补形巧解立体几何题

华腾飞

巧妙补形是求解立体几何问题较为常用的一种解题方法，是把一个几何体补成另一个几何体，从而在新形成的几何体中研究原几何体的有关问题，这样可以使要求解的问题变得简单，解题过程简捷，思维空间广阔，解题方法新颖，问题获解顺利.

1 把正四面体补成正方体

例1 一个四面体的棱长都为2，四个顶点都在同一球面上，则球的表面积为（ ）.

A.3π B.4π C.33π D.6π

解析 如图1，把四面体补成一个棱长为1的正方体，则正方体的对角线就是球的直径.因为2R=3，所以S球表面积=4πR2=3π，故应选A。图1 图22 把三条棱相互垂直的三棱锥补成长（正）方体

例2 在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球的表面积是 .

解析 如图2，把三棱锥P—ABC补形为一个棱长为a的正方体，则正方体的对角线即为球的直径.因为2R=3a，所以S球表面积=4πR2=3a2π。3 把对棱相等的四面体补成长方体

例3 已知四面体SABC的三组对棱相等，依次为25、13、5，求四面体的体积.

解析 如图3，把四面体S—ABC补形为长方体ADBE—GSHC.设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有a2+b2=（25）2，b2+c2=（13）2，c2+a2=52，联立以上三式并解之得：a=4，b=2，c=3.故VS—ABC=V长方体—4VS—ABD=abc-4×13×12abc=13abc=8.图3 图44 把三棱锥补成四棱锥（或三棱柱或平行六面体）

例4 在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为π3，则四面体的体积等于 .

解法1 如图4，将四面体ABCD补成四棱锥A—BDCE，且BE∥CD，BE=CD，则∠ABE=π3或2π3，BE=3，CD∥面ABE，所以CD与AB的距离即为CD到平面ABE的距离，亦即C到平面ABE的距离也就是三棱锥C—ABE的高h=2.

所以VA—BCD=VA—BEC=VC—ABE=13h·S△ABE=13×2×12×AB×BE×sinπ3=12.

解法2 如图5，把四面体ABCD补成三棱柱ABE—FCD，则面ABE∥面CDF，AB∥CF，且CF=1，则AB与CD的距离就是平面ABE与平面FCD的距离，即三棱柱的高h=2，且∠DCF=π3或2π3.

所以V柱=S△FCD·h=12×CD×CF×sinπ3×2=32.故四面体的体积为13V柱=12.图5 图6解法3 如图6，把四面体ABCD补成平行六面体，则四面体的体积是平行六面体体积的13.

V平行六面体=S底·h=12×1×3×sinπ3×2=32，故四面体的体积为12.

结论 在四面体ABCD中，设AB=a，CD=b，直线AB与CD的距离为h，夹角为θ，则四面体的体积为V=16abhsinθ。5 把首尾相连两两垂直的三棱锥补成长（正）方体

例5 如图7，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成角的正切值为 .

解析 如图7所示，把三棱锥P—ABC补成正方体ACBD—PC1B1D1，则AC∥BD，∠PBD是异面直线PB与AC所成的角.

连结PD，在Rt△PDB中，tan∠PBD=2。图7 图86 把四棱锥补成长（正）方体

例6 如图8，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3.

（1）求证：BC⊥SC；

（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小.

证与解 因为AB=BC=1，所以SD=1，故可把原四棱锥补成正方体ABCD—A1B1C1S.

（1）因为BC⊥面SDCC1，所以BC⊥SC.

（2）连A1B，则面ASD与面BSC所成的二面角，即为面ADSA1与BCSA1所成的二面角.

因为A1S⊥SD，A1S⊥SC，所以∠CSD为所求二面角的平面角，∠CSD=45°，故所求二面角为45°.

例7 如图9，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2.求直线AC与PB所成角的余弦值.

解析 如图9所示，把四棱锥P—ABCD补成长方体PB1C1D1—ABCD，连结PC1，PC1∥AC，所以∠BPC1为AC与PB所成角，连结BC1，在△PBC1中，由余弦定理可得：

cos∠BPC1=5714.故AC与PB所成角的余弦值为5714。图9 图107 把互相垂直的两长（正）方形补成长（正）方体

例8 如图10，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.

