ+1）2n-1>0，所以n-λ+1>0.又n∈N*，所以λ<2.

6. an=2，n=1，，n≥2 当n=1时，由已知可得a1=21=2;当n≥2时，a1+2a2+3a3+…+nan=2n①，故a1+2a2+3a3+…+（n-1）an-1=2n-1②. 由①-②得nan=2n-2n-1=2n-1，所以an=. 显然n=1时不满足上式，所以an=2，n=1，，n≥2.

7. （1）由S2=a2得3（a1+a2）=4a2，解得a2=3a1=3. 由S3=a3得3（a1+a2+a3）=5a3，解得a3=（a1+a2）=6.

（2）由题设知a1=1. 当n>1时，有an=Sn-Sn-1=an-an-1，整理得an=an-1. 于是a1=1，a2=a1，a3=a2，…，an-1=an-2，an=an-1. 将以上n个等式两端分别相乘，整理后可得an=. 综上可得，{an}的通项公式为an=.endprint