新课程标准下小学概率教学探究

李明亮，曾 鹏，杨梦霞

(1.湖南第一师范学院数学系中国长沙410205；2.广东省中山市三乡镇大布学校，广东中山528463；3.广东省中山市青少年活动中心，广东中山528403)

随着计算机技术的快速发展和应用，各种信息量正在快速增长。面对大量纷繁复杂的信息，需要人们能及时收集信息，正确整理好各种数据，并对数据进行分析，以找出各种数据所反映出的事物本质规律，从而对现在的发展作出正确的评价，对未来作出正确的预测，而这其中涉及大量与统计、概率有关的数学知识。事实上，学会处理数学信息已成为信息时代每一个公民的基本素质，统计与概率知识技术将越来越重要。

《数学课程标准》在研制过程中，将统计与概率作为数学教育的四大领域之一，这足以说明其教育价值的重要性。小学数学新课标于2011年进行了修改，由2001年版的“三维”目标改为现在的知识与技能、数学思考、问题解决、情感态度“四维”目标[1]。因此，这就要求教师在教学过程中，必须“与时俱进”，更新自己的知识体系，吃透教材，正确把握每个知识点的理论背景和实际含义，以适应新课程标准的要求，适应学生发展的需要，准确无误地教会学生。

本文以新《课标》为依托，结合笔者多年教《概率论与数理统计》的经验，以及这几年“国培”的经历，就小学数学概率教学作了一些尝试与探索。笔者认为，在教学过程中，要把小学概率知识点讲清楚，需从以下几个方面着手。

一、随机现象

（一）现象的分类

任何的研究都是从社会和自然现象开始的，从数学的角度，这些现象分为以下三类：

1.确定现象。在一定条件下必然发生的现象，称之为确定现象，即在相同的条件下重复进行试验，它的结果总是肯定的。如：在一个标准大气压下给水加热到100℃便会沸腾；太阳每天都是从东方升起，西方落下；在地球上向上抛出的重物必然落下等等，这样的现象在我们身边到处可见。

2.随机现象。在一定条件下可能出现这样的结果，也可能出现那样的结果的现象，称之为随机现象，即在相同条件下重复进行试验，每次结果未必相同，或知道事物过去的状况，但未来的发展却不能完全肯定。如：以同样的方式抛硬币却可能出现正面向上也可能出现反面向上；走到某十字路口时，可能正好是红灯，也可能正好是绿灯；掷一颗匀质骰子，掷出的点数可能是1,.2,…,6中的任何一个；一箱子里装有红、黄、绿三种不同颜色的同质小球各1个，从中随机摸1个，则摸出来的可能是红色、黄色或绿色等等，这样的现象在我们身边也到处可见。

(3)模糊现象。事物本身的含义不确定的现象。如：“情绪稳定”与“情绪不稳定”，“健康”与“不健康”，“年青”与“年老”等等。

（二）现象之间的关系

确定性现象与随机现象的共同特点是事物本身的含义确定；随机现象与模糊现象的共同特点是不确定性，但随机现象是指事件的结果不确定，而模糊现象是指事物本身的定义不确定。

（三）研究现象的目的

为什么要研究这些现象呢？那就是要通过研究，找出现象所反映的本质，把现象运行的规律找出来。

人们对确定现象的研究，获得了许多规律，比如：牛顿的运动学理论，万有引力定律，爱因斯坦的相对论，物体的热胀冷缩原理、质量守恒定律等等。

随机现象虽然给人的感觉是“纯属偶然”、难以捉摸，似乎没有规律可言，但事实上人们发现很多随机现象依然存在固有的规律，这种规律体现在对同一随机现象的重复观察之中，我们对随机现象的研究，就是要把这些规律找出来，而在数学中，这些规律就是概率，比如我们常说的抛硬币，出现正面的概率为0.5，掷骰子，出现1,2,…,6的概率均为等。

（四）随机实验

研究随机现象，就是要把随机现象的规律找出来，而要找出这些规律，首先要对研究对象进行观察，我们把对随机现象的观察或为观察随机现象而进行的实验称为随机试验。随机试验应具备以下三个特征[2]：