（1）求证：AM∥平面BDE；

（2）求二面角A—DF—B的大小.

解析 如图10，将原几何体补成长方体ABCD—FB1ED1.

（1）设AC与BD的交点为O，连结OE，则易知OE∥AM，故AM∥平面BDE.

（2）由长方体的性质知，BA⊥面ADD1F，过A作AG⊥DF，连BG，则BG⊥DF，所以∠AGB为所求二面角的平面角，在Rt△AGB中，易求∠AGB=60°。8 把三棱柱补成四棱柱

例9 如图11，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.

解析 由条件知AC⊥CB，如图11，把直三棱柱ABC—A1B1C1补成长方体ABCD—A1B1C1D1，连结B1D，则B1D∥AC1，且B1D=AC1，所以∠DB1C为AC1与B1C所成角（或其补角）.

连结CD，在△B1CD中，CD=5，B1D=5，B1C=42，则由余弦定理得cos∠DB1C=225.图11 图12例10 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（ ）.

A.60° B.90° C.30° D.45°

解析 如图12，把原正三棱柱补成直平行六面体ABCD—A1B1C1D1，则四边形ABCD为菱形，且∠B=60°.

设BB1=a，则AB=2a，连结AD1，则AD1∥BC1，故∠B1AD1为AB1与C1B所成角（或其补角），AB1=AD1=3a.

在△A1B1D1中，A1B1=A1D1=2a，∠B1A1D1=120°，所以B1D1=6a，所以AB21+AD21=B1D21，所以∠B1AD1=90°，应选B。9 将四棱锥补成三棱锥

例11 在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12，求面SCD与面SAB所成二面角的正切值.

解析 如图13，延长BA、CD交于E，连结SE.

因为AD=12BC，且AD∥BC，所以EA=AB=SA=1，SE⊥SB.

又因为SA⊥面ABCD，所以面SEB⊥面ABCD，

因为BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，BC⊥SE，

所以SE⊥面SBC，SE⊥SC，∠BSC是所求二面角的平面角，又因为SB=2，BC=1，所以tan∠BSC=22。10 把长（正）方体补成长（正）方体图13 图14例12 如图14，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1，求EC1与FD1所成角的余弦值.

解析 如图14，把原长方体补上一个大小与之相等的长方体BGHC—B1G1H1C1，在GH上取一点F1，使GF1=1，连结EF1、C1F1，则D1F∥C1F1，∠EC1F1为EC1与FD1所成角（或其补角）.

在△EC1F1中，由余弦定理易得cos∠EC1F1=2114.

巧妙补形是求解立体几何问题较为常用的一种解题方法，是把一个几何体补成另一个几何体，从而在新形成的几何体中研究原几何体的有关问题，这样可以使要求解的问题变得简单，解题过程简捷，思维空间广阔，解题方法新颖，问题获解顺利.

1 把正四面体补成正方体

例1 一个四面体的棱长都为2，四个顶点都在同一球面上，则球的表面积为（ ）.

A.3π B.4π C.33π D.6π

解析 如图1，把四面体补成一个棱长为1的正方体，则正方体的对角线就是球的直径.因为2R=3，所以S球表面积=4πR2=3π，故应选A。图1 图22 把三条棱相互垂直的三棱锥补成长（正）方体

例2 在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球的表面积是 .

解析 如图2，把三棱锥P—ABC补形为一个棱长为a的正方体，则正方体的对角线即为球的直径.因为2R=3a，所以S球表面积=4πR2=3a2π。3 把对棱相等的四面体补成长方体

例3 已知四面体SABC的三组对棱相等，依次为25、13、5，求四面体的体积.

解析 如图3，把四面体S—ABC补形为长方体ADBE—GSHC.设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有a2+b2=（25）2，b2+c2=（13）2，c2+a2=52，联立以上三式并解之得：a=4，b=2，c=3.故VS—ABC=V长方体—4VS—ABD=abc-4×13×12abc=13abc=8.图3 图44 把三棱锥补成四棱锥（或三棱柱或平行六面体）

例4 在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为π3，则四面体的体积等于 .

