旋转矢量法求解简谐振动初相位

唐义思

摘 要：简谐振动的运动学方程中包含振幅、角频率、初相位三个要素，而在这三个要素中，初相位的求解相对来说比较麻烦，一般情况下都是采用公式法来求解初相位，但这种方法求解过程相当麻烦并容易出错，在该文中介绍使用旋转矢量法来求解初相位的方法，使用该方法来求解初相位则显得相当简洁，运算量也相当小。

关键词：简谐振动 初相位 旋转矢量

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（c）-0057-01

简谐振动是一种最基本的振动形式，其他的复杂振动可以看成是简谐振动的合成，而要确定一个具体的简谐振动则需要求解其运动学方程，这时就需要确定其振幅、角频率、初相位。振幅和角频率的确定比较容易，而初相位的确定则比较困难，但采用旋转矢量法则可以减小计算量并且简单易懂。

1 公式法求解初相位的不足

1.1 求解公式

，在公式中，，为初始速度和初始位移，为角频率。

1.2 公式法求解初相位的过程

从初相位的求解公式中可以看出，在这个区间内存在两个角满足该公式，但对于一个确定的简谐振动来说，显然只能取两个角中的一个。因此，还需要把满足初相位公式的两个角代入，这两式子，只有同时满足这两个式子的那个角才是初相位。

2 旋转矢量法求解初相位

2.1 旋转矢量法的基本内容

如图1所示，一长度为A的矢量绕其始端O以恒角速度沿逆时针方向转动，其矢端M在Ox轴上的投影点P将以O为平衡位置做简谐振动。任一时刻旋转矢量与x轴的夹角为投影点简谐振动的相位，规定沿逆时针方向转动，则相位便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻t的运动状态。旋转矢量与简谐振动的对应关系如表1所示。

2.2 利用旋转矢量法求解初相位的方法

从表1和图1可以看出，只要能确定简谐振动的初位置在圆周上的对应位置便可以求出初相位。但对于一个作简谐振动的物体来说，要确定其位置必须要同时确定其速度及位移的大小及方向。在旋转矢量法中，各象限的速度及位移的关系为图2所示。

2.3 实例

一个做简谐振动的物体在t=0时沿负方向运动且其位移为x=A/2，试求其初相位。

由题意可知，位移为正，速度为负，故初始位置应在第一象限，从而得出图3，从图不难看出，其初相位为。

3 结语

该文首先简单介绍了求解简谐振动初相位的公式法方法，同时指出了该方法的不足，然后重点阐述了用旋转矢量法求解简谐振动的初相位的方法，从介绍和实例不难看出，利用该方法求解初相位相当简洁，计算量也相当小。

参考文献

[1] 王庆飞.普通物理学[M].西安：西北工业出版社，2004.

[2] 朱峰.大学物理学[M].北京：清华大学出版，2002

[3] 程守洙.普通物理学[M].北京：北京大学出版社，1998.endprint

摘 要：简谐振动的运动学方程中包含振幅、角频率、初相位三个要素，而在这三个要素中，初相位的求解相对来说比较麻烦，一般情况下都是采用公式法来求解初相位，但这种方法求解过程相当麻烦并容易出错，在该文中介绍使用旋转矢量法来求解初相位的方法，使用该方法来求解初相位则显得相当简洁，运算量也相当小。

关键词：简谐振动 初相位 旋转矢量

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（c）-0057-01

简谐振动是一种最基本的振动形式，其他的复杂振动可以看成是简谐振动的合成，而要确定一个具体的简谐振动则需要求解其运动学方程，这时就需要确定其振幅、角频率、初相位。振幅和角频率的确定比较容易，而初相位的确定则比较困难，但采用旋转矢量法则可以减小计算量并且简单易懂。

1 公式法求解初相位的不足

1.1 求解公式

，在公式中，，为初始速度和初始位移，为角频率。

1.2 公式法求解初相位的过程

从初相位的求解公式中可以看出，在这个区间内存在两个角满足该公式，但对于一个确定的简谐振动来说，显然只能取两个角中的一个。因此，还需要把满足初相位公式的两个角代入，这两式子，只有同时满足这两个式子的那个角才是初相位。

