锈蚀钢筋的随机本构关系

张伟平，李崇凯，顾祥林，代红超

（同济大学 建筑工程系，上海 200092）

钢筋锈蚀已成为混凝土结构耐久性失效的主要原因，据估计全世界混凝土结构每年因钢筋锈蚀引起的维护加固费用达1 000亿美元［1］.钢筋锈蚀的发生与发展，导致钢筋混凝土结构提前发生破坏甚至倒塌.除了混凝土保护层锈胀开裂直至脱落、钢筋与混凝土间的黏结性能退化乃至丧失外，钢筋截面积减小和力学性能劣化是造成锈蚀钢筋混凝土构件承载能力降低的主要因素，因此锈蚀钢筋力学性能退化规律的研究引起了国内外学者的关注.已有锈蚀钢筋拉伸试验结果表明，随着钢筋锈蚀率的增大，其名义屈服强度、极限强度和极限延伸率均有降低，屈服平台缩短甚至消失，但弹性模量未见明显变化［2－5］，据此建立了锈蚀钢筋应力－应变关系的确定性模型［6］.

建立时变抗力概率分布模型是实现钢筋混凝土构件时变可靠性分析或基于概率的剩余使用寿命预测的基本前提.就锈蚀钢筋混凝土构件而言，锈蚀钢筋力学性能的变异性是影响其抗力分布的主要因素.由于使用环境的变异性、混凝土材料的不均匀性，混凝土碳化、氯离子侵蚀及其引起的钢筋锈蚀过程均是一个随机过程.锈蚀程度也因为钢筋的走向、钢筋的锈坑分布、表面几何特征以及锈蚀的不均匀程度而随机变化，且随着锈蚀的发展，钢筋锈蚀越来越不均匀［7－9］.正因为钢筋锈蚀的不均匀性，考虑到实际工程中难以准确确定最小截面积，一般采用锈后平均截面积来衡量钢筋的屈服强度或极限强度，而拉伸过程中破坏面往往发生在锈蚀较严重的薄弱截面（最小截面处），其截面积小于平均截面积，最小截面与平均截面间的差异势必造成锈蚀钢筋力学性能变异性增大，导致锈蚀构件失效概率进一步增加.由此推断钢筋力学性能的变异性也将随着锈蚀的发生与发展而变化，即锈蚀钢筋力学性能的退化也是一个随机过程［10］.

本文采用三维激光扫描技术获取锈蚀钢筋三维几何模型，分析其横截面积的纵向不均匀性及其对锈蚀钢筋力学性能的影响机理；利用锈蚀钢筋力学性能试验数据库，经过统计分析和正态性检验建立未锈钢筋力学性能概率分布模型和锈蚀钢筋力学性能退化的随机过程，最终将锈蚀钢筋应力－应变关系由确定性模型发展为随机过程模型.

1 锈蚀钢筋横截面积的纵向不均匀分布

锈蚀钢筋拉伸试验结果表明，锈蚀钢筋普遍在最小截面处发生破坏，因此采用锈蚀后平均截面积与最小截面积之比R（也称横截面积纵向不均匀系数）来衡量锈蚀钢筋横截面积的不均匀性.锈蚀钢筋的名义屈服强度和名义极限强度可以用式（1）表示：

式中：Fyc，Fuc分别为锈蚀钢筋的屈服荷载和极限荷载；Asc，Amin分别为锈蚀钢筋的平均横截面积和最小横截面积；fyc，fuc分别为基于平均截面积的锈蚀钢筋名义屈服强度和名义极限强度；fyc0，fuc0分别为基于最小截面积的锈蚀钢筋实际屈服强度和实际极限强度.

由式（1）不难看出，基于平均截面积的锈蚀钢筋名义强度等于基于最小截面积的实际强度与横截面积纵向不均匀系数R 之比.缺口钢筋的拉伸试验和数值分析结果表明，锈蚀钢筋的实际强度随着锈蚀率的增大几乎不变，近似等于锈前钢筋的强度［11］.换言之，锈蚀钢筋名义强度的降低主要是其平均截面积与最小截面积的差异造成的.

