用数形结合思想证明半角公式

高中数学必修4（北京师范大学出版社）第124页，对半角公式tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα进行了证明，步骤如下：

tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2=sinα1+cosα；

tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2=1-cosαsinα.

上述方法，主要采取对分子、分母同时添项并化简的方法完成了上述证明.下面介绍一种利用数形结合思想进行证明的方法.

在平面直角坐标系中，以原点Ο为圆心，1为半径作单位圆，A是单位圆与x轴负半轴交点，B是单位圆上的点，连接AB、OB，设OB与x轴正半轴的夹角为α，则∠BAO=α2，A点坐标（-1，0）、B点坐标（cosα，sinα）.（如图1所示）

当α∈（0，π）时，直线AB斜率kAB=tanα2.

同时，AB斜率kAB=ΔyΔx=sinα-0cosα-（-1）=sinα1+cosα，

则tanα2=sinα1+cosα. （1）

再设x轴正半轴与单位圆交于点C，C点坐标（1，0），连接BC.（如图2所示）

图1 图2

由圆的性质可知AB⊥BC，

BC斜率kBC==ΔyΔx=sinα-0cosα-1=sinαcosα-1，

AB斜率kAB=tanα2，因为AB⊥BC，所以kBC·kAB=

-1，所以sinαcosα-1·tanα2=-1，

所以tanα2=1-cosαsinα. （2）

故由（1）（2）可知：

tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.

当α∈（π，2π）时，优弧BC对应圆心角为α，劣弧BC对应圆心角为2π-α，∠BA0=∠ABO=π-α2（如图3所示）

AB斜率kAB=-tan（π-α2）=tanα2，

且kAB=ΔyΔx=sinα-0cosα-（-1）=sinα1+cosα，

则tanα2=sinα1+cosα. （3）

再设x正半轴与单位圆交于点C，C点坐标（1，0），连接BC.（如图4所示）

图3 图4

由圆的性质可知BC⊥AB，kAB=tanα2，kBC=ΔyΔx=sinα-0cosα-1=sinαcosα-1，kAB·kBC=-1，所以tanα2=1-cosαsinα. （4）

故由（3）（4）可知：

tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.

以上已经证明半角公式在（0，π）、（π，2π）中成立.

当α=π，tanα2不存在，故α≠π；

当α=0时，tanα2=sinα1+cosα

所以半角公式在[0，π）∪（π，2π）上成立.

当α[0，π）∪（π，2π）时，设α=β+2πk，β∈[0，π）∪（π，2π），k∈Z，

则tanα2=tanβ+2πk2=tanβ2，

sinα1+cosα=sin（β+2πk）1+cos（β+2πk）=sinβ1+cosβ，

1-cosαsinα=1-cos（β+2πk）sin（β+2πk）=1-cosβsinβ.

证明同理.

（指导教师：王爱华）

作者简介 朱子健，淮北市第一中学高二学生，酷爱钻研，多次被学校评为发明创造之星.

高中数学必修4（北京师范大学出版社）第124页，对半角公式tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα进行了证明，步骤如下：

tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2=sinα1+cosα；

tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2=1-cosαsinα.

上述方法，主要采取对分子、分母同时添项并化简的方法完成了上述证明.下面介绍一种利用数形结合思想进行证明的方法.

在平面直角坐标系中，以原点Ο为圆心，1为半径作单位圆，A是单位圆与x轴负半轴交点，B是单位圆上的点，连接AB、OB，设OB与x轴正半轴的夹角为α，则∠BAO=α2，A点坐标（-1，0）、B点坐标（cosα，sinα）.（如图1所示）

当α∈（0，π）时，直线AB斜率kAB=tanα2.

同时，AB斜率kAB=ΔyΔx=sinα-0cosα-（-1）=sinα1+cosα，

则tanα2=sinα1+cosα. （1）

再设x轴正半轴与单位圆交于点C，C点坐标（1，0），连接BC.（如图2所示）

图1 图2

由圆的性质可知AB⊥BC，

BC斜率kBC==ΔyΔx=sinα-0cosα-1=sinαcosα-1，

AB斜率kAB=tanα2，因为AB⊥BC，所以kBC·kAB=

-1，所以sinαcosα-1·tanα2=-1，

所以tanα2=1-cosαsinα. （2）

故由（1）（2）可知：

tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.

