求解KdV方程和mKdV方程的新方法:(g'/g2)展开法

王思源，陈 浩

(华南师范大学物理与电信工程学院，广州510006)

非线性方程的求解是自然科学，尤其是非线性科学中最重要的部分.可用来阐述诸多复杂现象，例如规范场理论和量子场论中的磁单极子问题、瞬子问题;固体物理中的极化子问题和铁磁链孤波问题;流体力学中的水波问题等.近年来，非线性方程的研究热点是寻找新的解法并且得出新的精确解. 一些比较主流的求解方法开始在非线性方程中扮演重要角色，例如Hirota 双线性展开法［1］、Jacobi 双曲函数展开法［2］、齐次平衡法［3］及(g'/g)展开法等［4］.

(g'/g)展开法由Wang 等［4］于2008年首先提出，并得出了KdV 方程和mKdV 方程的精确解以及孤立波解.但是，这种方法存在推导繁琐、冗长等缺点.接着，Li 等［5］提出了(ω/g)展开法并且利用(g'/g)和(g'/g2)这2 种展开方法求得了Vakhnenko 方程的精确解.陈继培等［6］用(g'/g2)展开法求出了非线性Klein－Gordon 方程的精确通解.使方法比前一种方法更加简便、有效. 这也同样适用于KdV 方程和mKdV 方程的求解.

本文引入并介绍(g'/g2)展开法的原理及求解过程，研究了KdV 方程和mKdV 方程的行波解.

1 (g'/g2)展开法的主要求解步骤

(g'/g2)展开法的主要求解步骤［5－6］如下:

第1 步 假设含独立变量x、t 的非线性方程可以表示为

其中u=u(x，t).

第2 步 对式(1)做行波变换u=u(ξ)，ξ=x－Vt，得

第3 步 假定式(2)的解可以表示为

式中，g=g(ξ)满足二阶线性常微分方程

式中αi，a，b 是待定常数，αi≠0，n 可以根据其次平衡法确定.

第4 步 将方程(4)根据不同条件求解，代入式(3)，合并的同类项.令各项系数为0，得出并求解关于αi，a，b 的方程组.

第5 步 把第4 步得出的解代入式(3)，可得非线性方程的精确行波解. 此步可通过相关数学软件(如Mathematica 或Matlab)完成.

2 (g'/g2)方程的求解过程

将方程(4)变形，得到

取g=1/y，于是上式可以写为

当ab ＞0 时，

当ab ＜0 时，

于是可得方程(4)的通解:

(1)当ab ＞0 时，

(2)当ab ＜0 时，

上式也可以改写为

(3)如果a=0，b≠0，则

3 KdV 方程的精确行波解

KdV 方程为

是非线性物理问题中的重要方程，主要用于研究浅水波问题和离子声波问题，并受到学界关注［7－8］.对式(5)作行波变换u=u(ξ)，ξ=x－Vt，得到

上式对ξ 积分，并取积分常数为C，有

根据齐次平衡法，式(3)中n =2(n +3 =2n +1).因此KdV 方程的解可以写为

利用式(3)和方程(4)，可得

求解以上方程组，可以得到

利用式(10)、(8)可以写为

把式(8)的通解代入式(11)，可得到KdV 方程的精确通解.

(1)当ab ＜0 时，得到双曲函数通解

其中E，D 是任意常数，ξ=x－(α0+8abβ)t.

即KdV 方程的孤立波解.

(2)当ab ＞0 时，

其中E，D 是任意常数，ξ=x－(α0+8abβ)t.

即KdV 方程的三角函数解，反之亦然.

(3)当a=0，b≠0 时，

其中E，D 是任意常数，ξ=x－(α0+8abβ)t.

