初中数学中一些动点问题的归类

邓晓飞

动点问题是我们在生活中经常遇见的问题，也是教材和各类考试中的难题.所以，动点问题一直是初中数学考试的重点，对学生来说，这类问题始终是一个难点，这主要因为解决这类问题需要分类，学生往往考虑不周全，或者学生理不清头绪，思路混乱.因此，动点试题能很好地展示学生的分析、探究能力，考查数学综合素养，为具备较强探究能力，逻辑推理能力，以及灵活运用数学知识的能力的学生，提供展示自我的空间，本文就初中数学中的一些动点问题作探讨，供大家参考.

例1：已知：线段AB=28cm.

（1）如图1，点P沿线段AB自点A以2cm/秒的速度向点B运动，点P出发2秒后，点Q沿线段BA自点B以3cm/秒的速度向点A运动，问再经过几秒后P、Q相距4cm？

（2）如图2，AO=8cm，PO=4cm，∠POB=60°，点P绕着点O以60度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自点B向点A运动.设点P、Q运动的时间为t（秒）.

①当t=？摇？摇？摇 ？摇？摇时，∠AOP=90°；

②假若点P、Q两点能相遇，求点Q运动的速度.

解答：（1）设再经过ts后，点P、Q相距5cm，①P、Q未相遇前相距5cm，依题意可列2（t+2）+3t=20-5，解得t=11/5；②P、Q相遇后相距5cm，依题意可列2（t+2）+3t=20+5，解得t=21/5.答：经过11/5s或21/5s后，点P、Q相距5cm.

（2）点P，Q只能在直线AB上相遇，则点P旋转到直线AB上的时间为120/60=2s或（120+180）/60=5s.

设点Q的速度为ym/s，

当2秒时相遇，依题意得2y=20-2=18，解得y=9.

当5秒时相遇，依题意得5y=20-6=14，解得y=2.8.

答：点Q的速度为9m/s或2.8m/s.

思考题1：如图2，AO=8cm，PO=4cm，∠POB=60°，点P绕着点O以x度/秒的速度逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自点B以ycm/秒的速度向点A运动，当点Q到达点A时，∠POQ恰好等于90°，则x∶y=？摇？摇 ？摇？摇？摇.

例2：如图3，已知线段AB=12cm，点C为AB上的一个动点，点D、E分别是AC和BC的中点.

（1）若点C恰好是AB中点，则DE=？摇？摇？摇 ？摇？摇cm；（2）若AC=4cm，求DE的长；（3）试利用“字母代替数”的方法，说明不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变；（4）知识迁移：如图4，已知∠AOB=120°，过角的內部任一点C画射线OC，若OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，试说明∠DOE=60°与射线OC的位置无关.

解答：

（1）∵AB=12cm，点D、E分别是AC和BC的中点，C点为AB的中点，

∴AC=BC=6cm，∴CD=CE=3cm，∴DE=6cm，

（2）∵AB=12cm，∴AC=4cm，∴BC=8cm，

∵点D、E分别是AC和BC的中点，∴CD=2cm，CE=4cm，∴DE=6cm.

（3）设AC=acm，∵点D、E分别是AC和BC的中点，

∴DE=CD+CE=12（AC+BC）=12AB=6cm，

∴不论AC取何值（不超过12cm），DE的长不变.

（4）∵OD、OE分别平分∠AOC和∠BOC，

∴∠DOE=∠DOC+∠COE=12（∠AOC+∠COB）=12∠AOB，

∵∠AOB=120°，∴∠DOE=60°，∴∠DOE的度数与射线OC的位置无关.

思考题2：如图5，线段AB的长为4，O是线段AB上的点，点C、D分别是线段OA、OB的中点，小明很轻松地求得线段CD的长为2.他在反思过程中突发奇想：若点O运动到线段AB的延长线上，原有的结论是否仍然成立？请帮小明画图分析，并说明理由.

思考题3：如图6，点B是线段AC的中点，D为AC延长线上的一个动点，记△PDA的面积为S1，△PDB的面积为S2，△PDC的面积为S3.试探索S1、S2、S3之间的数量关系，并说明理由.

例3：如图7，∠AOB的边OA上有一动点P，从距离点O18cm的点M处出发，沿线段MO，射线OB运动，速度为2cm/s；动点Q从点O出发，沿射线OB运动，速度为1cm/s.P，Q同时出发，设运动时间是t（s）.

（1）请用含t的代数式表示下列线段长度：当点P在MO上运动时，MP=？摇？摇？摇 ？摇？摇cm，PO=？摇？摇？摇 ？摇？摇cm.

