有强带C－根的半群

李慧明， 高振林， 刘皖平

（上海理工大学 理学院，上海 200093）

1 预备知识

半群S 上的格林关系L，R，D，H，J 定义［1］为

性质1［1］a.对于半群S， （ ）R L 是S 上左（右）同余；

b.设H 是半群S 的子半群，则

若H 是半群S 的正则子半群，以上成相等包含关系.

半群S 称 为Clifford 半 群［1］（简 称 为C－半群），若S 是正则半群且幂等元均为中心幂等元，即E（S）⊆C（S）.半群S 称为右（左）正则半群，若对右（左）正则半群S 称为充足的，若对显然，正则半群既为左正则半群又为右正则半群.半群S 称为右（左）逆半群［2－3］，如果S 是正则半群，且对∀a∈S，有

V（a）表示a 的所有正则逆元集.半群S 称为左Clifford 半群［4］（简称为左C－半群），若S 是充足右正则半群且aS⊆L（a）（∀a∈S）.文献［4］指出，C－半群S 是左C－半群，反之不必.左（右）零带Iα（Λα）与群Gα的直积Iα×Gα（Λα×Gα）称为左（右）群带［2－3］.称半群直积S1×S2为半格织积，记为S1×sspS2，若S1，S2有共同的半格同态像.文献［1－6］证明了以下引理.

引理1 a.在充足左（右）正则半群S 中，对∀a∈S，∃｜幂等元，记为a＋（a＊），使得

b.左（右）逆半群S 为充足右（左）正则半群；

c.左C－半群S 为完全正则左群带的半格，反之不必；

d.左（右）群带的半格S 是右（左）逆半群，且S同构于左正则带I（ ）∧ 与C－半群T 的半格织积，记为S≅I×sspT（Λ×sspT）；

e.半群S 是C－半群当且仅当S 是J－类子群的半格，即S＝∪α∈YGα

定义2 对于半群S，若S 上没有任何C－同余，则定义S 上的泛关系S×S 为S 上的C－根同余，且称S 为C－根半群.若S 上至少有一个C－同余，则定义S 上所有C－同余ρα（α∈ω）的交为S 上C－根同余，记作ρcr.即

C－根同余ρcr可能不再是C－同余.但以下结论是易见的.

引理2 若ρcr仍是S 上C－同余，则它是S 上最小C－同余.反之，若S 上C－同余ρ是S 上最小C－同余，则ρ＝ρcr.

定义3 设ρ是半群S 上一个同余，若存在S的子集H，使得S＝H∪C，且C 同构于则称H是S 的ρ－集.此时，将ρ记作ρH.

定义4 若半群S 上C－根同余ρcr有ρcr－集，则将ρcr－集记作N（S）.称N（S）为S 的C－根集.这时有ρcr＝ρN（S）.因此可将C－根同余ρcr和C－根集N（S）统称为S 的C－根.

定义5 如果ρcr仍是半群S上C－同余，且S的C－根集N（S）存在，则称C－根ρcr是强C－根.

命题1 设半群S 有强C－根ρcr，则根集N（S）可表为是S 的C－同余ρα－集｝

由引理1知，左（右）逆半群与左C－半群均为正则半群.文献［1－6］讨论的均为这类半群的子类.本文试图用文献［1］中关于半群的根描述，引进另－类正则半群，称之为有强带C－根的半群.证明左（右）群带的半格半群、左C－半群均为有强带C－根的半群.并用实例证明，存在这种半群，它不是以上半群.通过讨论强（带）C－根与有强带C－根的半群的性质，用织积手段给出有强带C－根的半群的结构特征.

2 有强带C－根半群的概念及相关性质

定义6 若半群S 有强C－根ρcr，且 （ ）N S ＝E（ ）S 是带，则称S 为有强带C－根半群.

引理3 设S 为有零元的左（右）群带的半格半群，则以下各条成立：

a.L＝J（R＝J）是S 上半格同余；

这里E（x＋）（E（x＊））（x∈S）表示元x＋（x＊）生成的矩形带.

证明 由定义，设

这里Y 是半格，Sα＝Iα×Gα（α∈Y）是左群带，令则I，T 分别是S的有零元左正则子带与C－子半群，其中T＊＝∪Gα是S 的无零元C－子半群，且S＝E （S ） ∪

a.由式（1）知，在S 上

而在左群带（∀α∈Y）Sα上，由文献［2］知，LSα是半格同余，且LSα＝JSα.因此，由式（2）得引理3中结论a.

ρ具有对称性.若

使得x＝ey，y＝fz.

最后证ρ是S 上的最小C－同余，从而由引理2知ρ＝ρcr，且N（S）＝E（S）：设σ是S 上仼一个C－同余，若则于是

类似的可以证明对有零元右群帯的半格半群，相应结论也成立.证毕.

下例证明，有强带C－根的半群是借C－半群通过根理论真扩张得到的半群类.

例1 取一个有零元的带B，B 不是仼何特殊带.由带结构，设B 表成矩形带Bα的半格Bα，这里半格再用半格Y 作有零元C－半群其中是群，由于半格故令S＝B∪T，则规定S 上运算

经验证S 关于以上运算成半群.釆用引理3完全相同证法，可证S 是有强带C－根的半群，且

由于B 不是左、右正则带，从而S 不是右或左逆半群，当然不是右或左群带的半格半群.

