基于设计结构矩阵和着色Petri网的产品设计过程建模与仿真

李海涛 杨 波 尹晓玲 王兴祖 姚 孔

济南大学，济南，250022

0 引言

产品设计过程具有分布性、层次性、动态性和离散性等特点，高效的产品设计离不开高质量的开发过程。一个能准确描述和分析产品开发过程与信息流动的产品开发过程模型，已成为成功实现产品开发的重要保证［1］。产品设计过程建模与仿真就是在这种环境下产生的。

为加强产品开发人员之间的协作和协调，并对产品开发过程进行分析、改进、监控和管理，常采用关键路径法（CPM）、计划评审法（PERT）、UML方法、IDEF方法、设计结构矩阵（DSM）和Petri网法等方法。但上述方法在具体应用上仍存在一定的局限性，如UML方法和IDEF方法都只是一种描述方法，无法建立可执行的过程模型，不支持过程的分析与改进，也不是一个好的定量分析方法。为克服以上问题，许多学者提出了将上述方法结合进行过程建模研究。祖旭［2］提出了基于IDEF0和Petri的集成建模方法，实现了对复杂过程系统的有效分析和仿真；吕超等［3］针对可重组制造系统的两种重组方式，通过将UML与OPN结合的建模方法来建立可重组制造系统的完整模型。

目前，还鲜见将DSM与Petri网相结合，并基于其算法及操作过程来对设计过程进行建模与仿真的相关应用。作为过程建模的有力工具，DSM可以通过执行相关的矩阵操作来优化设计过程，可以描述和分析活动的迭代性，因此DSM方法以及基于DSM的一些相关扩展方法在产品设计领域具有广泛的应用。赵亮等［4］提出了基于双层次DSM技术的多技术系统产品设计方法，解决了多技术系统产品设计中返工迭代多的问题；李潇波等［5］应用数学方法对优化后的DSM与原DSM的矩阵复杂度进行了计算，使复杂度大大降低，耦合任务流程更为明确和合理。但DSM不能清楚表达全局设计活动之间的依赖关系的缺点依旧无法改变。Petri网具有规范的语义、图形化表达形式、广泛的适用性、数学分析能力、较成熟的数学模型，且有软件对Petri网模型进行定性和定量分析，有利于设计过程的优化［6－10］。因此，将 DSM 和Petri网进行结合，对问题的解决具有实质性的帮助。

1 基于DSM的产品设计过程建模

过程建模就是在明确设计目标的情况下，把设计任务进行分解，然后通过各个任务的依赖关系进行任务的重组，得到一个合理的设计流程。过程模型是设计过程管理和监督的依据。

1.1 设计过程的单元化建模

产品系统的设计往往是由若干设计任务按照一定的原则或规律进行的。一个复杂的设计过程往往可以分解为一些简单的基本单元。从信息流的角度，依据设计任务之间的时序关系，可将设计任务之间的关系分为串行、并行和耦合，并可采用邻接矩阵的形式加以描述。在此，本文给出了设计结构矩阵基本单元的定义，如图1所示。

图1 设计任务关联单元模型的矩阵表示

设计任务关联单元模型矩阵中，行元素与列元素之间的关系表示如下：①对角线上的元素表示设计任务本身，用“＊”表示；②矩阵中的元素“1”表示设计任务之间存在着参数交互，即设计任务aj提供信息给设计任务ai，此时矩阵元素aij＝1（i≠j）；③ 矩阵中的元素“0”表示设计任务aj与设计任务ai没有参数交互，aij＝0（i≠j）。通过矩阵可以较好地表达设计任务之间局部依赖、制约等复杂关系。

不难看出，设计结构矩阵从时间上表明了任务执行的先后关系。对角线下方的元素表示来自前期任务的信息可以被后面的任务所利用；对角线上方的元素表示后期任务中产生的信息会导致前期任务的返工。

1.2 设计过程的DSM建模

单元模型是表达设计任务之间关联关系的基本模型，在此基础上可建立复杂产品的设计结构矩阵，来表达其组成任务之间复杂的时序关系与关联关系。

设计结构矩阵是一个N阶的方阵，矩阵的行和列分别对应各个任务，矩阵的元素1和0代表任务之间是否有依赖，1表示有依赖，0表示无依赖。通过直接对矩阵进行坐标变换，得到新的N阶方阵，从而对设计任务进行分析和重组，得到新的流程，实现对设计过程的有效规划，以便对设计过程进行分析、监督和改进。