解法1 如图4，将四面体ABCD补成四棱锥A—BDCE，且BE∥CD，BE=CD，则∠ABE=π3或2π3，BE=3，CD∥面ABE，所以CD与AB的距离即为CD到平面ABE的距离，亦即C到平面ABE的距离也就是三棱锥C—ABE的高h=2.

所以VA—BCD=VA—BEC=VC—ABE=13h·S△ABE=13×2×12×AB×BE×sinπ3=12.

解法2 如图5，把四面体ABCD补成三棱柱ABE—FCD，则面ABE∥面CDF，AB∥CF，且CF=1，则AB与CD的距离就是平面ABE与平面FCD的距离，即三棱柱的高h=2，且∠DCF=π3或2π3.

所以V柱=S△FCD·h=12×CD×CF×sinπ3×2=32.故四面体的体积为13V柱=12.图5 图6解法3 如图6，把四面体ABCD补成平行六面体，则四面体的体积是平行六面体体积的13.

V平行六面体=S底·h=12×1×3×sinπ3×2=32，故四面体的体积为12.

结论 在四面体ABCD中，设AB=a，CD=b，直线AB与CD的距离为h，夹角为θ，则四面体的体积为V=16abhsinθ。5 把首尾相连两两垂直的三棱锥补成长（正）方体

例5 如图7，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成角的正切值为 .

解析 如图7所示，把三棱锥P—ABC补成正方体ACBD—PC1B1D1，则AC∥BD，∠PBD是异面直线PB与AC所成的角.

连结PD，在Rt△PDB中，tan∠PBD=2。图7 图86 把四棱锥补成长（正）方体

例6 如图8，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3.

（1）求证：BC⊥SC；

（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小.

证与解 因为AB=BC=1，所以SD=1，故可把原四棱锥补成正方体ABCD—A1B1C1S.

（1）因为BC⊥面SDCC1，所以BC⊥SC.

（2）连A1B，则面ASD与面BSC所成的二面角，即为面ADSA1与BCSA1所成的二面角.

因为A1S⊥SD，A1S⊥SC，所以∠CSD为所求二面角的平面角，∠CSD=45°，故所求二面角为45°.

例7 如图9，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2.求直线AC与PB所成角的余弦值.

解析 如图9所示，把四棱锥P—ABCD补成长方体PB1C1D1—ABCD，连结PC1，PC1∥AC，所以∠BPC1为AC与PB所成角，连结BC1，在△PBC1中，由余弦定理可得：

cos∠BPC1=5714.故AC与PB所成角的余弦值为5714。图9 图107 把互相垂直的两长（正）方形补成长（正）方体

例8 如图10，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.

（1）求证：AM∥平面BDE；

（2）求二面角A—DF—B的大小.

解析 如图10，将原几何体补成长方体ABCD—FB1ED1.

（1）设AC与BD的交点为O，连结OE，则易知OE∥AM，故AM∥平面BDE.

（2）由长方体的性质知，BA⊥面ADD1F，过A作AG⊥DF，连BG，则BG⊥DF，所以∠AGB为所求二面角的平面角，在Rt△AGB中，易求∠AGB=60°。8 把三棱柱补成四棱柱

例9 如图11，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.

解析 由条件知AC⊥CB，如图11，把直三棱柱ABC—A1B1C1补成长方体ABCD—A1B1C1D1，连结B1D，则B1D∥AC1，且B1D=AC1，所以∠DB1C为AC1与B1C所成角（或其补角）.

连结CD，在△B1CD中，CD=5，B1D=5，B1C=42，则由余弦定理得cos∠DB1C=225.图11 图12例10 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（ ）.

A.60° B.90° C.30° D.45°

解析 如图12，把原正三棱柱补成直平行六面体ABCD—A1B1C1D1，则四边形ABCD为菱形，且∠B=60°.

设BB1=a，则AB=2a，连结AD1，则AD1∥BC1，故∠B1AD1为AB1与C1B所成角（或其补角），AB1=AD1=3a.

在△A1B1D1中，A1B1=A1D1=2a，∠B1A1D1=120°，所以B1D1=6a，所以AB21+AD21=B1D21，所以∠B1AD1=90°，应选B。9 将四棱锥补成三棱锥

例11 在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12，求面SCD与面SAB所成二面角的正切值.

解析 如图13，延长BA、CD交于E，连结SE.

