改进FFT和小波变换在电力系统谐波检测中的应用研究

纪萍，陈玲 （河海大学文天学院电气信息系，安徽 马鞍山243031）

随着电子技术的迅猛发展，电子产品的功能越来越完善，给用户生活生产带来极大方便。但是，由于非线性器件的存在，给电网带来了越来越多的谐波问题。对电力系统谐波进行检测，是电能质量评估的重要方面之一。电力系统的谐波检测，通常采用快速傅里叶变换来实现。然而，在实际数据采集中，即使采样频率满足奈奎斯特采样定理，也会产生频谱泄漏和栅栏效应，从而使得检测结果产生误差。对于上述问题，主要采用加窗插值的方法来抑制，选择窗函数的要求是主瓣窄，旁瓣低，旁瓣跌落速度快。近年来，小波技术逐渐应用于信号检测中，小波变换是将信号根据高频和低频进行逐级分析，可以根据检测信号的自身特性，划分不同频率，然后对不同频段进行检测。下面，笔者分别采用改进的FFT算法和小波变换技术，对电力系统谐波进行检测，通过对谐波信号幅值检测仿真和实时性仿真对比，给出了电力系统谐波的合理检测方法❶河海大学文天学院校级项目 （WT130004）。。

1 小波变换理论

小波变换是一种时间－频率分析方法，在时间、频率都具有表征信号局部特性的能力，即在高频部分，时间分辨率较高，频率分辨率较低；而在低频部分，频率分辨率较高，时间分辨率较低。设ψ（t）∈L2（R），（ω）为ψ（t）的傅里叶变换。当：

若ψ（t）满足下面的条件：

则CWT存在逆变换，其逆变换公式为：

2 改进FFT算法

设一待检测模拟信号x（t），信号表达式如下：

式中，A为幅值；f0为信号频率；fs为采样频率，加窗后的连续傅里叶变换为：

式中，w（n）为窗函数。由于在－f0和f0处的频谱是对称的，可取一处进行频谱函数分析，现取频点f0，用表示其频谱函数为：

对式（9）进行离散抽样，即f＝k·Δf，得到其离散傅里叶变换：

式中，f0＝k0·f表示信号的峰值频率；f＝fs／N为采样频率间隔，由于信号采样过程中，频谱线很难正好落在峰值点上，要获得峰值点频率，可以采用峰值点左右临近的2条谱线k1和k2来近似逼近真实值，其中，k1和k2为峰值点附近的幅值最大和次最大谱线，k1≤k0≤k1＋1。在具体工程应用中，首先要确定k1和k2的值。

令k1处的信号幅值为处的信号幅值为则由式（10）可得：

由式（11）可知，当窗函数已知时，可以得出所求的k0值，继而可得到修正后的峰值频率。

当0≤k0－k1≤1时，引入一个辅助参数α＝k0－k1－0.5，α的取值范围为［－0.5，0.5］，令将y1和y2带入展开，可得：

当N值较大时，利用求反函数求解原理求解α，可将式（12）改写为α＝F－1（β），采用多项式逼近的方法，得到式（13）：

由于噪声干扰和频谱泄漏的存在，单独采用一根谱线进行修正，易产生误差。因此，考虑使用峰值左右临近的2根谱线进行修正。k1和k2表示峰值左右的2根谱线，对其幅值进行加权平均，来计算实际的峰值幅度，其表达式为：

对于常用的窗函数，当N较大时，可采用多项式逼近的方法，则式（14）可修改为：

式中，b0，b2，…，b2l为2l次逼近多项式的偶次项系数。

由上述算法可以推导出Hanning窗的幅值的修正表达式：

实际中，由于外界环境的干扰，信号工频f0是时刻发生波动的。在该系统中，采用动态的信号频率来代替理想的额定信号频率。在计算基波时，用信号的额定频率作为工作频率进行计算，根据上面的算法求得α。根据f0＝k0·f，α＝k0－k1－0.5，f＝fs／N 可得：

式中，fm1为计算基波时求得的工作频率值，通过加窗插值傅里叶的算法，计算得到的fm1与实际的基波存在误差，但是计算得到的额定值更接近实际信号频率。将计算获得的基波的频率fm1用在二次谐波的测量中，再次利用上述的加窗插值算法进行计算。以此类推，对信号的频率进行不断的修正，使所检测频率无限的接近信号的真实频率值。

3 仿真分析

为了验证算法，对如下形式的信号进行谐波分析仿真：

其中，标准基波频率f0为50Hz；信号的采用频率fs为3200Hz；采样点数为1024。仿真信号的基波及各次谐波的幅值如表1所示。

表1 仿真信号的谐波成分

在小波变换中，小波基的选择至关重要，在众多小波家族中，Daubechies小波由于其具有紧支撑性、连续性等优点，是工程上应用较多的小波函数，因此，采用Daubechies小波中的db20进行谐波分析。改进FFT算法中，考虑到实际仪器仪表的设计制作，采用结构简单Hanning窗，可以提高系统的运算速度。电力系统基波频率在理想状态下即f0为50Hz，2种方法的谐波检测结果和仿真数据如表2所示；信号频率发生变动即f0为48.5Hz 2种方法的谐波检测结果和仿真数据如表3所示。从表2、表3中可以看出，改进的FFT算法可以精确的检测出各次谐波，相对小波变换，检测精度有了很大的提高，小波变换虽然也能将各次谐波有效分离出来，但是，除了基波以外，其他各次谐波的检测误差较大，特别是谐波的基频偏离理想值时，检测效果受到很大影响。

表2 基波为50.2Hz的仿真结果对比

表3 基波为48.5Hz的仿真结果对比

在理想频率下2种方法的实时性仿真结果如表4所示。从表4中可以看出，小波变换的实时性，相对采用加hanning窗的改进FFT算法有了很大的提高，适合有实时性要求的检测系统。

4 结语

改进的FFT算法和小波变换技术都可以检测电力系统谐波，改进的FFT算法计算精度准确，对基波及各次谐波都可以准确测量，但是由于其算法的复杂性，导致其实时性较差，改进的FFT算法比较适合要求精确检测的系统。小波变换具有很好的实时性，能够准确计量基波，但是对n次谐波的计量效果稍差。小波变换技术适合用在检测受谐波危害不严重的电网中，进行实时在线检测。

表4 实时性仿真结果对比

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