例谈消元法在高中数学解题中的应用

秦国清

现在有很多人关注高考，在研究高考试题，复杂多样的高考试题因而能充塞整个课堂.尤其是近年来，数学试题的情景设置变得陌生异常，让我们的老师也跟着躁动起来.高三复习时，部分老师标新立异，过分追求试题解法的“独特新颖、多样快捷”，而忽视了对基础知识的梳理和对基本思想方法的训练，舍本求末，让人感觉有“矫揉造作”的痕迹.这样的复习根本无法给学生打下扎实的基础，学生囫囵吞枣，根基不牢，又何谈培养学生的数学素养呢？

本文笔者将结合自己的教学实践，以消元法为例，具体谈谈如何利用基本数学思想方法解题.数学思想方法是数学学习与教学中必不可少的一部分，也是探索许多问题的出发点，至关重要.消元法属于化归（转化）思想的范畴，是实施化归思想的一种重要方式及手段.它在帮助学生解决函数与方程、不等式及线性规划、三角与向量、数列、解析几何等问题中有着广泛的应用.

一、遵循统一原则，直接消元

在高中数学教学中，我们常运用化归思想中的和谐统一原则，将条件和结论中的一些要素结合起来，在量与形的关系上向趋于统一的方向进行，采取直接消元的方法解决问题.

例1（1）已知函数f（x）=|2x-3|，若0<2a

思路分析从已知条件和函数图象中可得出一些不等关系0<2a<32，

32

b+1>2a，来限制a、b两个变量，而由绝对值函数解析式可推出a与b的内在联系：3-4a=4b+3.由此自然想到用消元法消去其中一个变量，得到T=3a2-2a的二次函数关系式，再由a的双重限制条件得出0

（2）在锐角三角形ABC中，a，b，c分别是三个内角A，B，C的对边，设B=2A，则ba的取值范围为.

思路分析不难看出所求结果可由正弦定理可变为sinBsinA，而B=2A，直接代入消元得：sin2AsinA=2sinAcosAsinA=2cosA，下面在确定A的范围时，一定要放到锐角三角形中.虽然A，B，C三个变量，但我们可利用消元法得到B=2A<π2，

C=π-3A<π2.所以π6

（3）如图，P点坐标（2，0），OP为△ABC的中线，Q为圆x2+y2=1上一动点，求（OA+OP+PB）·OQ的最小值.

思路分析首先看出所求结果表达式中的OP+PB可以用一个向量OB替代，从而减少向量的个数，得到（OA+OB）·OQ，在利用三角形中中线向量的结论代入消元，使OA+OB变为一个向量2OP，即可求出2OP·OQ=2|OP||OQ|cosα=0，α为夹角等于π2时，取最小值0.

（4）已知两正数x，y满足x+y=1，则z=（x+1x）（y+1y）的最小值为.

思路分析 学生展开表达式（x+1x）（y+1y）可得xy+xy+yx+1xy，此时，想用基本不等式，发现两个基本不等式等号不能同时取到，学生困惑之时，有学生提出直接将y表示为1-x（0

二、整体把握感知，间接消元

在高中数学教学中，我们常常要求学生去感知出题者的意图，整体把握解题的方向.这里常涉及到间接消元的思想方法，如以换元或构造的形式手段来实现降元、消元的目的.

例2（1）已知a2+8b2≥b（a+b）对于任意a，b∈R恒成立，则实数λ的取值范围为.

思路分析本题出现多元，如何解决？出题者意图明显，就是要千方百计变换成一个主元的形式，这就要采取新的方式来消元.可先移项整理：a2-λab+（8-λ）b2≥0.将不等式两边同除以b2（b=0时恒成立），得：（ab）2-λ（ab）+（8-λ）≥0，变为了一个以（ab）为整体主元的一元二次不等式的形式，由判别式易得-8≤λ≤4.

