问题解决因充满“创造”而精彩

赵玉城，甘肃省定西市第一中学教研室主任，甘肃省特级教师。主持完成“数学思维教育研究”等省级课题3项，均获“甘肃省基础教育优秀科研成果奖”：参与完成（材料统筹）甘肃省专项课题、规划课题3项：主持完成全国教育科学“十五”规划重点课题《数学教学综合评价的方法与策略》子课题“构建课堂评价体系促进教师能力发展研究”工作：发表论文40余篇：曾被中国数学会评为“优秀教练员”，荣获国家中学数学教育最高奖——苏步青数学教育奖。

问题解决不仅是一项数学课程目标，还是一个发现与探索的过程，又是一个使学生实现“再创造”的过程，让学生借此过程可以认识和理解数学。同时，问题解决也是我们实现数学教育目的的重要手段。此时，问题解决就独立于一般的具体数学内容而成为数学学习的重要方面。在中学数学教学中，培养学生探索问题的能力和勤于思考的良好习惯，对学生的健康发展大有好处，而创造性思维的发掘又是培养学生的创新能力和刻苦钻研精神的基础。

一、问题解决是一种适宜的教学形式

数学教育的目的并不仅仅是为了学生学到一些数学知识，更重要的是让学生学会在这个充满疑问、有时连问题和答案都不是确定的世界里生存的本领。

对问题解决过程的探讨历来受到许多哲学家和心理学家的高度重视，就数学解题过程来说，波利亚将其分为：弄清题意、拟定计划、实现计划、回顾四个阶段并制订出相应的解题表。尽管有些数学家、教育家对它做过一些改进，但都没有超出它的范围。波利亚认为数学是一种创造活动，不要把数学理解为一种常规的、形式主义的演绎学科，而应类似于自然科学，它取决于猜想、顿悟和发现。他认为，问题解决是一种“实践的艺术”，问题解决技术应该由教师阐明，并和学生一起讨论。

现代的数学观已由静态的数学观向动态的数学观转变，应把它看成是一种人类活动和文化过程。它不再是概念、定理等各种数学事实的简单堆积，而是由问题、语言、命题、方法、核心思想、数学传统、启发性成分等组成的复合体。问题和问题解决都是数学活动的核心所在。因此，数学学习也是在一定的共同体下参与交流、讨论、批评和反思的过程，而问题解决无疑是一种适宜的教学形式。

二、问题解决中的创造性思维及主要表现形式

问题解决作为一种适宜的教学形式，总是有不断改进和追求的目标。除了掌握基础知识，人们更关注“少投入多产出”的效果，甚至通过一定的基础与技能开创新领域。这就必须具有开创意义的思维活动——创造性思维。广义上讲，创造性思维不仅表现为作出了完整的新发现、新发明的思维过程，而且还表现为在思考的方法和技巧上，在某些局部的结论和见解上，具有新奇独到的思维活动。

其关键在于怎样具体地进行创新性思维，在于多角度、多侧面、多方向地看待和处理事物。在中学数学教和学的领域内，其核心突出地表现为：对问题的加工、对解决方案的选择和对整个过程的监控与及时调节。具体讲，就是整个教学活动围绕材料的组织化、逻辑化、数学化、内化展开，教师则要承担起各个环节的引领与时机掌控。

1.联想思维

联想是每一个正常人都具有的思维本能。由于有些概念、现象往往在时空中伴随出现，或表现出某种对应关系，被人脑以一种特定的记忆模式接受，并以特定的记忆表象结构储存在大脑中，一旦以后遇到其中一类似情形时，大脑就会自动地搜寻过去确定的联系，从而联想到不在现场的或眼前没有发生的另外一些概念或现象。

案例一：源于生活实际的“超范围”问题求解

例1：在一个有n（n≥2）人参加的毕业联欢晚会上，学生间均要互赠相片一张，问这个晚会上互赠的相片共有多少张？该问题对于未学过“排列”的学生而言，属“超范围”问题。我们可按布鲁纳的观点，设计个初中生比较熟悉也易于接受的模型。