规定DSM的重构遵循以下原则：

（1）使DSM尽量成为下三角矩阵。

（2）如果矩阵某一行的元素全部为零，则对应该行的设计任务可以单独进行，而不受其他设计任务的影响。因该任务不需要其他设计任务提供任何知识，所以该任务应该尽可能早地实施和完成。

（3）如果矩阵某一列的元素全部为零，则对应该列的设计应该尽可能晚地在其他设计任务之后执行。因为该任务没有为其他设计任务提供知识，但可能需要其他设计任务提供信息。

DSM重构的基本过程如图2所示。首先根据设计任务之间的依赖关系（本文指设计任务间的参数依赖关系）建立设计任务的有向图。从图2可以看出，该产品的设计可分成7个设计任务。在此基础上，根据图1所描述的单元模型，建立设计任务的初始DSM描述模型。然后，按照DSM的重构原则，求出重构后的DSM，并确定有顺序关系、并行关系和耦合关系的设计任务及设计任务的优先级，建立设计流程图。

2 DSM到Petri网的映射算法

复杂产品设计过程中，DSM建立的模型相当庞大，并且对设计过程的阅读也缺乏整体性的把握。虽已有研究通过建立层次DSM将设计过程进行层次化、模块化处理，但在耦合任务多的产品设计中，设计任务的时序关系往往比较混乱，也不能避免设计参数在传递过程中存在的冲突，因此需要一种清晰的图形化建模方法，来反映设计过程中的耦合关系，并描绘设计全过程。Petri网具有坚实的数学基础和易理解的图形表示特征，这使得用Petri网进行分析和交流都非常方便。为此，本文采用DSM到Petri网的映射算法，实现DSM到Petri网的映射，从而将设计过程以着色Petri网的形式表现出来。

Petri网由三种基本要素（库所、变迁以及连接两者的弧）组成。通常情况下，一个设计任务可以用设计资源、设计行为和满足设计的阀值进行描述，这恰好对应Petri网的三要素，库所存放设计资源，资源量用托肯表示；变迁表示设计行为；弧上的权重表示满足设计的阀值，每个设计任务根据定义1进行Petri网描述。

图2 设计过程的DSM建模

定义1 设N＊＝ （P，T，F＊）为一个Petri网的三元组，对于x∈P∪T，满足

其中，P为库所的集合；T为变迁的集合；F＊为库所和变迁间有向弧的集合；·x为x的前集或输入集；x·为x的后集或输出集；·x∪x·为x元素的外延，x＝ （·x）·＝·（x·）。

库所对应着设计任务的条件，即活动发生的因果关系，变迁对应着过程的可执行活动，库所中的托肯代表一个过程实例的状态。一个变迁有一定数量的输入库所和输出库所（分别代表事件的前集条件和后集条件）。当某事件的前集条件成立时，该设计任务（变迁）发生，并将托肯转移到后集库所中。

已有的定义只定义了条件（设计资源）与事件（设计任务）之间的关系，为了清晰描述设计任务与设计任务之间的联系（变迁与变迁之间的关联），将定义1进行推广，得到定义2。

定义2 设N＊＝ （P，T，F＊）为一个Petri网的三元组，对于x∈P∪T，满足

其中，＊x为x的前序或输入序；x＊为x的后序或输出序；＊x∪x＊为x元素的序外延。

本文依据参数关联定义任务间的时序，如图1a中具有串联关系的设计任务A与B。设计任务A将设计参数传递给设计任务B后，设计任务B才能够顺利进行，称为A是B的前序任务，B为A的后序任务，设计任务A、B为串行关系。如果两个相邻的变迁（设计任务）互为前序和后序关系，则两种设计活动是耦合关系，存在数据参数的相互传递。因此在协同设计环境下，这两个设计任务最好划分为在一个设计小组内进行。