当α∈（π，2π）时，优弧BC对应圆心角为α，劣弧BC对应圆心角为2π-α，∠BA0=∠ABO=π-α2（如图3所示）

AB斜率kAB=-tan（π-α2）=tanα2，

且kAB=ΔyΔx=sinα-0cosα-（-1）=sinα1+cosα，

则tanα2=sinα1+cosα. （3）

再设x正半轴与单位圆交于点C，C点坐标（1，0），连接BC.（如图4所示）

图3 图4

由圆的性质可知BC⊥AB，kAB=tanα2，kBC=ΔyΔx=sinα-0cosα-1=sinαcosα-1，kAB·kBC=-1，所以tanα2=1-cosαsinα. （4）

故由（3）（4）可知：

tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.

以上已经证明半角公式在（0，π）、（π，2π）中成立.

当α=π，tanα2不存在，故α≠π；

当α=0时，tanα2=sinα1+cosα

所以半角公式在[0，π）∪（π，2π）上成立.

当α[0，π）∪（π，2π）时，设α=β+2πk，β∈[0，π）∪（π，2π），k∈Z，

则tanα2=tanβ+2πk2=tanβ2，

sinα1+cosα=sin（β+2πk）1+cos（β+2πk）=sinβ1+cosβ，

1-cosαsinα=1-cos（β+2πk）sin（β+2πk）=1-cosβsinβ.

证明同理.

（指导教师：王爱华）

作者简介 朱子健，淮北市第一中学高二学生，酷爱钻研，多次被学校评为发明创造之星.

高中数学必修4（北京师范大学出版社）第124页，对半角公式tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα进行了证明，步骤如下：

tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2cosα2cosα2·2cosα2=sinα1+cosα；

tanα2=sinα2cosα2=sinα2·2sinα2cosα2·2sinα2=1-cosαsinα.

上述方法，主要采取对分子、分母同时添项并化简的方法完成了上述证明.下面介绍一种利用数形结合思想进行证明的方法.

在平面直角坐标系中，以原点Ο为圆心，1为半径作单位圆，A是单位圆与x轴负半轴交点，B是单位圆上的点，连接AB、OB，设OB与x轴正半轴的夹角为α，则∠BAO=α2，A点坐标（-1，0）、B点坐标（cosα，sinα）.（如图1所示）

当α∈（0，π）时，直线AB斜率kAB=tanα2.

同时，AB斜率kAB=ΔyΔx=sinα-0cosα-（-1）=sinα1+cosα，

则tanα2=sinα1+cosα. （1）

再设x轴正半轴与单位圆交于点C，C点坐标（1，0），连接BC.（如图2所示）

图1 图2

由圆的性质可知AB⊥BC，

BC斜率kBC==ΔyΔx=sinα-0cosα-1=sinαcosα-1，

AB斜率kAB=tanα2，因为AB⊥BC，所以kBC·kAB=

-1，所以sinαcosα-1·tanα2=-1，

所以tanα2=1-cosαsinα. （2）

故由（1）（2）可知：

tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.

当α∈（π，2π）时，优弧BC对应圆心角为α，劣弧BC对应圆心角为2π-α，∠BA0=∠ABO=π-α2（如图3所示）

AB斜率kAB=-tan（π-α2）=tanα2，

且kAB=ΔyΔx=sinα-0cosα-（-1）=sinα1+cosα，

则tanα2=sinα1+cosα. （3）

再设x正半轴与单位圆交于点C，C点坐标（1，0），连接BC.（如图4所示）

图3 图4

由圆的性质可知BC⊥AB，kAB=tanα2，kBC=ΔyΔx=sinα-0cosα-1=sinαcosα-1，kAB·kBC=-1，所以tanα2=1-cosαsinα. （4）

故由（3）（4）可知：

tanα2=sinα1+cosα=1-cosαsinα.

以上已经证明半角公式在（0，π）、（π，2π）中成立.

当α=π，tanα2不存在，故α≠π；

当α=0时，tanα2=sinα1+cosα

所以半角公式在[0，π）∪（π，2π）上成立.

当α[0，π）∪（π，2π）时，设α=β+2πk，β∈[0，π）∪（π，2π），k∈Z，

则tanα2=tanβ+2πk2=tanβ2，

sinα1+cosα=sin（β+2πk）1+cos（β+2πk）=sinβ1+cosβ，

1-cosαsinα=1-cos（β+2πk）sin（β+2πk）=1-cosβsinβ.

证明同理.

（指导教师：王爱华）

作者简介 朱子健，淮北市第一中学高二学生，酷爱钻研，多次被学校评为发明创造之星.