思路1：提示，如这几名同学站在n边形n个顶点（n≥3）会想到什么？（马上有学生联想到这与n边形的边及对角线条数有关）；再问，n=2时成立吗？（注意求解的完备幽。

思路2：构造图表，只需要考虑目标“元素”与“行数”关系，这是个非常简单的方案（此略）。

很明显，如能在所给坐标平面内得到方程，问题即可获解。但是，这种“位置”的椭圆没有学生学过。事实上，椭圆所处位置与“坐标系旋转”有关。现行课本没有列入这一内容，因而使学生的思维受阻。

教师提示：通过题设与结论的分析，对点的位置描述方法可以改进（调整）吗？学生：选用极坐标系，就能获解（此略）。

可见，“超范围”问题的处理是恰当地变换问题。其实，两个坐标系都属于学生掌握的，之所以将其定位于“超范围”，是由于开始给出的直角坐标系以及长时间的应用把他“固化了”。

3.侧向思维

当我们在一定的条件下解决不了问题，或虽能解决但只是用习以为常的方案时，可以用侧向思维来产生创新性的突破。具体运用方式有以下两种。

一是侧向移入，即摆脱习惯性思维，侧视其他方向，将注意力引向更广阔的领域。二是侧向转换，即不按最初设想或常规直接解决问题，而是将问题转换成为其侧面的其他问题，或将解决问题的手段转为侧面的其他手段等。

案例三：换位思考2例

学习了等差数列、等差中项以后，特意安排了下面的问题。

学生运用了判别式，进行了这样的分类：①两根均为正；②两根中一正一负；③两根中一正一零。

有一部分学生已经将③“遗忘”（节点处教师要提醒）了，运算的繁杂、结果的“多元”，使学生的积极性再次受挫。至此，如果仅仅“质疑”运算能力，是不可取的，若有强大的刺激或进行正确的引导，必然带来思维的变革。

师：“方程至少有一个正根”的反面可以研究一下吗？

（学生茫然。教师坚持）

生：方程两根均为负数或两根中一负一零。

师：二者有关吗？

（有的学生已经悟出了“内幕”。）

生：想到了求补集。

师：请给出答案（目的是与前者做出“自醒性”比较）。

以上过程体现的核心价值观并不只是对“补集”的实验，重要的是运用了逆向思维方法，从而从两极世界中的另一极披露出事物的本质，弥补了单向思维的不足。

三、培养创造性思维的基本途径

1.关注知识发生过程

在教学过程中，教师应把握创新思维培养契机，通过创设问题情景、展示知识背景，使学生感受整个思维过程。

如函数概念是初中阶段最抽象的概念之一，升入高中后大部分学生对此概念仍模糊不清，尤其对函数图像概念的理解更是一头雾水，这将直接影响学生利用函数图像解决数学问题的意识和能力。鉴于此，教师就可以利用“几何画板”预设函数概念的形成过程，让学生主动参与经历函数图像概念的形成过程，帮助学生理解函数图像的概念。可见，数学知识发生的思维过程，应充分体现在问题的提出过程、概念建立的过程、命题的探究过程和解题思维的展现过程与系统之中。

2.创设问题变换情景

创造性思维体现在问题解决中，就是问题变换与问题解决的创新。教会学生解决问题的策略与教会学生发现问题的方法同样重要，这是教学论、学习论和方法论在教学中的体现。问题变换是培养发现能力的有效途径，知识积累越多，问题变换的范围就越广泛。中学数学的各个知识点，都有相当丰富的资源，供我们去探索和发掘。

其中，问题变换是发现问题和规律的重要方法，引导学生进行问题变换不但可以发展数学认知结构，还可以培养学生刻苦学习，博览群书的学习习惯和积极主动的创新精神。值得一提的是，由于心理安全和心理自由是学生进行创造性活动的基本前提；所以，构建民主平等的师生关系，即创设民主宽松的课堂教学氛围，保障学生的主体地位，也是创设问题变换情境必不可少的一个环节。教师在教学过程中如果能保障学生的主体地位，学生就会感到自己受到尊重，就会主动参与并积极地提出问题，甚至直接参与到问题的变换之中。

学生长期形成的思维定势，对接受新概念、新知识具有一定的影响，对创新更有一定的阻碍作用。既学到知识又发展思维并最终形成能力的课堂教学，应该是教学活动的最高境界。它自然地将创新教育作为预设和先导，在问题解决中，促成学生的思维创新。作为人类主要的活动方式和内容的创造性思维，必将随着问题充满“创造性地解决”而大放异彩。（责任编辑罗登廉）