以图2所示的设计过程为例，说明DSM向Petri网的映射算法。该设计共有7个设计任务，它们之间设计参数传递关系如图3所示。

图3 设计任务间设计参数传递的树状图

DSM向Petri网的映射算法如下：

（1）根据设计任务间的参数传递关系建立DSM。

（2）遍历DSM中值为1的元素，找出其纵横坐标，建立设计参数传递关系集：M ＝ ｛（A，C），（A，F），（C，B），（C，F），（F，D），（F，E），（F，G），（B，C），（B，G），（B，D）｝。

（3）搜索DSM，标识任务间的时序关系，即判定该任务是前序任务、后序任务还是与其他任务没有联系（可进行并行设计），具体方法为：∀m ∈｛A，B，C，D｝，∀n∈ ｛A，B，C，D｝，如果 m和n之间的关联（m，n）∈M，那么任务m是前序任务，n为后序任务，否则他们之间没有参数传递，为并序关系。

（4）将每个设计任务分为设计任务准备和执行两个阶段。其中，设计任务准备用库所表示，库所包含设计资源；执行用变迁表示，代表设计。因此7个设计任务可以分成7种状态和7种行为，即P ＝ ｛Asat，Bsat，Csat，Dsat，Esat，Fsat，Gsat｝，T ＝｛Aact，Bact，Cact，Dact，Eact，Fact，Gact｝，P 中的Asat～Gsat为库所，T中的Aact～Gact为变迁，连接两者的关系用有向弧来表示。

（5）∀Psat，i∈P及对应的 ∀tact，i∈T，任取有向弧f ＝ （Psat，i，tact，i）∈F＊，这三者构成了设计任务的一组Petri网单元，构成的三元组单元为｛Psat，i，tact，i，（Psat，i，tact，i）｝。

（6）每组Petri网单元之间，即设计任务间的关联，用一条由变迁指向库所的有向弧表示，即（tact，i，Psat，i＋1）。Psat，i＋1为 下 一 个 设 计 任 务 的 准 备阶段。

（7）最后添加输出库所，以及末端变迁与输出库所之间的有向弧联系，形成一个完整的Petri网。

因此，根据DSM向Petri网的映射算法，将图2所示的设计过程转化为如图4所示的Petri网。由于B、C间为耦合关系，将B、C建立层次化子模型单独描述。从图4可以看出，设计任务F需在设计任务B与设计任务C的耦合任务B×C及设计任务A均完成后才能进行，此外，F的后序任务为G、E、D。

图4 DSM向Petri映射的模型

3 基于着色Petri网过程建模及分析

着色Petri网是在Petri网的基础上提出的一种扩展的Petri网模型，用于建立复杂的过程模型。相比Petri网，它具有表达能力强、结构简单、层次清晰等优点，因此本文采用着色Petri网对设计过程进行建模。

3.1 基于着色Petri的设计过程建模

着色Petri网模型要素（库所、变迁、弧）表示设计过程的要素（设计资源、设计行为、操作），用这些模型要素的属性来区分同一类型系统要素的不同个体。着色Petri网中，称这些属性为色彩。着色Petri网将Petri网中的托肯扩展为颜色集，对托肯着以不同的颜色，其实质就是对托肯进行分类，以表达复杂的对象。

设计过程中的着色Petri网建模可以通过定义3完成。

定义3 产品设计过程阶段的建模用九元组着色 Petri网 来 描 述，即 （Σ，P，T，A＋，N＋，C＋，G＋，E＋，I），且各元素需满足下列条件：

（1）Σ是有限非空类的集合，称为颜色集。颜色集决定了着色Petri网中的类型、运算和函数。

（2）P是各个设计任务前集中资源的有限集合。

（3）T是各个设计任务的有限集合。

（4）A＋是设计任务和设计条件之间传递权重的有限集合，并且P∩T＝P∩A＋＝T∩A＋＝Φ。

（5）C＋是由设计任务集合映射到颜色集的颜色函数。

（6）N＋为节点函数，是A＋映射到P×T∪T×P的函数，这里×表示P与T的笛卡尔积。

（7）G＋为由设计任务映射到表达式的守卫函数，其值为布尔型变量类型，且函数中的变量属于Σ。

（8）E＋是由弧映射到表达式的函数，其值必须属于此弧响应库所的颜色集上的多重集。

（9）I是由设计资源映射到表达式的初始化函数。其值必须属于设计资源颜色集上的多重集。

结合定义3，着色Petri网中的映射关系采用标注的形式体现。Petri网三元组的标注顺序如图5所示。我们规定：①库所P的标注顺序是名字、类型／颜色集、初始标识；②变迁T的标注顺序是名字、警卫函数、时间延迟、代码段；③弧f只有一个标注，标注可为函数、常数、变量等。

