二次函数最值问题及其解决方法

杨寒英

学生在初中阶段接触最多的，而且觉得比较难以理解的函数便是二次函数.为了使学生更好地理解函数的单调性的作用，笔者补充了一节关于求二次函数最值问题的探究性的课.这节课一方面起到了扩充知识的作用，提高学生对知识的应用能力；另一方面培养学生的探究意识和数形结合的思想方法.

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在以下区间上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若对称轴在给定区间的右侧或左侧，此时函数在该区间上是单调函数，最大值和最小值分别在区间端点处取得，比如本题的（1）（3）小题；

②若对称轴穿过区间，此时函数在该区间上先减后增，最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可，或比较哪个端点距离对称轴较远（端点离对称轴越远，函数值越大）即可，比如本题的（2）小题；

③函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在区间[t，t+2]上的值域.

分析：随着区间位置的改变，对称轴和区间的相对位置对函数值域的影响便一目了然了.

①当对称轴位于区间的左侧，即t≥1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为增函数，此时f（x）的取值范围是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②当对称轴位于左半区间，即t≤1≤t+1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是先减后增，右端点t+2距离对称轴较远，此时f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③当对称轴位于右半区间，即t+1≤1≤t+2时，函数f（x）在区间[t，t+2]上也是先减后增，此时是左端点t距离对称轴较远，所以f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④当对称轴位于区间的右侧，即t+2≤1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为减函数，此时f（x）的取值范围是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分学生可能只讨论了三种情况，将②③合并，这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[-1，1]上的值域.

分析：对称轴x=m可改变，对称轴与区间[-1，1]的相对位置也是变化的，仿照例2可以求出函数的值域.

①当对称轴位于区间的左侧，即m≤-1时，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②当对称轴位于左半区间，即-1≤m≤0时，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③当对称轴位于右半区间，即0≤m≤1时，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④当对称轴位于区间的右侧，即m≥1时，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.轴变区间变问题

【例4】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[a，b]上的值域.

分析：还是同前面的例子相同的讨论.

①当对称轴位于区间的左侧，即当m

②当对称轴位于左半区间，即a≤m≤

学生在初中阶段接触最多的，而且觉得比较难以理解的函数便是二次函数.为了使学生更好地理解函数的单调性的作用，笔者补充了一节关于求二次函数最值问题的探究性的课.这节课一方面起到了扩充知识的作用，提高学生对知识的应用能力；另一方面培养学生的探究意识和数形结合的思想方法.

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在以下区间上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若对称轴在给定区间的右侧或左侧，此时函数在该区间上是单调函数，最大值和最小值分别在区间端点处取得，比如本题的（1）（3）小题；

②若对称轴穿过区间，此时函数在该区间上先减后增，最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可，或比较哪个端点距离对称轴较远（端点离对称轴越远，函数值越大）即可，比如本题的（2）小题；

③函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在区间[t，t+2]上的值域.

分析：随着区间位置的改变，对称轴和区间的相对位置对函数值域的影响便一目了然了.

①当对称轴位于区间的左侧，即t≥1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为增函数，此时f（x）的取值范围是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②当对称轴位于左半区间，即t≤1≤t+1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是先减后增，右端点t+2距离对称轴较远，此时f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③当对称轴位于右半区间，即t+1≤1≤t+2时，函数f（x）在区间[t，t+2]上也是先减后增，此时是左端点t距离对称轴较远，所以f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④当对称轴位于区间的右侧，即t+2≤1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为减函数，此时f（x）的取值范围是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分学生可能只讨论了三种情况，将②③合并，这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[-1，1]上的值域.

分析：对称轴x=m可改变，对称轴与区间[-1，1]的相对位置也是变化的，仿照例2可以求出函数的值域.

①当对称轴位于区间的左侧，即m≤-1时，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②当对称轴位于左半区间，即-1≤m≤0时，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③当对称轴位于右半区间，即0≤m≤1时，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④当对称轴位于区间的右侧，即m≥1时，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.轴变区间变问题

【例4】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[a，b]上的值域.

分析：还是同前面的例子相同的讨论.

①当对称轴位于区间的左侧，即当m

②当对称轴位于左半区间，即a≤m≤

学生在初中阶段接触最多的，而且觉得比较难以理解的函数便是二次函数.为了使学生更好地理解函数的单调性的作用，笔者补充了一节关于求二次函数最值问题的探究性的课.这节课一方面起到了扩充知识的作用，提高学生对知识的应用能力；另一方面培养学生的探究意识和数形结合的思想方法.

一、分类举例

1.轴定区间定问题

【例1】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在以下区间上的最值.

（1）x∈[-2，0]；（2）x∈[0，3]；（3）x∈[2，4].

分析： f（x）=（x-1）2-4.

①若对称轴在给定区间的右侧或左侧，此时函数在该区间上是单调函数，最大值和最小值分别在区间端点处取得，比如本题的（1）（3）小题；

②若对称轴穿过区间，此时函数在该区间上先减后增，最小值在对称轴处取得.而最大值在端点处取得.此时只需计算哪个端点处的函数值较大即可，或比较哪个端点距离对称轴较远（端点离对称轴越远，函数值越大）即可，比如本题的（2）小题；

③函数的最大、最小值只在区间的端点或对称轴处取得.

2.轴定区间变问题

【例2】 求二次函数f（x）=x2-2x-3在区间[t，t+2]上的值域.

分析：随着区间位置的改变，对称轴和区间的相对位置对函数值域的影响便一目了然了.

①当对称轴位于区间的左侧，即t≥1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为增函数，此时f（x）的取值范围是f（t）≤f（x）≤f（t+2）；

②当对称轴位于左半区间，即t≤1≤t+1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上是先减后增，右端点t+2距离对称轴较远，此时f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t+2）；

③当对称轴位于右半区间，即t+1≤1≤t+2时，函数f（x）在区间[t，t+2]上也是先减后增，此时是左端点t距离对称轴较远，所以f（x）的取值范围是f（1）≤f（x）≤f（t）；

④当对称轴位于区间的右侧，即t+2≤1时，函数f（x）在区间[t，t+2]上为减函数，此时f（x）的取值范围是f（t+2）≤f（x）≤f（t）.

部分学生可能只讨论了三种情况，将②③合并，这是出错的主要原因.

3.轴变区间定问题

【例3】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[-1，1]上的值域.

分析：对称轴x=m可改变，对称轴与区间[-1，1]的相对位置也是变化的，仿照例2可以求出函数的值域.

①当对称轴位于区间的左侧，即m≤-1时，有f（-1）≤f（x）≤f（1）；

②当对称轴位于左半区间，即-1≤m≤0时，有f（m）≤f（x）≤f（1）；

③当对称轴位于右半区间，即0≤m≤1时，有f（m）≤f（x）≤f（-1）；

④当对称轴位于区间的右侧，即m≥1时，有f（1）≤f（x）≤f（-1）.

4.轴变区间变问题

【例4】 求函数f（x）=x2-2mx+2在区间[a，b]上的值域.

分析：还是同前面的例子相同的讨论.

①当对称轴位于区间的左侧，即当m

②当对称轴位于左半区间，即a≤m≤