对酸洗、烘干后的锈蚀钢筋进行三维激光扫描，可获得锈蚀钢筋的三维实体模型，精度达4μm［12］.运用ProEngineer软件，可以提取沿锈蚀钢筋纵向间隔为1mm 的横截面积，经统计得到该段锈蚀钢筋的平均横截面积Asc，最小横截面积Amin以及R值.取截断长度为50mm，可以获得给定平均锈蚀率ηs下R 值的直方图（图1）.经检验发现R 值服从R≥1的Gumbel极值分布，其概率密度函数为：

式中：x 为锈蚀钢筋的平均截面积与最小截面积之比；μ和σ为Gumbel极值分布的统计参数；E（R），D（R）为R 值的均值和均方差；欧拉常数γ＝0.577 2.

图1 锈蚀钢筋R 值的典型直方图（直径12mm，平均锈蚀率0.208）Fig.1 Typical histogram of Rfor corroded steel bars（φ12，ηs＝0.208）

计算出不同锈蚀率钢筋对应的E（R），D（R），再根据式（3），（4）可以获得相应锈蚀率下的μ，σ，由此得到μ，σ与平均截面锈蚀率ηs的关系，如图2所示.由图2可见，统计参数μ，σ均随平均截面锈蚀率ηs的增大近似线性增大，即随着钢筋锈蚀的发展，其横截面积分布越来越不均匀，表现为R 值的均值和均方差均增大.

图2 锈蚀钢筋R 值统计参数μ 和σ 随平均截面锈蚀率的变化关系Fig.2 Effect of corrosion degree on Gumbel statistical parameters of R

2 锈蚀钢筋应力－应变关系的确定性模型

根据锈蚀钢筋拉伸试验过程中实测的荷载－变形关系曲线换算出相应的应力－应变关系曲线。

图3给出了2组比较典型的不同锈蚀程度钢筋的应力－应变σsc－εsc关系曲线（曲线旁边数字为钢筋的平均截面锈蚀率）.图3中σsc为名义应力，即荷载与锈蚀钢筋平均截面积之比，εsc为名义应变，即变形与引伸计标矩之比.

图3 钢筋应力－应变关系曲线Fig.3 Stress－strain curves for steel bars

由图3可见，随着钢筋平均截面锈蚀率的增大，其名义屈服强度、极限强度及极限应变均逐渐减小，屈服平台缩短，当平均截面锈蚀率超过一定程度即达到临界锈蚀率ηscr后屈服平台消失.基于这一特征，当钢筋平均截面锈蚀率低于临界锈蚀率时，锈蚀钢筋应力－应变关系采用三线型模型；当钢筋平均截面锈蚀率高于临界锈蚀率时采用双线型模型，如图4所示，并可用式（5）表示：

式中：εshc，εsuc分别为强化应变和极限应变；Esc，Eshc分别为弹性模量和强化段模量，其中Eshc＝（fucfyc）／（εsuc－εshc）.

混凝土碳化和氯盐侵蚀及其引起的钢筋锈蚀是一个复杂的物理化学过程.由于周边环境和混凝土本身都具有很大的随机性，混凝土中钢筋锈蚀及其引起的力学性能退化过程宜用非平稳随机过程来模拟.由图4和式（5）可以看出，锈蚀钢筋应力－应变关系的随机模型包含未锈钢筋弹性模量Es0，屈服强度fy0，极限强度fu0，强化应变εsh0和极限应变εsu0等随机变量及锈蚀钢筋屈服强度fyc，极限强度fuc，极限应变εsuc等随机过程.如式（6）所示，锈蚀钢筋的名义屈服强度、极限强度可以用相对屈服荷载、极限荷载及平均锈蚀率和锈前强度表示.因此，取未锈钢筋屈服强度、极限强度的均值为fy0，fu0，则随机变量未锈钢筋屈服强度、随机过程锈蚀钢筋屈服强度可以用相应的相对屈服荷载αy0，αyc表示.随机变量未锈钢筋极限强度、随机过程锈蚀钢筋极限强度可以用相应的相对极限荷载αu0，αuc表示如下：

图4 锈蚀钢筋应力－应变关系模型Fig.4 Stress－strain relationship for corroded steel bars

式中：Fy0，Fu0分别为未锈钢筋的屈服荷载和极限荷载；As0为未锈钢筋的名义截面积.