着色Petri网具有有效的分析技术和工具，其中的CPN tools是丹麦奥尔胡斯大学和美国宇航局联合开发的一个集编辑、仿真和分析于一体的着色Petri网工具，它结合了Petri网可以描述开发过程以及程序语言可以定义数据类型和操作数据的特点。因而CPN tools既可以用来验证系统的功能或逻辑的正确性，又可以进行系统性能的评价，为此，本文用CPN tools进行设计过程的建立及仿真。

图5 Petri网三元组元素的标注顺序

3.2 着色Petri网的分析

建立了设计过程的着色Petri网模型后，可对其进行分析。对着色Petri网的分析包括定性分析和定量分析。

3.2.1着色Petri网的定性分析

着色Petri网定性分析是指通过分析Petri网模型逻辑上的正确性来消除异常结构。用CPN tools进行建模时，着色Petri网模型自行进行仿真并生成空间状态报告，空间状态报告详细描述该着色Petri网模型的可达性、有界性、活性、回复性、公平性等性质。产品开发过程中，当完成其着色Petri网模型后，通过空间状态报告可发现所建模型中存在的不可回复和死的变迁，以及死锁发生在哪些变迁（事件）处。在此基础上，可对方案进行有效修改，避免产品开发繁复的迭代过程，减少设计开发的风险。

3.2.2着色Petri网的定量分析

着色Petri网在逻辑上正确时，需判断设计过程能否达到设计要求，因而要进行定量分析。通常情况下，可利用CPN tools的监视功能以及库所和变迁的时间阀进行系统建模的定量分析。从模型中获取有效数据，并对数据进行分析和比较，可以很好地研究系统的性能。定量分析可用在以下两个方面：

（1）资源冲突及资源利用率分析。通过Petri网对资源属性的分析，可以更方便地进行资源的Petri网建模。设计过程不可避免地发生资源利用冲突，通过着色Petri网对资源进行描述，可以得到不同颜色的集合，Petri网模型描述了资源的利用情况，当发现冲突则停止仿真分析，并进行错误检查。仿真过程中，当完成了定性仿真，并确定没有冲突，可通过定量分析得到各资源的利用率情况。每个资源的利用率各不相同，当高利用率资源有损耗时，设计过程经过一定次数的循环后，这些设计资源有可能不足以满足设计任务所需要的量，造成资源冲突，此刻，我们需更改设计过程，使其在设计完成前不能有死锁的发生。

（2）时间分析。设计过程的一个非常重要的参数是时间。着色Petri网可以模拟设计过程的执行情况，得到设计过程的时间消耗特征，如反应时间、等待时间、项目设计进度等。设计过程中，有不同的设计方案，在方案抉择中，通过着色Petri网的建模并经过多次仿真，得到各个设计方案的平均设计时间，可选择用时最少的方案，并通过调整方案，得到最满意的设计方案。

4 实例

桥式起重机是横架于车间﹑仓库和料场上空进行物料调运的起重设备，下面以桥式起重机小车为例说明基于DSM和着色Petri网的产品设计过程建模与仿真策略的应用。桥式起重机小车的基本组成如图6所示。

图6 桥式起重机小车实物图

4.1 基于DSM的设计过程改进与重组

根据桥式起重机小车的结构设计特点，我们将其设计要求进行分解，确定其设计任务主要由以下部件设计的子任务组成：1.滑轮组和吊钩组；2.钢丝绳；3.起升动滑轮；4.卷筒；5.起升电动机；6.起升减速器；7.制动器；8.联轴器；9.高速浮动轴；10.车轮与轨道；11.运行电动机；12.运行减速器；13.运行制动器；14.高速联轴器和制动轮；15.低速联轴器；16.低速浮动轴；17.小车架。这17个设计任务是有参数传递的，如子任务1设计参数需要传递给子任务4、5、6、7，子任务14的设计参数要传递给11、13、15，其他依次类推。根据图1所示的构造设计结构矩阵基本单元模型，可以建立表1所示的桥式起重机设计任务矩阵，即初始DSM描述。

