引导学生“创造”数学概念

吴汝萍

一、概念的引入，源于数学化的需要

数学的基本概念一般都具有丰富的现实原型，用数学概念来描述与刻画这些现实原型，是源于数学化的需要，是数学发展的需求，也是人类认知的需要。在数学概念引入时，如果能将数学化的需要与学生的认知需要并轨，学生认知的需要越迫切，自主创造的积极性就越高，教学的效果也就越好。

例如，人教版五上“确定位置”第一课时，是学习用数对表示具体情境中物体的位置。教学时，先出示学生熟悉的横成行、竖成列的教室座位场景，让学生根据“横成行，竖成列”的生活语境明确“列”与“行”的含义。接着设置一个找人的问题情境：“李红坐在第2列、第4行，那李红是哪一位？”让学生从图中指认出李红所在的位置。因为没有规定数的方向，学生指认出4个不同位置上的人，其中大部分学生指认的是从左往右第2列，从前往后第4行上的同学。此时教师引导质疑：“李红只有一位，你们怎么会找出4人？”学生认识到不规定数行和列的方向，就难以确定李红的位置。接着明确指出坐在第2列，第4行座位上的李红，让学生明白，这里的“第2列”是从左往右数的，“第4行”是从前往后数的。按“李红坐在从左往右数的第2列，从前往后数的第4行”的形式叙述就不会有歧义。学生立即又认识到这样叙说一个人的位置，虽然准确无误，但显得太啰嗦，学生意识到应该有简单的方式。这时教师告诉学生，数学家的确创造了一种既准确又简洁的方法，这就使学生产生了学习这种新方法的内在需求。此时教师问：“是老师直接把这种方法告诉你们，还是你们当一回数学家，自己把这种方法创造出来呢？”学生自然不希望教师直接告知，而是喜欢尝试创造。

二、概念的形成，经历数学化的过程

用“数对”确定位置，是约定俗成后的“规定”，它包含了三个方面的内容，一是“数对”指两个数，即列数与行数；二是数对中前面的数表示列数，后面的数表示行数，且确定第几列规定从左往右数，确定第几行规定从前往后数，它和直角坐标系中确定点的位置，要先写出横轴上的数量，再写出纵轴上的数量的次序是一致的；三是用数对确定位置有专属的书写格式。教学这样“规定”性的数学概念，并不是直接告诉学生，并让学生能模仿就万事大吉了。

其实，好的数学学习不是一个被动吸收的过程，而是一个以学习者已有的认知和经验为基础的主动理解、建构的过程。数学概念从产生到约定俗成都有其内在的合理性，教学过程中，教师需要引导学生去体会、去理解其内在原因，让学生经历数学家“创造规定”的心路历程，也就是经历“数学化”的过程，学生才能真正理解和掌握相关数学概念。

为探索“规定”内在的合理性，先让学生数出这个班级的人数，然后让学生回忆数的过程：（1）你是先横着数出一行的人数，还是先竖着数出一列的人数？（2）横着数一行的人数时，你是从左往右数的，还是从右往左数的？（3）竖着数一列的人数时，你是从前往后数的，还是从后往前数的？并分别用举手表决的方法来统计出各种数法的人数。通过三次操作，让学生清楚地认识到大部分人的观察习惯的一致性。再让学生对照情境图认识到“横着从左往右数”数出的就是列数，“竖着从前往后数”数出的就是行数。

接着，让学生猜想：“既然有这样的习惯，数学家规定用行列确定位置时，会做出怎样的规定？”学生自然意识到数学家会这样规定：先列，后行，且数列数从左往右，数行数从前往后。有了这样的规定，李红的位置用“第2列、第4行”来述说也就不会产生歧义。这时，再让学生回顾最初指认李红位置的情况，虽然大家当时不知道数学家的具体规定，但大部分同学也正确指认出李红的具体位置，让学生进一步认识到数学家这样规定的合理性。

在此基础上，向学生提出更高的数学化要求：数学的魅力在于符号化，数学符号不分民族、国籍，全世界通用。你能否像数学家一样，把这两句话简化一下，设计出一个数学符号，表示的还是第2列、第4行，能让全世界的人都看得懂？学生将众多成果展现在黑板上，最后全班交流，概括得出这些符号的共性，最终达成共识，像数学家一样创造出“数对”。

用不同方式描述平面内一个点的位置，直至用“数对”来确定的过程，其实是一个符号化的过程。教学过程中，教师有意识地引领学生有效经历从文辞描述，到习惯缩写，再到符号化的过程，目的就是让学生感悟到“数对”概念符号化形成的三个层次（文辞阶段，缩写阶段，符号阶段）。学生如此经历数学化的过程，自然能真正理解“数对”的内涵，不仅知其然，更知其所以然。

三、概念的应用，解决数学化的问题

概念的教学必须经过由感性的具体发展到抽象的规定，再由抽象的规定发展到思维中的具体这两个阶段。所以数学概念的应用也是教学过程中不可或缺的，是巩固与深化理解数学概念的重要环节。数学概念的应用，重在解决生活中数学化的问题，在分析问题、解决问题的过程中，一方面让学生进一步理解数学概念的内涵和外延，拓展认识的深度与广度，另一方面让学生运用数学概念进行思考，提高数学思维的能力。

本课开始，让学生指认李红位置时，学生指认了不同的四个位置。学生创造出“数对”后，便让学生用“数对”来表示另三个位置上的学生。学生写出这三个数对后，引导学生用数学的眼光观察李红及其他三个位置，通过比较，学生进一步理解了“数对”的内涵，发现了其中的规律，即同一列中，数对中的前一个数相同，同一行中，数对的后一个数相同。得出这样的规律后，在没有情境图的情况下，让学生根据小军的位置（4，3），用数对表示出小军前、后、左、右四个同学的位置。学生解决这个数学化的问题，需有理有序进行推理，不仅有效磨砺了学生的思维，更培养了学生的空间观念。

接着让学生用数对表示自己的位置、好朋友的位置。然后，教师写出数对（x，3），指出这个数对上的学生如能迅速站起来，就能成为今天的幸运学生，得到教师的小礼品。并让学生说出类似的数对，让更多的学生成为今天的幸运学生，学生想到了（3，x）、（x，y）等数对，让学生进一步关注到“数对”这一数学概念的内涵与外延。最后，让学生将目光投向生活，找出生活中可以运用数对（或类似于数对）确定位置的地方，在学生的交流过程中，教师适时出示教材练习中的相关图片及生活中的相关场景，如体操方阵、电影院里的座位、地球表面经纬度等，让学生体会到用数对确定位置所带来的生产生活上的便捷。

引导学生像数学家一样“创造”数学概念，实际上是让学生经历数学家发现数学的心路历程，与其说是让学生学习数学，不如说是引导学生学习数学化。在经历数学化的过程中，概念的形成是在教师的引导下“生发”的，这种“生发”是学生在探索的过程中自己“创造”出来的，而不是教师“强加”的。

（作者单位：江苏省金湖实验小学）