因为AD=12BC，且AD∥BC，所以EA=AB=SA=1，SE⊥SB.

又因为SA⊥面ABCD，所以面SEB⊥面ABCD，

因为BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，BC⊥SE，

所以SE⊥面SBC，SE⊥SC，∠BSC是所求二面角的平面角，又因为SB=2，BC=1，所以tan∠BSC=22。10 把长（正）方体补成长（正）方体图13 图14例12 如图14，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1，求EC1与FD1所成角的余弦值.

解析 如图14，把原长方体补上一个大小与之相等的长方体BGHC—B1G1H1C1，在GH上取一点F1，使GF1=1，连结EF1、C1F1，则D1F∥C1F1，∠EC1F1为EC1与FD1所成角（或其补角）.

在△EC1F1中，由余弦定理易得cos∠EC1F1=2114.

巧妙补形是求解立体几何问题较为常用的一种解题方法，是把一个几何体补成另一个几何体，从而在新形成的几何体中研究原几何体的有关问题，这样可以使要求解的问题变得简单，解题过程简捷，思维空间广阔，解题方法新颖，问题获解顺利.

1 把正四面体补成正方体

例1 一个四面体的棱长都为2，四个顶点都在同一球面上，则球的表面积为（ ）.

A.3π B.4π C.33π D.6π

解析 如图1，把四面体补成一个棱长为1的正方体，则正方体的对角线就是球的直径.因为2R=3，所以S球表面积=4πR2=3π，故应选A。图1 图22 把三条棱相互垂直的三棱锥补成长（正）方体

例2 在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA=PB=PC=a，那么这个球的表面积是 .

解析 如图2，把三棱锥P—ABC补形为一个棱长为a的正方体，则正方体的对角线即为球的直径.因为2R=3a，所以S球表面积=4πR2=3a2π。3 把对棱相等的四面体补成长方体

例3 已知四面体SABC的三组对棱相等，依次为25、13、5，求四面体的体积.

解析 如图3，把四面体S—ABC补形为长方体ADBE—GSHC.设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则有a2+b2=（25）2，b2+c2=（13）2，c2+a2=52，联立以上三式并解之得：a=4，b=2，c=3.故VS—ABC=V长方体—4VS—ABD=abc-4×13×12abc=13abc=8.图3 图44 把三棱锥补成四棱锥（或三棱柱或平行六面体）

例4 在四面体ABCD中，设AB=1，CD=3，直线AB与CD的距离为2，夹角为π3，则四面体的体积等于 .

解法1 如图4，将四面体ABCD补成四棱锥A—BDCE，且BE∥CD，BE=CD，则∠ABE=π3或2π3，BE=3，CD∥面ABE，所以CD与AB的距离即为CD到平面ABE的距离，亦即C到平面ABE的距离也就是三棱锥C—ABE的高h=2.

所以VA—BCD=VA—BEC=VC—ABE=13h·S△ABE=13×2×12×AB×BE×sinπ3=12.

解法2 如图5，把四面体ABCD补成三棱柱ABE—FCD，则面ABE∥面CDF，AB∥CF，且CF=1，则AB与CD的距离就是平面ABE与平面FCD的距离，即三棱柱的高h=2，且∠DCF=π3或2π3.

所以V柱=S△FCD·h=12×CD×CF×sinπ3×2=32.故四面体的体积为13V柱=12.图5 图6解法3 如图6，把四面体ABCD补成平行六面体，则四面体的体积是平行六面体体积的13.

V平行六面体=S底·h=12×1×3×sinπ3×2=32，故四面体的体积为12.

结论 在四面体ABCD中，设AB=a，CD=b，直线AB与CD的距离为h，夹角为θ，则四面体的体积为V=16abhsinθ。5 把首尾相连两两垂直的三棱锥补成长（正）方体

例5 如图7，PA⊥平面ABC，∠ACB=90°，且PA=AC=BC=a，则异面直线PB与AC所成角的正切值为 .

解析 如图7所示，把三棱锥P—ABC补成正方体ACBD—PC1B1D1，则AC∥BD，∠PBD是异面直线PB与AC所成的角.

连结PD，在Rt△PDB中，tan∠PBD=2。图7 图86 把四棱锥补成长（正）方体

例6 如图8，四棱锥S—ABCD的底面是边长为1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=3.