3 未锈钢筋力学性能概率分布模型

对未锈钢筋的弹性模量Es0，相对屈服荷载值αy0，相对极限荷载αu0，强化应变εsh0及极限应变εsu0分别进行统计分析，绘出其概率分布直方图，如图5所示.由图5可见，上述统计量有服从正态分布的趋势.用Epps－Pulley方法［13］和Shapiro－Wilk方法［14］对上述统计量分别进行正态性检验，发现其均不拒绝正态分布，统计出相应的均值μ，方差σ2和变异系数δ，由此得到未锈钢筋力学性能的概率分布模型，如式（7）所示：

图5 未锈钢筋力学性能概率分布直方图Fig.5 Histograms of mechanical properties for uncorroded steel bars

式中：x 代表未锈钢筋的弹性模型、相对屈服／极限荷载值、强化应变和极限应变；μ 和δ 分别代表相应的均值和变异系数.

4 锈蚀钢筋力学性能退化的随机过程模型

钢筋力学性能的变异性以及这种变异性随着锈蚀的发展而变化的现象，导致在相同平均截面锈蚀率下实测锈蚀钢筋力学性能的不同.图6为锈蚀钢筋力学性能与平均截面锈蚀率的关系，由图6可见，锈蚀钢筋的相对屈服荷载、相对极限荷载和极限延伸率ασc随着锈蚀的发展而减小；同时，对于特定平均截面锈蚀率，其试验数据分布在某一范围内.确定在特定平均截面锈蚀率下这些数据的分布模型以及分布模型统计参数随平均截面锈蚀率的变化规律，就可以确定锈蚀钢筋力学性能退化的随机过程模型.

4.1 锈蚀钢筋的弹性模量和强度

图6 锈蚀钢筋力学性能与平均截面锈蚀率关系Fig.6 Mechanical properties vs.corrosion degree of corroded steel bars

对不同平均截面锈蚀率下的弹性模量Esc，相对屈服荷载αyc和相对极限荷载αuc分布进行正态性检验，结果表明，不同平均截面锈蚀率下的弹性模量和名义强度相对值不拒绝正态分布，因此其性能退化随机过程可以用式（8）表示：

式中：x（ηs）代表Esc，αyc，αuc及εsuc；μ（ηs）和δ（ηs）为相应的均值和变异系数.

统计得到的均值μ（ηs）、变异系数δ（ηs）随平均截面锈蚀率的变化规律如表1所示.由表1可见，随着钢筋平均截面锈蚀率的增加，其弹性模量均值基本保持不变，名义强度均值逐渐减小，但两者的变异系数均呈线性增大.根据式（1）不难理解，锈蚀钢筋屈服强度和极限强度均值的降低与锈蚀钢筋R 值均值的增大直接相关，屈服强度和极限强度变异性的增大主要是R 值变异性的增大所致.另外，相对于屈服强度，极限强度均值退化更为显著、变异系数增加更快，导致锈蚀钢筋屈强比增大，发生脆性破坏的概率增大.

表1 锈蚀钢筋力学性能均值μ（ηs），变异系数δ（ηs）与平均截面锈蚀率的关系Table 1 μ（ηs）andδ（ηs）of mechanical properties vs.corrosion degree of corroded steel bars

4.2 锈蚀钢筋的强化应变

在所建立的锈蚀钢筋力学性能数据库中，较大比例的数据是关于锈蚀钢筋强度指标的，锈蚀钢筋的强化应变数据较少，很难按照锈蚀钢筋强度退化随机过程建立的方法进行锈蚀钢筋强化应变的统计分析.考虑到由屈服强度和弹性模量可以确定屈服应变，由屈服应变和屈服平台长度可以确定强化应变，因此锈蚀钢筋强化应变问题可转化为屈服平台长度问题.图7为外加电流加速锈蚀钢筋屈服平台长度与平均截面锈蚀率之间的关系.

由图7可见，随着平均截面锈蚀率的增大，屈服台阶长度近似线性缩短直至消失，于是锈蚀钢筋强化应变可按式（9）计算：

除了与平均截面锈蚀率、未锈蚀钢筋的强化应变有关外，锈蚀钢筋屈服平台长度主要取决于屈服平台缩短时的临界锈蚀率ηscr.

