两类函数图象公共点个数的再研究

李景印

我们解题时数形结合法以其简洁直观备受青睐，特别是在应对客观题时更是如此.但有时由于对函数的性质理解和掌握的不够深透，容易得出错误的结论，华罗庚先生曾经说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”现就下面的题目为例，通过数与形的分析，对这两类函数的交点个数问题作较为深入的探究.

题1 （文[1]第21页第7题）已知0<；a<；1，则方程ax=logax的实根个数是（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.与a的值有关

文[1]第49页给出的答案是：A.分别画出当0<；a<；1时，函数y=ax与y=logax的图象如图1所示，由数形结合可知，它们的交点个数为2，所以方程ax=logax的实根个数也是2.

图1题2 （文[2]例2）已知0<；a<；1，则方程ax=logax的实根个数为（ ）.

A.1个 B.2个C.3个 D.1个或2个或3个

（答案：B.解法同上.）

这两道题实质相同，解法及答案也都是相同的——用数形结合思想求解.该题及其解法可能还被很多文献引用过，甚至也会被不少老师在教学中选用，还会被引用者认为是挑战思维、解法巧妙的一道不可多得的好题！殊不知，以上解法是有漏洞的，答案也是错误的.

我们知道，增函数与减函数的图象若有公共点，则公共点唯一.证明如下：

设增函数y=f（x），减函数y=g（x），则函数y=f（x）-g（x）是增函数，所以其零点至多一个，即方程f（x）-g（x）=0的根至多一个，也即方程组y=f（x），

y=g（x），至多有一组解，所以欲证成立.

但增函数与增函数的图象若有公共点，则公共点不一定唯一.图2就是一个典型的例证：

图2同理，减函数与减函数的图象若有公共点，则公共点也不一定唯一.

由图1可知：当x>；1时，减函数y=ax与增函数y=logax的图象有唯一公共点；当0<；x<；1时，减函数y=ax与减函数y=logax的图象有公共点，但公共点不一定唯一.所以，认为函数y=ax与y=logax的图象公共点个数为2，理由不充足.由几何画板可以研究这个问题：当0<；x<；1时，又a>；0且a→0时，减函数y=ax与减函数y=logax的图象有三个公共点（图3是a=0.01的情形）：

图3解决题1、题2是有难度的，先要给出下面的定理1（其证明见文[3]）：

定理1 指数函数y=ax（a>；0且a≠1）与其反函数y=logax图象公共点个数的情形是：

（1）当a∈（0，e-e）时是3个公共点；

（2）当a∈[e-e，1）时是1个公共点；

（3）当a∈（1，e1/e）时是2个公共点；

（4）当a=e1/e时是1个公共点；

（5）当a∈（e1/e，+∞）时没有公共点.

由定理1，容易得到：

定理2 方程ax=logax的实根个数的情形是：

（1）当a∈（0，e-e）时是4个解；

（2）当a∈[e-e，1）时是2个解；

（3）当a∈（1，e1/e）时是3个解；

（4）当a=e1/e时是2个解；

（5）当a∈（e1/e，+∞）时是1个解.

参考文献

[1] 王朝银主编.步步高·寒假作业·数学·高一[Z].哈尔滨：黑龙江教育出版社，2011.

[2] 张芳.数形结合思想在解题中的应用[J].中学数学（高中），2007（12）：41.

[3] 孙颖，方保华.函数y=ax与y=logax（a>；0，且a≠1）的图象到底有几个交点？[J].中学数学杂志，2012（9）：35-36.

我们解题时数形结合法以其简洁直观备受青睐，特别是在应对客观题时更是如此.但有时由于对函数的性质理解和掌握的不够深透，容易得出错误的结论，华罗庚先生曾经说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”现就下面的题目为例，通过数与形的分析，对这两类函数的交点个数问题作较为深入的探究.

题1 （文[1]第21页第7题）已知0<；a<；1，则方程ax=logax的实根个数是（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.与a的值有关

文[1]第49页给出的答案是：A.分别画出当0<；a<；1时，函数y=ax与y=logax的图象如图1所示，由数形结合可知，它们的交点个数为2，所以方程ax=logax的实根个数也是2.

图1题2 （文[2]例2）已知0<；a<；1，则方程ax=logax的实根个数为（ ）.

A.1个 B.2个C.3个 D.1个或2个或3个

（答案：B.解法同上.）

这两道题实质相同，解法及答案也都是相同的——用数形结合思想求解.该题及其解法可能还被很多文献引用过，甚至也会被不少老师在教学中选用，还会被引用者认为是挑战思维、解法巧妙的一道不可多得的好题！殊不知，以上解法是有漏洞的，答案也是错误的.

我们知道，增函数与减函数的图象若有公共点，则公共点唯一.证明如下：

设增函数y=f（x），减函数y=g（x），则函数y=f（x）-g（x）是增函数，所以其零点至多一个，即方程f（x）-g（x）=0的根至多一个，也即方程组y=f（x），

y=g（x），至多有一组解，所以欲证成立.

但增函数与增函数的图象若有公共点，则公共点不一定唯一.图2就是一个典型的例证：

图2同理，减函数与减函数的图象若有公共点，则公共点也不一定唯一.