(1)可在相同的条件下重复进行；

(2)实验的结果至少有2个，并且事先知道所有可能的结果；

(3)实验之前，至于出现哪一个结果，事先并不知道。

例：一箱子里装有5个形状、大小完全一样的小球，2个红球，3个白球，随机从中摸一个，则这个实验就是随机实验。

二、可能性

在研究随机现象时，要对随机现象进行随机试验，每次试验出现的结果是随机的，我们把描述这些出现随机结果的工作称为随机事件。在每次试验中，某一随机事件可能发生，也可能不发生，在《概率论与数理统计》中，描述随机事件发生可能性大小的数量指标就是概率，英文为probability。在小学课本中，没有出现概率这个概念，而是可能性，从上述定义知，概率即就是可能性，它们在本质上是相同的。对可能性的教学，应突出以下几个方面：

（一）可能性的存在

可能性是事物（随机现象）的本质特性，是客观存在的，不以人的意志为转移的，一旦某一事物给定，可能性也就确定了。比如：姚明和易建联，只要他们的各种条件确定，他们的投篮命中率就已经确定，是各不相同的；再如，箱子里装有5个形状、大小完全一样的小球，2个红球，3个白球，随机从中摸一个，则不管怎样摸，摸出红球和白球的可能性是确定的。

（二）可能性的大小

对某一事件而言，该事件发生的可能性是有大小关系的，事件不同，发生的可能性大小也不同，事件发生的可能性大小为[0,1]里的一个数，最大为1，最小为0。

（三）可能性的可度量性（计算）

事件发生可能性大小是可以度量的，度量事件（随机现象）发生的可能性是《概率论与数理统计》的核心任务，度量事件（随机现象）发生可能性大小也是一件很难的事情。人们在研究概率的过程中，先后经历了许多阶段，出现了相应的研究方法，归纳起来主要有频率法、古典法、几何法等，这些在后面会具体研究。

三、可能性的几种定义

在小学概率的学习中，所涉及的随机现象都基于简单事件：所有可能发生的结果是有限的或无限的，每个结果发生的可能性是相等的，我们把这样的事件称为等可能事件。

（一）古典定义

满足下列两个条件的概率模型为古典概型：

(1)每个结果出现的可能性是相等的，即为等可能型；

(2)随机试验中出现的所有可能的结果（即基本事件）只有有限个，则事件A发生的概率为（其中n为所有可能的结果总数，m为A包含的结果数）。

比如，一箱子里装有5个形状、大小完全一样的小球，2个红球，3个白球，随机从中摸一个，则摸到红球的概率为。

（二）几何定义

满足下列两个条件的概率模型为几何概型：

如图5所示，光镜下观察小鼠肾上腺结构，肾上腺皮质由外向内依次为：球状带、束状带、网状带，对照组球状带排列成襻状、圈状或者篮状；束状带向心性排列成束状；网状带细胞排列成网状。与对照组比较，抑郁症组和BCRD模型组出现不同程度的束状带变宽，细胞增大，网状带的细胞相互吻合成更密集的网状结构，并且出现了细胞排列疏松且散乱，细胞间隙变宽，细胞核固缩和深染，胞浆空泡增多等现象，提示皮质功能处于亢进状态。

(1)每个基本事件出现的可能性是相等的，即为等可能型；

(2)随机试验中出现的所有可能的结果（即基本事件）有无限个，则事件A发生的概率为

（其中S为随机实验所有可能的结果所对应的几何图形的面积,SA为事件A所对应的几何图形的面积。）

比如，若在圆心处钉一指针（见图1），随意转动圆盘，停止转动后，指针指向B区域的概率是0.4.（其中A区域占25%，B区域占40%，C区域占35%）

图1

（三）统计定义

统计定义就是用频率定义概率。一个事件A所发生的频率是指在某次实验中，事件A发生的次数nA与实验总次数之比，即

用频率去估算概率是人们早期研究概率的主要方法，比如，抛一匀质硬币出现正面的概率为0.5，人们最早就是从抛硬币的实验中计算出现正面的频率，再根据频率的变化规律得到的。

（四）三种定义之间的关系

(1)这些定义都建立在等可能概型基础之上的，都是人们在认识、探索概率过程中出现的几个阶段。

(3)古典定义和几何定义都可用统计定义来证明，因此，统计定义是整个定义中最基础的。

四、新课程标准下小学概率教学策略

小学阶段学习统计与概率的目的主要是：引导学生用随机的观点来理解现实世界，初步掌握收集、整理、描述和分析数据的方法，逐步形成统计的观念；通过统计与概率的学习，帮助学生认识人、自然和社会，在面对大量数据和不确定情境时制定较为合理的决策，提高解决问题的能力[3]，因此，在教学中应突出以下几点：

