谈谈函数方程思想

向琪

函数方程思想即函数与方程之间的转化思想，也就是将函数问题转化为方程的观点来解决，或者将方程问题转化为函数的思想来解决.这个思想方法既是全国各地高考命题的重点，又是热点，几乎每年高考数学试题中都会出现，因此，掌握好函数方程思想是十分必要的.

第一，常见如下三种类型的转化.

（1）若a>f（x）（a≥f（x））恒成立，则a>f（x）max（a≥f（x）max）（如果函数没有最大值，其值域是（m，n），则a≥n）.

若a

（2）设函数f（x）的定义域为D，若x1∈D，使a>f（x）（a≥f（x））成立，则a>f（x）min（或a≥f（x）min）（如果函数没有最小值，其值域是（m，n）则a>m）.

若x1∈D，使a

（3）若方程a=f（x）有解，则a的取值范围为函数f（x）的值域.

第二，根据以上三点，有下列变式结论.

（1）若对x1，x2∈D，|f（x1）-f（x2）|≤a成立，则a≥f（x）max-f（x）max.

（2）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A与函数g（x）在D2上的值域B的交集不是空集，即A∩B≠.

（3）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）=g（x2）f（x）在D1上的值域A是函数g（x）在D2上的值域B的子集，即AB.

（4）若f（x），g（x）是闭区间D上的连续函数，则对x1，x2∈D，使得f（x1）≤g（x2）f（x）max≤g（x）min.

（5）若x1∈D1，x2∈D2，使得f（x1）≥g（x2）f（x）min≥g（x）min.

例1已知集合P=x|12≤x≤2|，函数y=log2（ax2-2x+2）的定义域为Q.

（1）若P∩Q≠，求实数a的取值范围；

（2）若方程log2（ax2-2x+2）=2在12，2内有解，求实数a的取值范围；

（3）若不等式log2（ax2-2x+2）>2在12，2内恒成立，求实数a的取值范围.

解：（1）由题意，不等式ax2-2x+2>0在区间12，2上有解，即在区间12，2上至少存在一个实数使不等式ax2-2x+2>0成立.

由ax2-2x+2>0，得a>-2（1x）2+2·1x.

∵x∈12，2，

∴1x∈12，2.

∴函数y=-2（1x）2+2·1x∈-4，12.

∴a>-4.

（2）由题意，方程a=2x+2x2在区间12，2内有解，令x+1=t，则x=t-1，t∈32，3；则a=2x+2x2=2t+1t-2.

令y=t+1t，则y′=1-1t2>0.

∴y=t+1t在区间32，3上是增函数.

∴2t+1t-2∈

32，12，即a∈32，12.

（3）由题意，a>2x+2x2在区间12，2上恒成立，由（2）知，2x+2x2∈32，12，所以a>12.

例2设函数f（x）=ax+xlnx，g（x）=x3-x2-3.如果存在x1、x2∈[0，2]，使g（x1）-g（x2）≥M成立，求满足条件的最大整数M.

解：由题意，M≤[g（x1）-g（x2）]max=g（x）max-g（x）min即可.

∵g′（x）=3x2-2x=x（3x-2），

∴x∈（0，32）时，g′（x）<0，g（x）递减；x∈（23，2）时，g′（x）>0，g（x）递增.

∴g（x）min=g（23）=-8527，g（x）max=max{g（0），g（2）}=1.

∴g（x）max-g（x）min=11227.

即M≤11227，所以满足条件的最大整数M为4.