基于课程难度定量分析下的四边形比较

马仰楠 陈丹媛 张君敏

摘 要： “四边形”是我国初中数学课程体系中非常重要的内容，《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称《2011版标准》）与2001年《义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《2001版标准》）中对四边形的教学要求发生了很大变化. 本文从内容变化和课程内容的广度和深度进行对比分析，指出了一些值得广大数学教师共同关注的变化与调整.

关键词： 四边形 数学课程标准 对比分析

1.问题提出

“四边形”是我国义务教育数学课程中非常重要的内容，课程标准通过对“四边形”的课程编排、处理反映课程标准倡导的课程理念和课程技术水平.《2001版标准》在我国已使用十年，在这十年来，随着经济的高速发展，社会对人才的要求越来越高. 因此，为了满足社会需求与促进社会主义现代化建设，教育部于2011年12月颁布了《2011版标准》. 本文以课程难度为着眼点，以“课程难度定量模型”为平台，对我国《2011版标准》下的图形与几何和《2001版标准》下的初中几何课程这两部分的内容难度进行比较，探讨几何课程难度差异给学生空间想象能力和推理能力发展带来的影响.

2.课程难度模型的注释

据东北师范大学李淑文和史宁这两位教授对课程内容的广度和深度的研究方法，他们对概念的界定是[1]：课程广度是指课程内容涉及的范围和领域的广泛程度，可以用我们通常所说的“知识点”的多少进行量化. 对知识点的理解和中学数学中知识点的划分，目前尚无统一认识，一般认为知识点是概念、定理及相关技能组成的小的独立的知识系统. 确定知识点的原则是：有分则分，仍为系统.

深度我们可以通过相应的课程目标的不同要求程度的加权平均刻画.《2011版标准》初中段内容结果目标，确定每个知识点的深度，刻画结果目标的动词是“了解、理解、掌握、运用”，刻画过程目标的动词是“经历、体验、探索”，由于我们需要对课程深度进行量化，因此需要对各个水平进行赋值，以区分不同的课程深度值，对此特作如表1的规定[2].

表1 对目标动词的赋值

接着运用下面公式计算出《2001版标准》，《2011版标准》的内容深度.

S=■（■n■=n；i=1，2，3，4）

其中d■（i=1，2，3，4）如表1规定，n■表示属于第d■个深度水平的知识点数，其总和等于该课程标准所包含的知识点的总数，因此可得到课程标准的深度[3].

3.课程内容要求的对比

表2 “图形的认识”、“图形与证明”与“图形的性质”知识点表

注：括号里数字如表一规定.

表3 “图形的认识”、“图形与证明”與“图形的性质”结果目标要求比较表

4.课程内容广度和深度的比较分析

表4 《2001版标准》广度表

表5 《2011版标准》广度表

表6 《2001版标准》与《2011版标准》广度比较表

由表4、表5、表6可知，《2001版标准》中四边形的知识点总量为19个，《2011版标准》的知识点总量为16个，《2011版标准》比《2001版标准》少了3个知识点.从具体课程内容上看，《2011版标准》与《2001版标准》相比，减少了等腰梯形的性质与判定这方面的内容，并且对等腰梯形的相关内容不做要求. 其他知识点变化不大，但结果目标上的知识点调动较大，“了解”从原来的5减少到2，“理解”则增添了4个，主要是概念由了解的要求提高到理解，要求增加了，“掌握”减少了12个知识点，“运用”由0个增添到8个，主要是图形的性质中相关的性质及定理方面增加了难度，既要会运用又得会证明. 以上要求的提高体现了《2011版标准》的第二个目标“运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”[4].

表7 《2001版标准》与《2011版标准》深度比较表

注：以上统计均保留两位小数.

由表4、表5、表7知，《2001版标准》与《2011版标准》属于“了解”水平的知识点分别占26.32%和12.5%，降低了13.82个百分点；属于“理解”水平的知识点分别为0和25%，增加了25个百分点；属于“掌握”水平的知识点分别为73.68%和12.25%， 降低了61.43个百分点；属于“运用”水平的知识点《2011版标准》与《2001版标准》由原来的0提高到50%，增加了50个百分点.《2011版标准》与《2001版标准》的深度加权平均分别为2.47和3.

显然，《2011版标准》与《2001版标准》比较，加强了内容深度. 例如在图形的性质这一知识点中，概念知识点的结果目标提高了，对知识点的要求大多数从“了解”上升到“理解”，相关定理、性质方面的要求则从“了解”上升到“掌握”，更加体现总目标中知识技能要求“经历图形的抽象、分类、性质探讨、运动、位置确定等过程，掌握图形与几何的基础知识和基本技能”，以及《2011版标准》数学思考中的要求“建立数感、符号意识和空间观念，初步形成几何直观和运算能力，发展形象思维与抽象思维”.

修改后的新版标准更加贴近生活需求，提高几何教育价值， 同时培养了学生的几何素养.

NCTM （ 2000）认为：“空间认识对于解释、理解和欣赏我们周围的几何世界是必要的.”[5]

著名的数学家和数学教育家弗莱登塔尔（Fredengthal， 1989）指出：“几何就是把握空间……为了更好地在在这个空间里生活、呼吸和运动，儿童必须学会去了解、探索、征服空间.”[6]

综上所述，几何是至关重要的. 几何可以帮助我们发现、描述研究的问题；可以帮助我们寻求解决问题的思路； 同时它又为研究数学和其他科学提供了工具. 从教育方面看，几何学所培养出来的空间能力，能对其他领域产生强烈的影响，其本身又是一套相对独立的智力研究，不仅提高人的科学素质和基本能力，而且在促进科学地思考、直观判断、表达并操作信息等方面起着不可替代的作用[1].

5.结语

从本文中，通过对《2001版标准》与《2011版标准》中的初中几何课程“图形的性质”、“图形的变化”、“图形与坐标”要求对比及增减，过程性目标要求、广度和深度的比较，我们可以了解到，《2011版标准》对基本图形的概念、定理与性质的要求提高了，知识点之间有很强的连贯性，过程性要求如探究线段、三角形、正方形、平行四边形、圆的性质定理和图形变化等要求更明确. 这些使得初中数学课程内容体系更趋于完善，更有利于对学生创新能力与解决问题的实践能力的培养，也可以让老师更好地安排课程，不断提高教学质量和水平. 从而使每个学生都受到良好的数学教育，让数学教育工作者能更好地指导每个学生，使其得到最大限度的发展.

参考文献：

[1]李士崎（2001）.PME：数学教育心理.上海：华东师范大学出版社.

[2]孙凡哲，史宁中.四边形课程难度的定量分析比较[J].数学教育学报，2005（1）：11-15.

[3]刘海涛.义务教育数学课程标准内容的比较研究[J].数学通报，2012，51（12）：7-12.

[4]中华人民共和国教育部制订.义务教育数学课程标准（2011年版）[M].北京：北京师范大学出版社，2012.

[5]蔡金法，等译.全美数学教师理事会（NCTM）.学校数学课程与评价标准.北京：人民教育出版社，2000.

[6]弗赖登塔尔（Freudenthal）.刘意竹，杨刚，等译.数学教育再探.上海：上海教育出版社，1998.

基金项目：韩山师范学院“大学生创新训练（科研立项）项目”