（1）求证：BC⊥SC；

（2）求面ASD与面BSC所成二面角的大小.

证与解 因为AB=BC=1，所以SD=1，故可把原四棱锥补成正方体ABCD—A1B1C1S.

（1）因为BC⊥面SDCC1，所以BC⊥SC.

（2）连A1B，则面ASD与面BSC所成的二面角，即为面ADSA1与BCSA1所成的二面角.

因为A1S⊥SD，A1S⊥SC，所以∠CSD为所求二面角的平面角，∠CSD=45°，故所求二面角为45°.

例7 如图9，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD，AB=3，BC=1，PA=2.求直线AC与PB所成角的余弦值.

解析 如图9所示，把四棱锥P—ABCD补成长方体PB1C1D1—ABCD，连结PC1，PC1∥AC，所以∠BPC1为AC与PB所成角，连结BC1，在△PBC1中，由余弦定理可得：

cos∠BPC1=5714.故AC与PB所成角的余弦值为5714。图9 图107 把互相垂直的两长（正）方形补成长（正）方体

例8 如图10，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=2，AF=1，M是线段EF的中点.

（1）求证：AM∥平面BDE；

（2）求二面角A—DF—B的大小.

解析 如图10，将原几何体补成长方体ABCD—FB1ED1.

（1）设AC与BD的交点为O，连结OE，则易知OE∥AM，故AM∥平面BDE.

（2）由长方体的性质知，BA⊥面ADD1F，过A作AG⊥DF，连BG，则BG⊥DF，所以∠AGB为所求二面角的平面角，在Rt△AGB中，易求∠AGB=60°。8 把三棱柱补成四棱柱

例9 如图11，在直三棱柱ABC—A1B1C1中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，求异面直线AC1与B1C所成角的余弦值.

解析 由条件知AC⊥CB，如图11，把直三棱柱ABC—A1B1C1补成长方体ABCD—A1B1C1D1，连结B1D，则B1D∥AC1，且B1D=AC1，所以∠DB1C为AC1与B1C所成角（或其补角）.

连结CD，在△B1CD中，CD=5，B1D=5，B1C=42，则由余弦定理得cos∠DB1C=225.图11 图12例10 在正三棱柱ABC—A1B1C1中，若AB=2BB1，则AB1与C1B所成角的大小为（ ）.

A.60° B.90° C.30° D.45°

解析 如图12，把原正三棱柱补成直平行六面体ABCD—A1B1C1D1，则四边形ABCD为菱形，且∠B=60°.

设BB1=a，则AB=2a，连结AD1，则AD1∥BC1，故∠B1AD1为AB1与C1B所成角（或其补角），AB1=AD1=3a.

在△A1B1D1中，A1B1=A1D1=2a，∠B1A1D1=120°，所以B1D1=6a，所以AB21+AD21=B1D21，所以∠B1AD1=90°，应选B。9 将四棱锥补成三棱锥

例11 在底面是直角梯形的四棱锥S—ABCD中，∠ABC=90°，SA⊥面ABCD，SA=AB=BC=1，AD=12，求面SCD与面SAB所成二面角的正切值.

解析 如图13，延长BA、CD交于E，连结SE.

因为AD=12BC，且AD∥BC，所以EA=AB=SA=1，SE⊥SB.

又因为SA⊥面ABCD，所以面SEB⊥面ABCD，

因为BC⊥EB，所以BC⊥面SEB，BC⊥SE，

所以SE⊥面SBC，SE⊥SC，∠BSC是所求二面角的平面角，又因为SB=2，BC=1，所以tan∠BSC=22。10 把长（正）方体补成长（正）方体图13 图14例12 如图14，在长方体ABCD—A1B1C1D1中，已知AB=4，AD=3，AA1=2，E、F分别是线段AB、BC上的点，且EB=FB=1，求EC1与FD1所成角的余弦值.

解析 如图14，把原长方体补上一个大小与之相等的长方体BGHC—B1G1H1C1，在GH上取一点F1，使GF1=1，连结EF1、C1F1，则D1F∥C1F1，∠EC1F1为EC1与FD1所成角（或其补角）.

在△EC1F1中，由余弦定理易得cos∠EC1F1=2114.