由图1可知：当x>；1时，减函数y=ax与增函数y=logax的图象有唯一公共点；当0<；x<；1时，减函数y=ax与减函数y=logax的图象有公共点，但公共点不一定唯一.所以，认为函数y=ax与y=logax的图象公共点个数为2，理由不充足.由几何画板可以研究这个问题：当0<；x<；1时，又a>；0且a→0时，减函数y=ax与减函数y=logax的图象有三个公共点（图3是a=0.01的情形）：

图3解决题1、题2是有难度的，先要给出下面的定理1（其证明见文[3]）：

定理1 指数函数y=ax（a>；0且a≠1）与其反函数y=logax图象公共点个数的情形是：

（1）当a∈（0，e-e）时是3个公共点；

（2）当a∈[e-e，1）时是1个公共点；

（3）当a∈（1，e1/e）时是2个公共点；

（4）当a=e1/e时是1个公共点；

（5）当a∈（e1/e，+∞）时没有公共点.

由定理1，容易得到：

定理2 方程ax=logax的实根个数的情形是：

（1）当a∈（0，e-e）时是4个解；

（2）当a∈[e-e，1）时是2个解；

（3）当a∈（1，e1/e）时是3个解；

（4）当a=e1/e时是2个解；

（5）当a∈（e1/e，+∞）时是1个解.

参考文献

[1] 王朝银主编.步步高·寒假作业·数学·高一[Z].哈尔滨：黑龙江教育出版社，2011.

[2] 张芳.数形结合思想在解题中的应用[J].中学数学（高中），2007（12）：41.

[3] 孙颖，方保华.函数y=ax与y=logax（a>；0，且a≠1）的图象到底有几个交点？[J].中学数学杂志，2012（9）：35-36.

我们解题时数形结合法以其简洁直观备受青睐，特别是在应对客观题时更是如此.但有时由于对函数的性质理解和掌握的不够深透，容易得出错误的结论，华罗庚先生曾经说过“数缺形时少直观，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休.”现就下面的题目为例，通过数与形的分析，对这两类函数的交点个数问题作较为深入的探究.

题1 （文[1]第21页第7题）已知0<；a<；1，则方程ax=logax的实根个数是（ ）.

A.2 B.3 C.4 D.与a的值有关

文[1]第49页给出的答案是：A.分别画出当0<；a<；1时，函数y=ax与y=logax的图象如图1所示，由数形结合可知，它们的交点个数为2，所以方程ax=logax的实根个数也是2.

图1题2 （文[2]例2）已知0<；a<；1，则方程ax=logax的实根个数为（ ）.

A.1个 B.2个C.3个 D.1个或2个或3个

（答案：B.解法同上.）

这两道题实质相同，解法及答案也都是相同的——用数形结合思想求解.该题及其解法可能还被很多文献引用过，甚至也会被不少老师在教学中选用，还会被引用者认为是挑战思维、解法巧妙的一道不可多得的好题！殊不知，以上解法是有漏洞的，答案也是错误的.

我们知道，增函数与减函数的图象若有公共点，则公共点唯一.证明如下：

设增函数y=f（x），减函数y=g（x），则函数y=f（x）-g（x）是增函数，所以其零点至多一个，即方程f（x）-g（x）=0的根至多一个，也即方程组y=f（x），

y=g（x），至多有一组解，所以欲证成立.

但增函数与增函数的图象若有公共点，则公共点不一定唯一.图2就是一个典型的例证：

图2同理，减函数与减函数的图象若有公共点，则公共点也不一定唯一.

由图1可知：当x>；1时，减函数y=ax与增函数y=logax的图象有唯一公共点；当0<；x<；1时，减函数y=ax与减函数y=logax的图象有公共点，但公共点不一定唯一.所以，认为函数y=ax与y=logax的图象公共点个数为2，理由不充足.由几何画板可以研究这个问题：当0<；x<；1时，又a>；0且a→0时，减函数y=ax与减函数y=logax的图象有三个公共点（图3是a=0.01的情形）：

图3解决题1、题2是有难度的，先要给出下面的定理1（其证明见文[3]）：

定理1 指数函数y=ax（a>；0且a≠1）与其反函数y=logax图象公共点个数的情形是：

（1）当a∈（0，e-e）时是3个公共点；

（2）当a∈[e-e，1）时是1个公共点；

（3）当a∈（1，e1/e）时是2个公共点；

（4）当a=e1/e时是1个公共点；

（5）当a∈（e1/e，+∞）时没有公共点.

由定理1，容易得到：

定理2 方程ax=logax的实根个数的情形是：

（1）当a∈（0，e-e）时是4个解；

（2）当a∈[e-e，1）时是2个解；

（3）当a∈（1，e1/e）时是3个解；

（4）当a=e1/e时是2个解；

（5）当a∈（e1/e，+∞）时是1个解.

参考文献

[1] 王朝银主编.步步高·寒假作业·数学·高一[Z].哈尔滨：黑龙江教育出版社，2011.

[2] 张芳.数形结合思想在解题中的应用[J].中学数学（高中），2007（12）：41.

[3] 孙颖，方保华.函数y=ax与y=logax（a>；0，且a≠1）的图象到底有几个交点？[J].中学数学杂志，2012（9）：35-36.