根据设计结构矩阵的重组法则，通过对表1所示的设计矩阵进行变换，可得到表2所示的新矩阵，即规划DSM描述。

表1 桥式起重机初始DSM描述

表2 桥式起重机规划DSM描述

规划后的设计结构矩阵可以提炼出2组耦合任务集：5、6、8属耦合关系，11、12、13属耦合关系。因此，把它们按照聚类关系分配在可顺序执行设计的2个小组内完成其设计。根据DSM向Petri网的映射关系得到用Petri网表示的两组耦合任务基础模型，如图7所示。

图7 耦合设计任务的Petri网表示

4.2 DSM向Petri网映射及模块化设计流程的构建

据DSM向Petri网的映射算法，我们将桥式起重机DSM向Petri网映射，得到图8所示的基于Petri网的设计过程模型。表3、表4所示为桥式起重机设计过程Petri网模型中，库所和变迁的含义。由着色Petri网可以得到T5、T6、T8相互耦合，T11、T12、T13相互耦合，而它们之间又没有参数传递，可以并行执行，由此描述设计过程的时序关系。

图8 基于DSM的小车设计过程着色Petri网模型

表3 设计过程中库所含义对照表

表4 设计过程中变迁含义对照表

实际生产过程中，要求缩短产品的设计周期，产品设计也不是顺序进行的，而是利用模块化、层次化、资源利用最大化的产品设计方法，来缩短设计周期，使产品快速上市，形成产品竞争力。因此，通过对着色Petri网模型的分析，按照模块化设计原则，确定将桥式起重机小车的设计由5个设计小组来完成，即小车架设计小组（Team 1）、车轮和轨道设计小组（Team 2）、小车运行机构模块设计小组（Team 3）、钢丝绳卷绕系统设计小组（Team 4）和传动装置设计小组（Team 5）。各个小组所包含的设计任务如表5所示。

表5 设计小组的划分

设计模块之间存在着时序关系，由着色Petri网模型可以得出具有时序关系的桥式起重机模块化设计流程，如图9所示。

图9 桥式起重机模块化设计流程

在建立有优先顺序的多个设计模块模型时，通过引入反库所的形式来反映变迁（设计任务）发生的先后。

4.3 设计任务优先级基本单元模型

本文利用反库所构造变迁优先级别，来反映不同设计小组执行设计任务的先后顺序。图10中，由于弧 T1－P2、P2－T2与 T2－Antiplace、Anti－place－T1的方向相反，所以库所Anti－place叫做反库所。下面给出反映设计任务优先级别的基本单元模型。

图10 利用反库所构造的设计任务优先模型

设计任务T2处在使能状态，激发T2，使得T2的后集P3和Anti－place增加托肯，当库所Anti－place里的托肯增加到其连接变迁T3的弧上的权重时（权重为5｀e，表示此设计任务需要5个单元的资源），由于T3满足激发的前提条件（T3的两个前集中的托肯数均小于它们到变迁T3连接的权重），那么我们说T2的后序设计任务T3满足了激发条件。设计过程模型中，此优先级模型常用在设计模块的优先顺序的构造上。

4.4 基于着色Petri网的资源冲突仿真

根据上述分析，采用CPN ML描述方法，建立资源冲突环境下的桥式起重机小车机构的设计过程着色Petri网模型。首先，根据定义3，给出其着色Petri网模型的定义。

（1）设计过程的着色Petri网模型的三个元素：设计资源（库所）、设计行为（变迁）和连接两者的有向弧。

（2）定义起重机小车设计资源有5种，即人力资源、计算机硬件资源、计算机软件资源、物料资源和信息资源。因此设定颜色集：colset PACKAGE＝with human｜hardware｜software｜material｜information来表示设计资源集合。

（3）初始函数：用于表示设计资源映射到表达式的初始函数。如钢丝绳卷绕系统设计小组的初始设计资源，是一个多重集，其初始函数为1｀hu－man＋＋5｀hardware＋＋1｀software＋＋1｀material＋＋2｀information。