以上解题技巧方法，也常用于解析几何中，如已知a，b，c关系式来求离心率e的范围.

（2）（2013年江苏）在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为x2a2+y2b2=1（a>b>0），右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=6d1，则椭圆C的离心率为 .

解析过程如图，l：x=a2c，d2=a2c-c=b2c，由等面积得：d1=bca.若d2=6d1，则b2c=6bcc，整理得：6a2-ab-6b2=0，两边同除以a2，得：6（ba）2-（ba）+6=0，解之得：ba=63，所以，离心率为：e=1-（ba）2=33.

（3）（2012年江苏高考数学试卷第14题）已知正数a，b，c满足：5c-5a≤b≤4c-a，clnb≥a+clnc，则ba的取值范围是.

思路分析审题后发现又是一个多元问题，且夹杂着函数、导数、不等式、线性规划等方面的知识，其核心仍然是消元.由已知条件得3ac+bc≥5

ac+bc≤4

bc≥eac，可先构造x=ac，y=bc则有3x+y≥5

x+y≤4

y≥ex

x，y>0，所求ba变为yx.顺利实现由三元降为二元的目标，再利用线性规划和导数相关知识，可求出ba的范围为[e，7].

（4）（2011年江苏高考第14题改）在平面直角坐标系xOy中，已知圆O：x2+y2=r2（r>0）和直线l：3x-4y+m=0.若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆O有公共点，求m与r的关系式.

思路分析由题意可得半径为1的新圆的圆心可以取遍直线上的点，这个新圆与圆O有公共点，也就是图中阴影平行带，与圆O有公共点，也就是图中两种位置情况下l1或l2与圆O相切或相交的情形，这就要求圆心O分别到l1或l2的距离小于等于r，而l1，l2， 两条直线的解析式还有待于l来平移表示，显然麻烦.如果抓住阴影平行带中间一条主线l，用圆心（0，0）到l的距离d=|m|5≤r+1来处理，就又快又好的实现目标.解题中的两个距离关系转化为一个距离关系不也是间接消元的一次成功应用吗？

三、渗透本质思想，综合消元

化归思想是数学思想方法的核心，它教会我们用联系、发展变化的观点来看待问题，并通过对原问题的作用，使之简化为另一个问题.这种思想的实质就是使矛盾转化，便于我们解决，而消元法就是化归思想最好的诠释.

例3（1）x，y，z∈R+，求t=xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

解法分析法1：分子分母同除以y2得：

t=xy+2zy（xy）2+（zy）2+1 （1）

令m=xy，n=zy，第一次实施消元得t=m+2nm2+n2+1，

整理得tm2-m+（1+n2）t-2n=0.

方程有实根Δ≥0，实现第二次消元，可得

4t2n2-8tn+（4t2-1）≤0.

存在t，则Δ=64t2-16t2（4t2-1）≥0.

再利用判别式，实施第三次消元可得

4t2≤5，t2≤54，∴0

法2：在（1）中，令xy=Rcosθ，zy=Rsinθ（θ∈（0，π2）），

实施三角代换消元得

t=R（cosθ+2sinθ）R2+1=5Rsin（θ+φ）R2+1.

利用不等式R2+1≥2R，进行约分可得tmax=52

法3：构造不等式，整体运算，约分消元.

因为y2=15y2+45y2，所以

t=xy+2yz（x2+15y2）+（45y2+z2）≤xy+2yz25（xy+2yz）=52，

x2+15y2≥215xy，45y2+z2≥245yz

两个不等式能同时取等号.

本题的三种方法至始至终紧扣消元这一主题，把化归思想演绎得淋漓尽致.

罗增儒教授曾把解题总结为“条件预示可知并启发解题手段，结论预告需知并诱导解题方向.”即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功；当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.也就是说，解题是找出已知与未知的关系并不断缩小以至消除二者之间的差距，这难道不是最大意义上的“消元”吗？

三、渗透本质思想，综合消元

化归思想是数学思想方法的核心，它教会我们用联系、发展变化的观点来看待问题，并通过对原问题的作用，使之简化为另一个问题.这种思想的实质就是使矛盾转化，便于我们解决，而消元法就是化归思想最好的诠释.