2 旋转矢量法求解初相位

2.1 旋转矢量法的基本内容

如图1所示，一长度为A的矢量绕其始端O以恒角速度沿逆时针方向转动，其矢端M在Ox轴上的投影点P将以O为平衡位置做简谐振动。任一时刻旋转矢量与x轴的夹角为投影点简谐振动的相位，规定沿逆时针方向转动，则相位便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻t的运动状态。旋转矢量与简谐振动的对应关系如表1所示。

2.2 利用旋转矢量法求解初相位的方法

从表1和图1可以看出，只要能确定简谐振动的初位置在圆周上的对应位置便可以求出初相位。但对于一个作简谐振动的物体来说，要确定其位置必须要同时确定其速度及位移的大小及方向。在旋转矢量法中，各象限的速度及位移的关系为图2所示。

2.3 实例

一个做简谐振动的物体在t=0时沿负方向运动且其位移为x=A/2，试求其初相位。

由题意可知，位移为正，速度为负，故初始位置应在第一象限，从而得出图3，从图不难看出，其初相位为。

3 结语

该文首先简单介绍了求解简谐振动初相位的公式法方法，同时指出了该方法的不足，然后重点阐述了用旋转矢量法求解简谐振动的初相位的方法，从介绍和实例不难看出，利用该方法求解初相位相当简洁，计算量也相当小。

参考文献

[1] 王庆飞.普通物理学[M].西安：西北工业出版社，2004.

[2] 朱峰.大学物理学[M].北京：清华大学出版，2002

[3] 程守洙.普通物理学[M].北京：北京大学出版社，1998.endprint

摘 要：简谐振动的运动学方程中包含振幅、角频率、初相位三个要素，而在这三个要素中，初相位的求解相对来说比较麻烦，一般情况下都是采用公式法来求解初相位，但这种方法求解过程相当麻烦并容易出错，在该文中介绍使用旋转矢量法来求解初相位的方法，使用该方法来求解初相位则显得相当简洁，运算量也相当小。

关键词：简谐振动 初相位 旋转矢量

中图分类号：G64 文献标识码：A 文章编号：1674-098X（2014）09（c）-0057-01

简谐振动是一种最基本的振动形式，其他的复杂振动可以看成是简谐振动的合成，而要确定一个具体的简谐振动则需要求解其运动学方程，这时就需要确定其振幅、角频率、初相位。振幅和角频率的确定比较容易，而初相位的确定则比较困难，但采用旋转矢量法则可以减小计算量并且简单易懂。

1 公式法求解初相位的不足

1.1 求解公式

，在公式中，，为初始速度和初始位移，为角频率。

1.2 公式法求解初相位的过程

从初相位的求解公式中可以看出，在这个区间内存在两个角满足该公式，但对于一个确定的简谐振动来说，显然只能取两个角中的一个。因此，还需要把满足初相位公式的两个角代入，这两式子，只有同时满足这两个式子的那个角才是初相位。

2 旋转矢量法求解初相位

2.1 旋转矢量法的基本内容

如图1所示，一长度为A的矢量绕其始端O以恒角速度沿逆时针方向转动，其矢端M在Ox轴上的投影点P将以O为平衡位置做简谐振动。任一时刻旋转矢量与x轴的夹角为投影点简谐振动的相位，规定沿逆时针方向转动，则相位便唯一确定了投影点作简谐振动在时刻t的运动状态。旋转矢量与简谐振动的对应关系如表1所示。

2.2 利用旋转矢量法求解初相位的方法

从表1和图1可以看出，只要能确定简谐振动的初位置在圆周上的对应位置便可以求出初相位。但对于一个作简谐振动的物体来说，要确定其位置必须要同时确定其速度及位移的大小及方向。在旋转矢量法中，各象限的速度及位移的关系为图2所示。

2.3 实例

一个做简谐振动的物体在t=0时沿负方向运动且其位移为x=A/2，试求其初相位。

由题意可知，位移为正，速度为负，故初始位置应在第一象限，从而得出图3，从图不难看出，其初相位为。

3 结语

该文首先简单介绍了求解简谐振动初相位的公式法方法，同时指出了该方法的不足，然后重点阐述了用旋转矢量法求解简谐振动的初相位的方法，从介绍和实例不难看出，利用该方法求解初相位相当简洁，计算量也相当小。

参考文献

[1] 王庆飞.普通物理学[M].西安：西北工业出版社，2004.

[2] 朱峰.大学物理学[M].北京：清华大学出版，2002

[3] 程守洙.普通物理学[M].北京：北京大学出版社，1998.endprint