数学：理性精神的熏陶

房元霞　宋宝和

摘 要：教学永远具有教育性，数学教育是以数学来育人的，数学教学渗透德育是科学性和思想性相统一的教学原则的要求。高中数学教学渗透德育首先要充分发掘数学知识的德育内涵；其次要精心提炼数学知识的德育意义；还要适时升华数学知识内蕴的德育价值，使德育与智育融合。

关 键 词：高中数学；德育；教学

作者简介：房元霞，山东省聊城大学数学科学学院，教授；宋宝和，山东省教育招生考试院，研究员

学科教学渗透德育，学生容易认同，有润物无声潜移默化的教育效果，是思想政治课程重要的辅助和补充。数学课程课时多，师生交往频繁，有时间优势。结合数学的特点渗透社会主义核心价值观，充分发挥数学的德育价值，对于养成中学生良好的思想品德，提高教学质量具有重要的作用。

一、充分发掘数学知识的德育内涵

数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。由于人类社会和自然界的各种事物和现象都有量的规定，都有存在形式及其与外界的普遍联系，因此，当数学将这一切作为对象加以抽象，然后再返回到教育过程中去的时候，无论是内容还是方法，都会涉及社会生活各个领域的问题。数学教师要做有心人，要善于发掘、捕捉数学知识中的德育内涵，进而结合实际适时渗透。

例如，为了归纳等比数列，教材选择了等比数列的例子：一种计算机病毒可以查找计算机中的地址簿，通过邮件进行传播。如果把病毒制造者发送病毒称为第一轮，邮件接受者发送病毒称为第二轮，以此类推。假设每一轮每一台计算机都感染20台计算机，那么在不重复的情况下，这种病毒每一轮感染的计算机数构成的数列是：1，20，202，203，…可以看出：由于这个等比数列中公比较大，所以病毒的传播速度是很快的，学生容易认同。而对于公比不这么大时，学生的看法就不尽相同了。可以来做一个数学实验，取一张普通的纸（通常厚度约为0.1 mm），将其对折，再对折，此时纸仍不到0.5 mm；若对折10次，纸会多厚？再对折100次，又有多厚？大多数同学会估计，即使经过100次对折，纸的厚度也不会厚于1 m。而事实上，经过42次对折纸的厚度已达到43.98万 km，从地球到月亮（38.44万 km）还有富余。由此可以想象即使是一传俩，病毒的传播速度也是非常惊人的，远远超出我们的想象。这个例子就是要我们相信科学，要运用所学知识来理性的思考遇到的问题，不要轻信谣言，更不能传播谣言，不能随便受人蛊惑。

再举一个例子，现在存入银行1万元，年利率是1.98%，那么按照复利，5年内各年末得到的本利和分别是：10 198，10 399.92，10 605.83，10 815.83，11 029.99。[1]将问题做一般化处理，设本金为p元，年利率为r，如果以年为单位计算复利，那么，t年以后资金总额是p（1+r）t元。[1]如果以月为单位计算利息，则月利率为r/12，t年后资金总额是p（1+r/12）12t元；如果以天为单位计算复利，则t年后资金总额是p（1+r/365）365t元。一般地，如果以1/n年为单位计算复利，那么t年后资金总额是p（1+r/n）nt元。如果每时每刻计算复利（连续复利），那么，t年后资金总额是pert元。假设年利率按1%计算，本金69年多翻一番，若按4%计算，则17年多翻一番，利率提高到原来的几倍，翻番的时间缩短为原来的几分之一。所以，国家法律规定民间的资金借贷活动不能连续计息，利率也“最高不得超过银行同类贷款利率的四倍”，否则不受法律保护。这个模型不仅可以分析投资与收益，人口问题、生物种群的消长问题、放射性物质的衰变问题等都适用。譬如，我国大陆人口2012年约为13.4亿，自然增长率若按2005年的5.89‰计算，每年的净增人口约为791.6万，如再增长一个千分点，则多增加约135万人。所以我们国家从上世纪七十年代就实行计划生育政策，提倡晚婚晚育，优生优育，这的确是富民强国的明智之举。