例3（1）x，y，z∈R+，求t=xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

解法分析法1：分子分母同除以y2得：

t=xy+2zy（xy）2+（zy）2+1 （1）

令m=xy，n=zy，第一次实施消元得t=m+2nm2+n2+1，

整理得tm2-m+（1+n2）t-2n=0.

方程有实根Δ≥0，实现第二次消元，可得

4t2n2-8tn+（4t2-1）≤0.

存在t，则Δ=64t2-16t2（4t2-1）≥0.

再利用判别式，实施第三次消元可得

4t2≤5，t2≤54，∴0

法2：在（1）中，令xy=Rcosθ，zy=Rsinθ（θ∈（0，π2）），

实施三角代换消元得

t=R（cosθ+2sinθ）R2+1=5Rsin（θ+φ）R2+1.

利用不等式R2+1≥2R，进行约分可得tmax=52

法3：构造不等式，整体运算，约分消元.

因为y2=15y2+45y2，所以

t=xy+2yz（x2+15y2）+（45y2+z2）≤xy+2yz25（xy+2yz）=52，

x2+15y2≥215xy，45y2+z2≥245yz

两个不等式能同时取等号.

本题的三种方法至始至终紧扣消元这一主题，把化归思想演绎得淋漓尽致.

罗增儒教授曾把解题总结为“条件预示可知并启发解题手段，结论预告需知并诱导解题方向.”即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功；当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.也就是说，解题是找出已知与未知的关系并不断缩小以至消除二者之间的差距，这难道不是最大意义上的“消元”吗？

三、渗透本质思想，综合消元

化归思想是数学思想方法的核心，它教会我们用联系、发展变化的观点来看待问题，并通过对原问题的作用，使之简化为另一个问题.这种思想的实质就是使矛盾转化，便于我们解决，而消元法就是化归思想最好的诠释.

例3（1）x，y，z∈R+，求t=xy+2yzx2+y2+z2的最大值.

解法分析法1：分子分母同除以y2得：

t=xy+2zy（xy）2+（zy）2+1 （1）

令m=xy，n=zy，第一次实施消元得t=m+2nm2+n2+1，

整理得tm2-m+（1+n2）t-2n=0.

方程有实根Δ≥0，实现第二次消元，可得

4t2n2-8tn+（4t2-1）≤0.

存在t，则Δ=64t2-16t2（4t2-1）≥0.

再利用判别式，实施第三次消元可得

4t2≤5，t2≤54，∴0

法2：在（1）中，令xy=Rcosθ，zy=Rsinθ（θ∈（0，π2）），

实施三角代换消元得

t=R（cosθ+2sinθ）R2+1=5Rsin（θ+φ）R2+1.

利用不等式R2+1≥2R，进行约分可得tmax=52

法3：构造不等式，整体运算，约分消元.

因为y2=15y2+45y2，所以

t=xy+2yz（x2+15y2）+（45y2+z2）≤xy+2yz25（xy+2yz）=52，

x2+15y2≥215xy，45y2+z2≥245yz

两个不等式能同时取等号.

本题的三种方法至始至终紧扣消元这一主题，把化归思想演绎得淋漓尽致.

罗增儒教授曾把解题总结为“条件预示可知并启发解题手段，结论预告需知并诱导解题方向.”即从已知条件入手推出中间结论（可知），当中间结论能直接证明最终结论时，则解题成功；当中间结论不能直接证明最终结论时，可把最终结论等价转化为“需知”，再用中间结论证明“需知”从而达到解题目的.也就是说，解题是找出已知与未知的关系并不断缩小以至消除二者之间的差距，这难道不是最大意义上的“消元”吗？