用函数思想指导高中数学解题

张百香

摘 要： 函数思想即以函数性质、函数理念作为基本出发点分析、转化和解决数学问题.函数思想本质上属于数学思想中的一种常见类型，在数学教学实践活动中起着横向联系之功效，有助于分析与解决高中数学难题.文章强调以函数思想为指导思想，指导高中数学方程式、不等式，以及数列等知识内容的解题程序，以期能够成为高中数学解题教学的参考标准.

关键词： 函数思想 高中数学解题 方程式 不等式 数列

函数思想本身属于数学中较重要的一种思想，在高中数学解题教学中起着举足轻重的作用.函数贯穿高中数学的始终，近几年各地高考均加大了函数知识的考查范围与比例，因此建议教师把函数思想视作高中数学解题教学的主线.

1.函数思想指导高中数学方程式解题程序

方程式即包含未知数的一个等式，且含有一个或多个未知数，是对未知量及已知量之间实际数量关系的直接表述.尽管方程式与函数的基本概念存在着差异，但同时也具有必然联系.若能用解析式直接表示函数，则可将其视作方程式.以函数思想指导方程式解题，可将函数视作一个已知量，且该已知的函数值为零，即可转化成一个方程式，或者是把一个方程式视作两个相同的函数，实现以函数问题代替方程问题的目标，那么所求方程的解即为函数图像中的交点[1].对于高中数学方程式，在解方程环节，针对方程式较复杂的题目，以常规方式解题通常需要花费较多时间，难度也相对较大，不仅学生难以掌握，经常会在同样的环节出错，而且给教师开展教学活动带来一定的难度.鉴于此，若借由函数思想，以函数性质、函数图像作为参考标准解题，则能够在短时间内达到解题目的，同时其准确性也相对较高.

比如，在方程式中，已知lgx+x=2的根为x■，10■+x=2的根为x■，需要求解x■+x■.那么在求解x■+x■时，若单纯分割方程和函数，则无法直接达到解题目标.主要由于该方程式由指数函数、线性函数和对数函数构成，因此借由函数思想画出函数图像之后，其图像交点即为方程的解.由此可见，把方程式转换为lgx=2-x，10■=2-x之后，建立直角坐标系，即可发现方程的解即为三个函数相交的两个点.

2.函数思想指导高中数学不等式解题程序

函数思想指导高中数学解题时，必须创建数学模型，且该数学模型应当表明两个变量之间的关系，将其用作指导高中数学不等式解题，具有较高可行性[2].函数区间中的正负和不等式具有直接关系，若把不等式右面部分视作零，将其左面以函数形式表现出来，则可直接通过函数性质、函数图像解题.

比如，若實数p满足4≥p≥0的要求，且x■+3+px>p+4x，在求解x的取值范围时，可以将x视作自变量，并构造出函数-x2-3+p+（4-p）x=y.由于4≥p≥0，因此y>0，再求解x的取值范围时，即可选择一元二次方程的实根分布解决问题，但是该解题程序十分复杂，并不建议使用.如果假设（4x-x■-3）+（1-x）p=f（p）>0，4≥p≥0，那么针对函数f（p）而言，只需要f（0）>0，f（4）>0，即可达到解题目标，x的取值范围为x<-1，x>3.

3.函数思想指导高中数学数列解题程序

数列即指根据一定顺序、规律所排列起来的数字，每一数字代表着数列中的一个项，所以对于数列问题，在解题环节可把数列视作项数函数，函数公式则为数列通项公式.高中数学数列的解题环节，把数列视作一个函数值，以函数性质、函数图像进行解题，即可简化数列解题程序.这是由于数列和函数中具有明显的相同点与不同点，借由类比法，有效把握数学变量的规律及特征，使函数思想和数列得以有机融合，从而实现数列的解题目标[3].

比如，在数列f（m）中，m为自然数，而f（m）=1+■+■+■+…+■，求f（m+1）-f（m）的值.在该数列中，若将分子与分母分开，可发现分母为正整数列，即1，2，3，4，…，3m-1.那么=f（m+1）-f（m）=（1+■+■+■+…+■+■+■+■）-（1+■+■+■+…+■）=■+■+■.必须强调的是，高中数列解题环节，必须把握函数和数列之间的联系.数列本身是函数的一种特殊形式，数列项为函数值，数列序号则为自变量，数列的图像为点组成，函数图像则为曲线组成.因此在具体应用过程中，应当合理把握两者之间的共同特性，并在此基础上结合各自特征，最终达到解题目的.

综上所述，基于函数思想指导高中数学解题具有一定的可行性，但是在建立函数思想时，需要加强实践教学，通过不断练习与深入研究，培养学生形成函数思想与函数意识，并形成以函数知识解决高中数学难题的自觉性和主动性，从而达到高中数学教学的整体目标，努力为社会培养出更多的创新型、实用型、综合型人才.

参考文献：

[1]陈莹.立足函数观点 观察数列问题——例谈用函数图像性质解决数列问题[J].中学教研（数学），2013，09（05）：15-17.

[2]刘见乐，罗敏娜.用函数思想指导高中数学解题[J].中国数学教育，2011，05（05）：45-46.

[3]周维贞.高中数学解题中常见的数学思想方法探析[J].解题技巧与方法，2014，11（11）：74-75.