（2）当点P在MO上运动时，t为何值，能使PO=OQ？

（3）若点Q运动到距离点O距离16cm的点N处停止，在点Q停止运动前，点P能否追上点Q？如果能，求出t的值；如果不能，请说出理由.

解答：

（1）∵P点运动速度为：2cm/s，MO=18cm，

∴当点P在MO上运动时，MP=2tcm，PO=（18-2t）cm，∴答案为：2t，（18-2t）.

（2）当OP=OQ则18-2t=t，解得：t=6，即t=6时，能使PO=OQ.

（3）不能；理由：设当t秒时点P追上点Q，则2t=t+18，解得t=18，

∵点P追上点Q需要18s，此时点Q已经停止运动.

思考题4：如图8，动点A从原点出发向数轴负方向运动，同时动点B也从原点出发向数轴正方向运动，2秒后，两点相距16个单位长度.已知动点A、B的速度比为1∶3（速度单位：1个单位长度/秒）.

（1）求两个动点运动的速度；

（2）在数轴上标出A、B两点从原点出发运动2秒时的位置；

（3）若表示数0的点记为O，A、B两点分别从（2）中标出的位置同时向数轴负方向运动，再经过多长时间，OB=2OA.

思考题5：如图9，A、B、C是数轴上的三点，点C表示的数是6，BC=4，AB=12.

（1）写出数轴上A、B两点表示的数；

（2）动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以每秒2个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q以每秒1个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动.设运动时间为t（t>0）秒，t为何值时，原点O与点P、Q中，有一点恰好是另外两点所连线段的中点.

例4：如图10，△ABC和△ADC都是每边长相等的等边三角形（每个角都是60°），点E、F同时分别从点B、A出发，各自沿BA、AD方向运动到点A、D停止，运动的速度相同，连接EC、FC.

（1）在点E、F运动过程中∠ECF的大小是否随之变化？请说明理由.

（2）在点E、F运动过程中，以点A、E、C、F为顶点的四边形的面积变化了吗？请说明理由.

（3）连接EF，在图中找出和∠ACE相等的所有角，并说明理由.

（4）若点E、F在射线BA、射线AD上继续运动下去，（1）小题中的结论还成立吗？（直接写出结论，不必说明理由）

解答：（1）∠ECF不变为60°理由如下：

∵△ABC和△ADC都是边长相等的等边三角形，∴BC=AC=CD，∠B=∠DAC=60°.

又∵E、F两点运动时间、速度相等，∴BE=AF，∴△BCE≌△ACF（SAS），

∴∠ECB=∠FCA，∴∠ECF=∠FCA+∠ACE=∠ECB+∠ACE=∠BCA=60°.

（2）不变化.理由如下：

∵四边形AECF的面积=△AFC的面积+△AEC的面积，△BCE≌△ACF，

∴△AEC的面积+△BEC的面积=△ABC的面积.

（3）证明：由（1）知CE=CF，∠ECF=60°，∴△CEF为等边三角形，

∵∠FCD+∠DFC=120°，∠AFE+∠DFC=120°，∴∠AFE=∠FCD，

∴∠ACE=∠FCD=∠AFE.

例4：如图11，△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8.点P从A点出发沿A-C-B路径向终点运动，终点为B点；点Q从B点出发沿B-C-A路径向终点运动，终点为A点.点P和Q分别以1和3的运动速度同时开始运动，两点都要到相应的终点时才能停止运动，在某时刻，分别过P和Q作PE⊥l于E，QF⊥l于F.问：点P运动多少时间时，△PEC与QFC全等？请说明理由.

解答：如图12，设运动时间为t秒时，△PEC≌△QFC，

∵△PEC≌△QFC，∴斜边CP=CQ，

有四种情况：

（1）P在AC上，Q在BC上，CP=6-t，CQ=8-3t，∴6-t=8-3t，∴t=1.

（2）P、Q都在AC上，此时P、Q重合，∴CP=6-t=3t-8，∴t=3.5.

（3）P在BC上，Q在AC时，此时不存在；理由是：8÷3<6，Q到AC上时，P应也在AC上.

（4）当Q到A点（和A重合），P在BC上时，∵CQ=CP，CQ=AC=6，CP=t-6，∴t-6=6∴t=12，∵t<14∴t=12，符合題意.

答：点P运动1或3.5或12秒时，△PEC与△QFC全等.

思考题6：如图13，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.当△APQ是等腰三角形时，运动的时间是多少秒？动点问题常用的公式有路程=速度×时间，速度=路程÷时间，时间=路程÷速度，面积公式S=1/2×底边×高，一般求动点的路径的长、求动点的时间、求动点的速度.考察的数学思想方法主要有：方程的思想，数形结合思想，运动变化思想，分类思想，从特殊到一般的思想，等等.