二、精心提炼数学知识的德育意义

“科学技术作为人类文化的组成部分，它对于社会的意义，不仅存在于物质的范畴，而且存在于精神的范畴。”[1]高中数学课程突出了数学技术实用性、计算性等工具性、技术性的一面，但数学又是一种文化，数学思想是凝聚着人类高度理性的精神财富。我们探讨中学数学课程在教育中的德育意义，就应精心提炼其内蕴的文化价值，探讨由数学这门学科的科学规定性产生的精神力量和意志品质，进行理想、信念和态度教育。

在函数的图像中，纵轴的箭头指向高中学习的总目标：努力学习科学文化知识，提升自己的能力，将来做一个对国家、对社会有用的人；纵轴上一个个标记单位的正整数就是我们努力的阶段性目标。指数函数y=ax（a>1）在（-∞，+∞）上单调递增，图像指向右上方，提醒我们坚持不懈的努力，每天朝着目标迈出一小步，那么我们将实现近期目标且逐步实现人生目标。对数函数x=logaN（a>1）的值域是（-∞，+∞），启示我们不要怕起点低，只要能够意识到自己的不足，肯勤奋努力，刻苦学习，终究会实现目标。幂函数y=xα（0<α<1）随自变量x的增大，函数变化尽管缓慢，但值域一样是[0，+∞），使我们明白水滴石穿、绳锯木断，日积月累，事情终究会发生质的改变，学业是这样，做人更是如此，不以善小而不为，不以恶小而为之。正弦函数y=sinx，x∈（-∞，+∞）是以2π为周期进行周期性的波动，使我们看到不论学习还是做什么事情，如果是“三天打鱼，两天晒网”，摇摆不定，不能持之以恒、坚持不懈，终究会一事无成。虽然幂函数y=xα（α>0）的图像在（0，+∞）上单调递增，但是不同类的幂函数上升的速度还是差距较大，随着自变量取值逐渐增大，当α>1时位于直线y=x的上方，上升较快，当α<1时位于直线y=x的下方，上升较慢，所以无论学习还是做事要善于总结适合自己的方法，方法对头了，才能事半功倍。指数函数与对数函数的单调性据α的取值不同而有较大差异，当α>1时，是相应区间上的增函数，当0<α<1时是减函数。使我们认识到，“近朱者赤，近墨者黑”，要向好的榜样学习，见贤思齐，耳濡目染，不经意间脱胎换骨。两类函数的图像也警示我们，如果人生偏离了正确的方向，很快就会滑落深渊，所以要在日常的生活和学习中养成良好的品质和习惯，遵纪守法，严于律己，不好逸恶劳，自觉抵制社会不良思潮的诱惑。

微积分的创立是数学史上的里程碑，它的发展不仅为研究变量和函数提供了重要的方法，更使得数学理性极度升华，是培养学生理性思维品格和进行数学审美好素材。这里以计算曲边梯形的面积为例。矩形的高是不变的，因此，矩形面积=底×高。而曲边梯形在底边上各点处的高f（x）在[a，b]上是变化的，故曲边梯形的面积不能用这个公式来求，否则误差太大。由于曲边梯形的高f（x）在[a，b]上也是连续变化的，根据函数的连续性，在很小的一段区间上它的变化很小，可以近似地看成不变。因此，如果把[a，b]划分为许多小区间，在每个小区间上用其中某一点处的高来近似代替这个小区间上窄的曲边梯形的变高，用窄矩形的面积代替窄曲边梯形的面积，用阶梯形的面积代替曲边梯形的面积，误差就小了。但毕竟有误差，不是精确值。如果让每个小区间的长度趋于0，这时阶梯形趋于曲边梯形，各个窄的矩形的面积和作为曲边梯形的面积的误差趋于0，窄矩形面积之和（阶梯形的面积）的极限自然定义为曲边梯形的面积。解决曲边梯形面积问题的数学思想多么自然质朴，多么平和入理，毫无抽象、神秘之感。数学思维多么简约精确，多么深刻透彻，多么严谨、周密、富有理性，毫无臆造、粗糙之嫌。数学是真、善、美的化身，它在解决问题的过程中一步步将人的思维引向深刻，在很大程度上使人脱离世风浮躁的冲击。