（一）认识随机现象时，重复实验的次数要多些，以充分体会各种不同的情况，全面了解随机的含义

现行新课标要求在教学中让学生积累丰富的数学活动经验，从而加深对数学思想的体会与理解。以“抛硬币”教学为例，学生的元认知也是建立在朴素的生活经验上的，如：抛硬币可以在足球比赛中可以用来选场地、乒乓球比赛中决定谁先发球等。至于抛硬币为什么公平，每面朝上的可能性是不是均为二分之一学生是不理解的。那这节课到底要带给学生怎样的思考？笔者认为在学生朴素的生活经验上渗透统计与概率思想应该是这节课帮助学生着重解决的问题。在教学中把班级分成若干个小组，让每个小组进行抛硬币的活动，再让每个小组汇报收集的数据，在收集所有小组数据的基础上帮助学生建立一个总表：把所有正面、反面的次数相加，从而帮助学生从生成的数据中分析正面与反面的可能性是否真的各占二分之一。通常教学中，这样随机收集的数据正反次数是不相同的。抓住数据的差异，追问同学们为什么足球、乒乓球比赛中还选择抛硬币呢？不是从数据中得出正、反的可能性不相等吗？从而帮助学生分析理解数学中的“随机”，是理论上的相等，而不是现实中的一定。然后再相继介绍：做过这个实验的数学家还不少，蒲丰、德·摩根、费勒、皮尔逊、罗曼诺夫斯基。为了得到尽可能精确的结果他们抛的次数很多，数学家们经过多次的统计结果证实了随着抛币次数的不断增加，正面朝上的次数和反面朝上的次数就会越来越接近，说明正面朝上和反面朝上的可能性是相等的。从而得出结论：抛硬币的次数越多，正面朝上的次数就越接近抛硬币总次数的一半。但所有这一切知识的获得是建立在学生动手操作、收集、汇报数据基础上的。

（二）同一个问题，用不同的定义去估算可能性的大小，帮助学生更好地理解

从不同的方法、不同的角度思考问题，从而实现学生对问题的理解，在这一过程中也体验算法多样化对结论的检验，以“摸球问题”教学为例：可用古典概率的方法来思考：枚举所有可能，再找出问题中相应球的数量，用分数表示表示摸到球的可能性。也可以用几何概率的方法：联系扇形统计图知识，把所有的可能性的和看成单位“1”，用一个圆形来表示。再引导学生按球的个数把圆形平均分成若干份，再根据题目要求涂色，选取的涂色部分占整个圆片的几分之几，用分数表示其可能性。还可以用统计的方法：如学生对前两种方法都表示怀疑或不理解，可以让摸一摸进行统计的方法来思考。以上列举的古典、几何、统计的方法为例，通过调用学生不同的知识经验从不同的角度思考，无论是正常思考还是逆向验证都是帮助学生更好的理解可能性教学。

（三）让学生自己动手实验，自己总结规律，以培养他们发现问题，归纳总结的思维能力

以“抛硬币”、“摸球问题”的教学为例，只有学生充分经历了数据的产生、数据的收集、数据的整理，才能从汇总的数据中进行分析和大胆的推测，才会有可能性教学的延续与发展。才能帮助学生理解现实中如中奖，转盘等数学问题。又如2013年中山市五年级数学期末测验卷中的一道题：在一次抛硬币活动中，前4次正面朝上，后2次反面朝上，请问第7次正面朝上的可能性是（ ）。以笔者所在学校的班级为例，具备大量动手实践操作的班级能轻松得出结论，因为在动手实验时教师早已引导学生对每一次结果进行预测、分析，学生在思辨与反刍中早已明白答案为二分之一，但动手操作相对比较少的班级正确率还不到百分之六十。可知，学生的理解，是基于动手操作的经验积累，是建立于直观基础之上的抽象学生才能很好的领悟。只是单一的说教，甚至事先把结论告诉学生，一遇到变式的题型学生很难理解，更不用说灵活运用知识，因为对可能性的内涵理解不清楚。所以说，小学阶段的概率教学应当建立在学生充分实践、充分操作的基础上。

[1]中华人民共和国教育部.全日制义务教育小学数学课程标准[S].北京:北京师范大学出版社.2010.

[2]齐民友.概率论与数理统计[M].北京:高等教出版社.20112:2.

[3]新课标下的教学设计[精][DB/OL].(2010-05-10).http://www.diyifanwenwan.com/jiaoan/jiaoxe/0812270648439 234557.htm.