非对称裂缝压裂气井稳态产能研究

任俊杰，郭 平，彭 松，姜凯凯

（1.油气藏地质及开发工程国家重点实验室（西南石油大学），四川成都610500；2.中国石油长庆油田分公司第一采油厂，陕西延安716009）

随着气田勘探开发的深入，我国发现的不同类型的复杂气藏越来越多，其中低渗透气藏在已探明天然气地质储量中占有相当大的比重，而低渗透气藏中多数井自然产能较低，必须实施压裂改造才具备生产能力[1-3］。目前关于垂直压裂井产能评价的研究较多：蒋廷学[4］和汪永利等人[5］采用保角变换分别研究了油藏和气藏垂直压裂井的产能计算方法；杨正明等人[6］在将气体流动分为径向流和线性流的基础上，建立了压裂井产能模型；郭建春等人[7］提出了新的压裂气井二项式产能公式；另外一些学者[8-12］分别研究了启动压力梯度、滑脱效应和应力敏感等因素对压裂气井产能的影响。但是目前关于压裂气井的产能计算公式基本都是在假设裂缝关于井筒对称基础上推导出来的，而现实中更容易遇到非对称裂缝[13］。虽然曹宝军等人[14］研究了非对称裂缝无限导流压裂气井的产能模型，但是目前却没有见到关于非对称裂缝有限导流压裂气井的产能计算方法。因此，笔者在非对称裂缝无限导流压裂气井产能模型基础上，建立了非对称裂缝有限导流压裂气井产能模型，分析了裂缝的非对称性对有限导流压裂气井产能的影响。

1 模型的假设条件

为便于产能模型的建立，做如下假设：

1）储层为均质各向同性气藏，气井压裂后形成关于井筒非对称分布的垂直裂缝；

2）裂缝剖面为矩形，裂缝完全穿透储层；

3）裂缝宽度相对于气藏的供给半径非常小；

4）裂缝具有无限导流或有限导流能力；

5）气体在气藏及裂缝内均为单相流动，且气藏中气体的流动符合达西定律，而裂缝中的气体流动符合Forchheimer非达西流动方程；

6）稳态渗流，不考虑地层的垂向流动及裂缝附近的污染。

2 产能模型的建立及求解

压裂气井的裂缝关于井筒非对称分布，设井筒两边的长短裂缝翼长度分别为L1和L2，并且在z平面建立xOy坐标系（如图1（a）），其中线段AB表示裂缝，点O表示井筒。

首先取如下保角变换函数[14-15］：

根据保角变换的原理，设z＝x＋iy，w＝x′＋iy′，将其代入式（1）得：

对比式（5）的实部和虚部可以得到：

由式（6）和式（7）可知图1（a）中的z平面将被映射为图1（b）中的w平面（即宽度为π的带状地层）。此时z平面中的裂缝AB将映射为w平面中的A′B′，z平面中的井筒点O 映射为w 平面的点H，容易知道点A′，B′和H 在w平面的坐标分别为此时，在z平面内压裂气井的复杂渗流问题将转化为在w平面内简单的单向渗流问题。

当裂缝为无限导流时，气体在气藏中的流动符合达西定律[16］（压力函数推导），因此，w 平面中1／2区域的流量为：

式中：Qsc为地面标准状况下的产量，m3／s；Tsc为地面标准状况下的温度，K；Z为气体在气藏条件下的偏差因子；psc为地面标准状况下的压力，Pa；T为气藏条件下的温度，K；K为气藏基质渗透率，m2；h为储层厚度，m；pe为供给压力，Pa；μ为气体在气藏条件下的黏度，Pa·s；pwf为井底流压，Pa；x′0为w 平面内供给边界到A′B′的距离，m。

图1 非对称裂缝压裂气井保角变换示意Fig.1 Schematic diagram of conformal transformation for asymmetrically fractured gas wells

联立式（6）和式（7），当x′0取适当大时，可得：

式中，re为供给半径，m。

由式（10）可以得到：

将式（3）和式（10）代入式（9），并整理得：

式（12）就是文献[14］中的非对称裂缝无限导流压裂气井的产能公式。从该式可以看出，在裂缝总长度一定的情况下，无限导流压裂气井的产能与裂缝的非对称性没有关系。

当裂缝为有限导流时，则需要考虑裂缝内压力降对气井产能的影响。考虑到对称性，只讨论w平面中右半平面区域。

裂缝中气体的压力函数Ψf的定义为：

式中：ρ为气体在气藏条件下的密度，kg／m3；p0为井底压力，Pa；ρsc为气体在地面标准状况下的密度，kg／m3；pf为裂缝内的压力，Pa；ˉZ为气体在平均气藏压力下的偏差因子。