（4）设计任务映射到表达式的守卫函数。这里我们没有定义守卫函数，守卫函数为空。因此守卫函数的布尔型表达默认为true。

（5）弧表达式函数：表示生成一个依赖于相邻库所颜色集的多重集合。如钢丝绳卷绕系统设计小组Team 4设计完成后，资源释放的量值，其弧表达式函数可用多重集a＋＋b表示。

根据模块化设计、并行设计及资源利用最大化要求，按照定义3的规范，即可建立面向资源冲突检测的、桥式起重机小车设计流程图，并利用CPN tools建立其仿真模型，如图11所示。

图11 桥式起重机小车设计过程仿真模型

图11所示的着色Petri网模型体现了设计过程的层次性（图11中的2个耦合任务采用替代变迁连接子页）、离散性（划分为5个设计模块便于设计并行，缩短设计时间）、分布性及动态性（资源的动态性分配）的需求，其建模具有合理性。

4.5 着色Petri网的分析

根据图11建立的桥式起重机小车设计过程仿真模型，利用CPN tools软件，可生成其状态空间报表，从中可以得到所建立的着色Petri网模型的一系列的性质。这里截取报告的一部分来分析所建立的着色Petri网的有界性、活性和公平性部分，如图12所示。

当过程被锁住，不能继续进行，称为“死锁”；设计被黏住，不能继续进行，称为“活锁”。图12中，整个着色Petri网中的“死锁”发生在变迁Begin T1和Begin T2处。我们发现，变迁Begin T1和变迁Begin T2各自的前集库所Begin 1和库所Begin 2并没有进入流程发挥作用。此网中不存在“活锁”的情况，即设计过程没有被“黏住”进入死循环。

表达设计模块的时序关系时，加入反库所的形式，将设计过程划分为5个设计模块并由5个设计小组完成。前序设计模块完成后，后序设计模块才能进行；前序任务所需的资源不足时，后序设计任务的资源可以优先释放，来满足前序设计任务，从而避免由于资源冲突造成的“活锁”和“死锁”状态。

4.6 DSM与Petri网集成建模评价效率及评价指标

通过构建DSM可以看出，每个设计任务均有明确的前序任务和后序任务，但无法判断此设计任务处于整个流程的具体位置，也不知何时会进行此项任务，缺乏对设计流程的整体的监控和管理。但是通过DSM和Petri网的集成建模，根据Petri网的仿真，很容易得出顺序任务、并行任务及耦合任务，且设计流程一目了然。Petri网的替代变迁体现出设计任务的层次性，及仿真过程的动态性、离散性等，相对于其他的过程建模所体现出的仅仅描述的方法，优势明显。因此，结合DSM的任务重组及Petri网的仿真，在进行设计过程建模时，具有实际意义。

图12 状态空间报告中的有界性、活性与公平性分析

5 结语

针对复杂产品在设计初期就要分析其设计的可行性，并对其进行有效规划，本文提出了将DSM与着色Petri网相结合的过程建模方法，其主要工作有：①提出了一种设计过程的单元化建模方法和基于DSM重构的设计过程建模方法；②结合DSM和Petri网的过程建模优点，推导出由DSM到Petri网的映射算法，并构建了与DSM单元矩阵相对应的Petri网单元模型；③将基于着色Petri网的过程建模及分析方法，运用在机械产品设计开发领域，对产品的设计规划、监控及判断设计方案优劣有很好的参考价值。

本文中的研究仍有一定的局限性，如DSM向Petri网的映射仅限在Petri网的图形表达上，因此不能用计算机自动进行映射；此网中虽然加入了优先级概念，但是没有加入时间的分析，及通过监控分析数据来进行分析建立的设计流程。此外，Petri网具有严格的数学表述方式，如何在Petri网严格数学形式的关联矩阵和设计结构矩阵之间建立一种联系，从而满足自动映射；复杂产品过程模型建立后，如何根据资源的更改或增减实时修改Petri网模型，增强Petri网的可拓展性；如何提高模型验证、性能分析方法等的有效性，这些都有待继续深入研究。

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