图7 屈服台阶长度－平均截面锈蚀率关系Fig.7 Length of yield plateau vs.corrosion degree

临界锈蚀率指钢筋屈服平台消失时的平均截面锈蚀率，参照图7试验结果，加速锈蚀的变形钢筋临界锈蚀率取0.3，光圆钢筋取0.15（实际工程自然锈蚀的变形钢筋取0.2，光圆钢筋取0.1［6］）.

4.3 锈蚀钢筋的极限应变

不同平均截面锈蚀率下锈蚀钢筋极限应变的数据较少，不能满足正态性检验数据量的要求；而锈蚀钢筋极限延伸率的数据量相对较多.假定极限应变和极限应变率均值和变异系数随平均截面锈蚀率的变化规律一致，按照锈蚀钢筋强度退化随机过程建立步骤，通过对极限延伸率的统计分析建立其随机过程，其均值随平均截面锈蚀率的发展按指数退化（图6（c））.变异系数COV 与平均截面锈蚀率ηs 的关系如图8所示.在此基础上，根据图8所示的未锈钢筋极限应变均值、变异系数可以得到极限应变均值、变异系数随平均截面锈蚀率的变化规律（如表1所示），极限应变随机过程仍可用式（7）表示.

图8 极限延伸率变异系数－平均截面锈蚀率关系Fig.8 COV of ultimate elongation vs.corrosion degree

5 锈蚀钢筋应力－应变关系的随机过程模型

将式（7）～（9）代入式（5）即可得到锈蚀钢筋应力－应变关系的随机过程模型.根据该随机过程模型，不但可以获得任一平均截面锈蚀率下锈蚀钢筋极限强度、屈服强度、极限应变、强化应变及弹性模量的均值估计值¯x，而且可以得到在一定保证率β下这些力学性能参数的上限x＋和下限x－.最后根据上述力学性能均值及对应的区间上下限可以建立在特定锈蚀率下、保证率为β的锈蚀钢筋应力－应变关系的随机模型.

下面分别以1 组变形钢筋和1 组光圆钢筋为例，介绍以整体锈蚀钢筋力学性能样本为基础的锈蚀钢筋应力－应变关系随机模型的具体应用.其中，未锈钢筋的力学性能参数假设如下：

利用式（7）～（9）可以分别得到在平均截面锈蚀率为0，0.1及0.2下的锈蚀钢筋力学性能参数均值估计量，以及在保证率β＝0.682 6下力学性能参数的上下限，具体计算结果如图9，10所示.由图9，10可见，在一定保证率下，随着钢筋锈蚀率的增大，在锈蚀钢筋力学性能均值降低的同时，其分布区间也有所增大，势必导致锈蚀钢筋混凝土构件失效概率的增大，不容忽视.

图9 不同平均截面锈蚀率下变形钢筋应力－应变关系的随机模型Fig.9 Stochastic model of stress－train relationship for deformed steel bars under different corrosion degree

图10 不同平均截面锈蚀率下光圆钢筋应力－应变关系的随机模型Fig.10 Stochastic model of stress－train relationship for plain steel bars under different corrosion degree

6 结语

（1）锈蚀钢筋平均截面积与最小截面积之比R服从Gumbel极值分布，且随着钢筋锈蚀的发展，其横截面积分布越来越不均匀，R 值的均值和均方差均有增大.

（2）不同平均截面锈蚀率下锈蚀钢筋的名义强度相对值、强化应变、极限应变和弹性模量概率分布模型均不拒绝正态分布，锈蚀钢筋力学性能退化过程可以用正态随机过程描述.

（3）随着钢筋平均截面锈蚀率的增大，钢筋弹性模量均值变化不大，名义强度相对值、屈服平台长度和极限应变的均值均有降低，但变异系数均近似线性增大.锈蚀钢筋力学性能变异性的增大将导致锈蚀构件失效概率的增大，不容忽视.

（4）在统计分析的基础上，建立了锈蚀钢筋力学性能退化的随机模型，并将锈蚀钢筋应力－应变关系的确定性模型发展为随机过程模型.

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