根据微元法，可以得到裂缝内气体流动的微分方程（w 平面内）[5］：

其中

式中：Kf为裂缝渗透率，m2；wf为裂缝宽度，m；vR为气藏向裂缝的渗流速度，m／s；δ1，δ2分别为井筒两边长短裂缝翼的非达西流修正系数。

进一步推导可以得到：

式中，Ψe为供给压力pe对应的气体压力函数。

将式（17）分别代入式（14）和式（15）得：

边界条件为：

式中，Ψwf为井底流压pwf对应的气体压力函数。

求解由式（18）—（21）构成的定解问题，得：

其中

最后，根据达西定律得到非对称裂缝有限导流压裂气井的质量流量：

式中，Gf为压裂气井的质量流量，kg／m3。

根据式（13）气体压力函数的定义，式（26）中的压力函数差Ψe-Ψwf表示成真实压力的关系为：

将式（27）代入式（26）得：

则压裂气井井口标准状况下的体积流量为：

非达西流修正系数的表达式[5］为：

其中

式中：v1和v2分别为长度L1和L2裂缝翼中的渗流速度，m／s；a和b为与支撑剂粒径相关的参数，在不同支撑剂粒径条件下，a和b的值见表1[17］。

表1 裂缝中不同支撑剂粒径条件下a和b的值Table 1 Values of aand bfor different sizes of proppants in fractures

在求解非对称裂缝有限导流压裂气井产量时，需要用试凑法联立式（29）—（31）求解。即先假设一个Qsc值，代入式（30）和式（31）求出δ1和δ2，然后将求出的δ1和δ2代入式（29）求出一个新的Qsc值，如果前后2个Qsc值相差较大，则将新的Qsc值代入式（30）和式（31），反复迭代，直到相邻2次求解的Qsc值相差非常小为止。

3 实例分析

3.1 实例验证

以某油田中一口非对称裂缝压裂气井为例，验证所推导出的公式是否正确。该井的主要数据为：储层压力12.2MPa，井底流压5.5MPa，储层渗透率2.06mD，储层有效厚度10.7m，地下气体黏度0.017 5mPa·s，储层温度85.5℃，裂缝渗透率10 000mD，裂缝宽度0.003m，裂缝长短翼的长度分别为 350.00 和 50.00m，支撑剂粒径 0.4～0.8mm，供给半径600.00m，气体偏差因子0.92，气体相对密度0.65。将上述参数代入非对称裂缝压裂气井产量计算公式，计算出该井的稳态产量为17.54×104m3／d，而该井压裂后的实际稳定产量约为17.00×104m3／d，相对误差为3.18%。如果用对称裂缝压裂气井产量计算公式，则计算出的稳态产量为18.55×104m3／d，相对误差为9.12%。可见用非对称裂缝压裂气井产量计算公式预测的产量比用对称裂缝压裂气井产量计算公式更符合实际情况。

3.2 影响因素分析

为了便于分析裂缝非对称性对压裂气井产能的影响程度，引入裂缝非对称系数α来衡量裂缝的非对称性[13］，即：

由式（33）可以看出：α的取值范围为0≤α≤1；当α＝0时，裂缝为完全对称；α越大，裂缝的非对称程度越严重。

图2为在裂缝总长度相同的情况下，裂缝非对称系数α对有限导流压裂气井IPR曲线的影响关系。

图2 裂缝非对称系数对有限导流压裂气井IPR曲线的影响Fig.2 Effects of fracture asymmetry coefficient on IPR curves of finite-conductivity fractured gas wells

从图2可以看出，在相同的井底流压下，裂缝非对称性越严重（即α越大），压裂气井的产量越低，并且井底流压越低，裂缝非对称性造成压裂气井产量降低的程度越严重。

4 结 论

1）在裂缝无限导流和有限导流2种情况下，推导出了非对称裂缝压裂气井的产量计算公式。

2）在裂缝总长度一定的情况下，无限导流压裂气井的产量与裂缝的非对称性没有关系，但是裂缝的非对称性对有限导流压裂气井的产量影响较大。非对称裂缝有限导流压裂气井的产量相对于对称裂缝有限导流压裂气井的产量偏低，并且随着井底流压的降低及裂缝非对称性系数的增大，产量降低程度增大。

3）在压裂设计及压裂施工过程中，为了获得较高的产量，在其他条件相同的情况下，应尽量保证压裂裂缝相对于井筒对称分布。

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