4 mKdV 方程的精确通解

mKdV 的表达式为

作行波变换u=u(ξ)，ξ=x－Vt，式(17)可得

上式对ξ 积分，并取积分常数为C，得到

根据齐次平衡法，在式(3)中，n=1(3n +1 =n +3).则式(19)存在以下解

利用式(3)，可得

把式(21)、(22)代入式(20)得到:

由以上方程有

(1)当ab ＜0 时，双曲函数通解为

即mKdV 方程的孤立波解.

(2)当ab ＞0 时，三角函数通解为

即mKdV 方程的三角函数解.

(3)当a=0，b≠0 时，有

此处E、D 可取任意常数.

5 (g'/g2)展开法与其他方法求解行波解的比较

一般来说，求解KdV 方程和mKdV 方程的方法主要是利用椭圆函数的性质. 然而，椭圆函数法求解上述2个方程时，得到的是相关的椭圆函数正弦波解或余弦波解，这介乎2个极限:线性解和孤立波解之间，在得到椭圆函数解之后，还需要选取适当的极限才能得到对应的孤立波解. 另外，根据相关文献［4］，(g'/g)展开法也是一个求解方程的较好方法，但是在求解过程中不具有用(g'/g2)展开法所体现的优势.

6 结论

通常，求解KdV 方程和mKdV 方程的方法主要是利用椭圆函数法.然而，椭圆函数法求解上述2个方程时，得到的是相关的椭圆函数正弦波解或余弦波解，这介乎2个极限:线性解和孤立波解. 在得到椭圆函数解之后，还需要选取适当的极限才可以得到对应的孤立波解. 另外，采用(g'/g)展开法求解过程比较冗长、繁琐.

本文采用(g'/g2)展开法研究了KdV 方程及其变形mKdV 方程. 并且得出了这2个方程的精确通解:双曲函数解、三角函数解及有理函数解. 如果双曲函数中的常数做出适当改变，可得到孤立波解.根据求解过程，相比(g'/g)展开等方法，采用(g'/g2)展开法研究非线性方程(KdV 方程和mKdV 方程)，具有计算简便、直接等优点. 至于(g'/g2)展开法在求解其他非线性方程的应用有待研究与讨论.

［1］Hirota R. Exact solution of the Kortewegde Vries equation for multiple collisions of solitons［J］. Physical Review Letters，1971，27:1192－1194.

［2］Liu S K，Liu S D，Fu Z T，et al. Jacobi elliptic function expansion method and periodic wave solutions of nonlinear wave equations［J］. Physics Letters A，2001，289:69－74.

［3］Wang M L. Solitary wave solutions for variant Boussinesq equations［J］.Physics Letters A，1995，199:169－172.

［4］Wang M L，Li X Z，Zhang J L. The (g'/g)-expansion method and travelling wave solutions of nonlinear evolution equations in mathematical physics［J］. Physics Letters A，2008，372:417－423.

［5］Li W A，Chen H，Zhang G C. The (ω/g)-expansion method and its application to Vakhnenko equation［J］.Chinese Physics B，2009，18(2):400－404.

［6］陈继培，陈浩. (g'/g2)展开法及其在耦合非线性Klein-Gordon 方程中的应用［J］. 华南师范大学学报:自然科学版，2012，44(2):63－66.Chen J P，Chen H. The (g'/g2)-Expansion method and its application to coupled nonlinear Klein-Gordon Equation［J］. Journal of South China Normal University:Natural Science Edition，2012，44(2):63－66.

［7］Feng Z S，Chen G. Solitary wave solutions of the compound Burgers Korteg-de Vries Equation［J］.Physica A，2005，352:419－435.

［8］蒋毅，陈渝芝，蒲志林.1 +1 维空间中变系数KdV 方程组的精确解［J］. 四川师范大学学报:自然科学版，2007，30(6):670－673.Jiang Y，Chen Y Z，Pu Z L. Explicit solutions to the {1+1}-dimensional KdV Equations with variable coefficients［J］. Journal of Sichuan Normal University:Natural Science，2007，30(6):670－673.