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谈谈函数方程思想

2014-12-03向琪

中学生数理化·教与学 2014年12期
关键词:值域定义域整数

向琪

函数方程思想即函数与方程之间的转化思想,也就是将函数问题转化为方程的观点来解决,或者将方程问题转化为函数的思想来解决.这个思想方法既是全国各地高考命题的重点,又是热点,几乎每年高考数学试题中都会出现,因此,掌握好函数方程思想是十分必要的.

第一,常见如下三种类型的转化.

(1)若a>f(x)(a≥f(x))恒成立,则a>f(x)max(a≥f(x)max)(如果函数没有最大值,其值域是(m,n),则a≥n).

若a

(2)设函数f(x)的定义域为D,若x1∈D,使a>f(x)(a≥f(x))成立,则a>f(x)min(或a≥f(x)min)(如果函数没有最小值,其值域是(m,n)则a>m).

若x1∈D,使a

(3)若方程a=f(x)有解,则a的取值范围为函数f(x)的值域.

第二,根据以上三点,有下列变式结论.

(1)若对x1,x2∈D,|f(x1)-f(x2)|≤a成立,则a≥f(x)max-f(x)max.

(2)若x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)=g(x2)f(x)在D1上的值域A与函数g(x)在D2上的值域B的交集不是空集,即A∩B≠.

(3)若x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)=g(x2)f(x)在D1上的值域A是函数g(x)在D2上的值域B的子集,即AB.

(4)若f(x),g(x)是闭区间D上的连续函数,则对x1,x2∈D,使得f(x1)≤g(x2)f(x)max≤g(x)min.

(5)若x1∈D1,x2∈D2,使得f(x1)≥g(x2)f(x)min≥g(x)min.

例1已知集合P=x|12≤x≤2|,函数y=log2(ax2-2x+2)的定义域为Q.

(1)若P∩Q≠,求实数a的取值范围;

(2)若方程log2(ax2-2x+2)=2在12,2内有解,求实数a的取值范围;

(3)若不等式log2(ax2-2x+2)>2在12,2内恒成立,求实数a的取值范围.

解:(1)由题意,不等式ax2-2x+2>0在区间12,2上有解,即在区间12,2上至少存在一个实数使不等式ax2-2x+2>0成立.

由ax2-2x+2>0,得a>-2(1x)2+2·1x.

∵x∈12,2,

∴1x∈12,2.

∴函数y=-2(1x)2+2·1x∈-4,12.

∴a>-4.

(2)由题意,方程a=2x+2x2在区间12,2内有解,令x+1=t,则x=t-1,t∈32,3;则a=2x+2x2=2t+1t-2.

令y=t+1t,则y′=1-1t2>0.

∴y=t+1t在区间32,3上是增函数.

∴2t+1t-2∈

32,12,即a∈32,12.

(3)由题意,a>2x+2x2在区间12,2上恒成立,由(2)知,2x+2x2∈32,12,所以a>12.

例2设函数f(x)=ax+xlnx,g(x)=x3-x2-3.如果存在x1、x2∈[0,2],使g(x1)-g(x2)≥M成立,求满足条件的最大整数M.

解:由题意,M≤[g(x1)-g(x2)]max=g(x)max-g(x)min即可.

∵g′(x)=3x2-2x=x(3x-2),

∴x∈(0,32)时,g′(x)<0,g(x)递减;x∈(23,2)时,g′(x)>0,g(x)递增.

∴g(x)min=g(23)=-8527,g(x)max=max{g(0),g(2)}=1.

∴g(x)max-g(x)min=11227.

即M≤11227,所以满足条件的最大整数M为4.

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