以下S 总表示含零元的有强带C－根的半群.由文献［1］中带的结构定理，设S 的C－根集N（S）是S 的J－类子矩形带Bα（∀α∈ω）的半格，即由引理1，设S 的没有零元的C－子半群T＊是S 的J－类子群的半格，即T＊可表为由定义6，S 可表为

c.S 是充足右（左）正则半群，且

证明 a.因i∈Bα，1β∈Gβ且1β∈Bβ，由于Bα，Bβ是矩形带，故1βi∈Bβα.又对∀x∈Gβ，i1βx＝ix，若不可能，故

所以，i1β＝1αβ.由此推得i＝i1αi＝1αi.

b.因i∈Bα，a∈Gβ，则由性质2中结论a得

c.对∀a∈S，显然a＝a＊a＝aa＊，a＊∈La成立.若有当时，a可逆，由ae＝aa＊⇒e＝a＊＝1α.当a∈Bα（α∈ω）时，由ae＝aa＊，ea＝a＊a⇒e＝eae＝a＊aa＊＝a＊.故S 是充足右正则半群.往证式（3）成立：设a，b∈S，分4种情形：Bβ.由性质2 中结论a计算知，对情形有对情形（d）有

同样可证S 是充足左正则半群.证毕.

性质3 a.S 是正则半群；

b.该结论是易见的.

c.由性质3中的结论a、性质1得

这里JαH表示子半群H 上格林关系JH的一个JH－类.

d.先证L 是同余：由性质1，L 是右同余.设

于是∃α，β∈Y（orα，β∈ω，orα∈Y，β∈ω）∍α＝αβ＝βα＝β.即可设

对以上情形分别证明如下：

（a）.若a，b∈Bα，由性质3中的结论c知L｜N（S）＝J｜N（S），L｜T＊＝J｜T＊ 分别是N（S）与T＊上半格同余.若对T＊则caLcb成立.由性质2知，情形∀c∈S，ca∈N（或相反）不可能出现.

（b）若a，b∈Gα，由性质2知，对∀c∈S，ca，cb∈T＊.同上，caLcb.

（c）若a∈Bα，b∈Gα（α∈Y∩ω）（或相反），由性质2 知，对∀c∈S，cb∈T＊.若c∈T＊，则ca∈T＊，从而caLcb成立.若则ca∈Bβα（∃β∈Y⊆ω）.此时cb∈Gβα.由性质3中结论c知，与ca，cb在同一个L－类，即caLcb.综上，L 是S 上同余.

再证L＝J：显然，L⊆J.只要证反包含.设aJb（a，b∈S），则

再证ρ是S 上最小C－同余，从而由引理2知ρN（S）＝ρ：设σ是S 上仼一个C－同余则有或x＝y.若后者成立，显然设前者成立，因为σ是S 上C－同余，故有xσ＝1ασ＝yσ，从而也有综合得

由x ＝x＊yx＊得α ＝αβ.又 由y＊xy＊＝y＊x＊yx＊y＊＝y＊x＊y＊yy＊x＊y＊＝y＊yy＊＝y，得β＝αβ，β＝α，x，y ∈Bα∪Gα.若x，y ∈Bα，则

若1α≠x，1α≠y∈Gα，则x＝x＊yx＊＝1αy1α＝y，从而若x∈Gα，y∈Bα（或相反），则由x＝x＊yx＊知x＝x＊yx＊＝x＊＝1α.即同样由y＊xy＊＝y 证明另情形.综合得即反 之，设则 有x，y ∈Bα或x＝y.若后者成立，显然设前者成立，由于Bα是矩形带，故∃e，f∈Bα，使得x＝eyf＝ef.由于x＝x＊＝（eyf）＊ ＝fy＊e＝fe＝ef，从而e＝f＝x＊，即故ρ⊆σ，从而ρ＝σ.证毕.

证明 a.设a，b∈S，aρN（S）b，由式（4）得a，b∈或a＝b.若是后者，显然有aLb，若是前者，由于Bα＝Lα，故也知aLb.

c.由S 满足的条件知，半格织积半群N（S）×sspT≙W 是可以做成的.令映射

可证φ 是同构映射：对∀x∈S，∃α∈ω，∍x＝iα∈Bα，or，x＝aα∈Gα.若是前者，由性质2，1αiα＝iα.于是若是后者，则有

故φ 是同构映射.

3 有强带C－根半群的结构特征

定理1 设S 为正则半群，以下各条件等价：

a.S 为有强带C－根的半群；

b.L＝J 是S 的半格同余，且由式（4）给出的关系是S 上的C－同余.

证明 （a）⇒（b）若S 为有强带C－根的半群，由性质3中结论d，e即得定理1中的结论b.

（b）⇒（a）若L＝J 是S 的半格同余，且式（4）给出的关系ρ是S 上的C－同余，只需要证ρ 是S上最小C－同余，则由引理2，性质3即知，ρ＝ρcr是S 的C－根且ρcr是强的.假设σ 是S 上C－同余，则有或x＝y.若后者成立，显然设前者成立，因为σ是S 上C－同余，故有xσ＝1ασ＝yσ，从而也有综合得

［1］Howie J M.Anintroduction to semigroup theory［M］.London：Academic Press，1976.

［2］Bailes G L.Right inverse semigroups［J］.Journal of Algebra，1973，26（3）：492－507.

［3］Liu L J，Li J F，Liu Z N.A construction of left inverse semigroups［J］.Journal of Xiangtan Normal University（Natural Science Edition），2003，25（4）：10－13.

［4］朱聘瑜，郭聿琦.左C－半群的特征与结构［J］.中国科学，1991，21（6）：582－590.

［5］Fountain J B.Adequatesemigroups［J］.Proceedings of the Edinburgh Mathematical Society，1979，22（2）：113－125.

［6］郭聿琦，任学明，岑嘉评.左C－半群的又一结构［J］.数学进展，1995，24（1）：39－43.