三、适时升华数学知识的德育价值

每一门科学都有自己的追求、规范、方法和价值判断，这些科学规范对于学习科学知识的人们常常具有很强的约束力。数学科学也不例外，数学也有自己的品性与风格，这些品性和风格始终要求人们不能违背数学的科学规范。教师在将知识的学术形态转换为教育形态的加工过程中，要把自己对数学规范的认识和理解贯彻到数学教学中，适时升华数学知识内蕴的德育价值。

以闭区间上的连续函数曲线为例，弯弯曲曲、高高低低、绵延伸展，在该区间上一定能取得它的最大值和最小值。但是，极大值不一定是最大值，极小值也不一定是最小值，极大值不一定比极小值大，极小值也不一定比极大值小，极值仅是函数的局部性质并非整体性质，因而只能说明这个局部，不能说明别的局部，当然更不能以偏概全代替整体。它暗示我们，如果自己的学习成绩或某方面是个极大值，也不要因此而骄傲或瞧不起别的同学，要把眼光放长远一些，不要只局限于自己班级的情况，山外青山天外天，走在前面的人多的是。再者有了高原的铺垫，山峰才能海拔更高，同学们要团结协作，形成一个积极向上的团体，促使高的更高，强的更强。如果自己的学习成绩或某方面是个极小值也不要灰心，只要肯努力，走过“柳暗”就会迎来“花明”。人生的路又何尝不是如此，有时平坦一帆风顺，有时崎岖步履艰难，因此，我们要始终保持冷静的头脑和积极向上、乐观豁达的人生态度，顺风顺水的时候，我们一日千里，突飞猛进，遇到挫折时，也不灰心、不自弃，勇敢地面对成功与失败的挑战。

数学学科的相继性较强，知识之间联系密切。所以数学学习一方面需要及时整合已学过的知识和方法创造新的知识和方法；另一方面，每学过一种新方法都要反思能否更好地解决以前学习中曾经遇到过的问题。例如，函数的导数是函数在某点的瞬时变化率，为了求得瞬时变化率，先给自变量以增量，相应的有函数的增量，便得到函数在这点的平均变化率，它是自变量增量的函数，自变量的增量趋于0，平均变化率的极限成为函数在这点的瞬时变化率。函数的增量、率等都是旧概念，作平均变化率，将其视为自变量的增量的函数，再在自变量的增量趋于0时取极限就创造出新概念和方法——瞬时变化率。如果用形来表示，平均变化率是曲线在某点的割线的斜率，瞬时变化率是曲线在该点处切线的斜率，在该点的割线的极限位置是在该点切线。如果|Δx|很小，则|Δy-f'（x）Δx|比|Δx|小得多，因此在该点的邻近，可以用切线段来近似代替曲线段，将非线性函数局部线性化。在工程问题中，对于复杂的函数的计算我们可以用近似公式来代替。这就提示我们，创新并不是什么高不可攀的，只要我们有扎实的基础，面对数学问题，会思考，肯钻研，勇于创新、敢于创新一定可以做出好的成绩。再如函数单调性的判断方法比较丰富，我们可以先画出函数的图像，根据图像判断函数的单调性；也可以根据定义用作差比较法来证明函数的单调性；学习了导数后，利用导数符号判断函数单调性就更便捷。正是东方不亮西方亮，水路不通旱路通，条条大路通罗马。面对数学问题或生活中的问题，不能急功近利，要有良好的心理素质、思维品质，要注意积累，经常反思，集思广益，终究会将问题圆满解决。

习惯的养成，品德的提高，往往不在于别人的说教，而在于自身的感悟与体验。高中数学教学渗透德育，我们不能奢望其能塑造学生完善的人格，但我们期望其能针对学生的思想实际，使智育和德育做到真正的融合，使学生受到数学理性精神的熏陶，当其在心性与思维受到碎片化信息的迷惑和干扰时，能保持必要的平衡，拥有矫正的张力。

参考文献：

[1]何伯镛.大哉，数学之为德[J].数学教育学报，1996（2）：10-14.

责任编辑/杨艳利