虚功原理法和割补法在绳索（或链条）的平衡问题中的比较

冯强

摘 要： 静力学问题在物理学中是难点问题，虚功原理法和割补法是解决静力学问题的两种重要方法。本文通过对处于平衡态的绳索（或链条）问题的研究，尝试对这两种方法进行比较，同时对处于平衡态的绳索（或链条）问题得出结论。

关键词： 虚功原理法 割补法 绳索（或链条）问题

如图1所示，一根2m长的棒，一端被支撑着，在棒的中间有一个60N的重物，离支点0.5m处还有一个100N的重物。假如不考虑棒的重量，为了保持它的平衡，我们要在棒的另一端加多大的力？假设在棒的另一端放上一个滑轮，并在滑轮上悬挂一个重物W，为了使棒平衡，W应该是多重？我们设想W落下任意一段距离，为了简便起见，设它下降了4cm，那么这两个重物要升高多少呢？棒的中心升高了2cm，而离固定端0.5m处的那一点升高了1cm，所以，各个重物与高度的乘积之和不变。这个原理告诉我们，W乘以下降的4cm，加上60N乘以升高的2cm，再加上100N乘以升高的1cm，其和必定是零

-4W+2×60+1×100=0，W=55N

这就是说，为了使棒平衡，必须加上一个55N的重物。用这种方法，我们可以得出“平衡”定律——复杂的桥梁建筑的静力学等。这种处理物体的方法称为“虚功原理”，该原理是由伯努利首先提出的。因为为了进行这种论证，我们必须“设想”系统移动一下——即使它实际上没有移动，甚至不能移动[1]。下面我们讨论这个原理在绳索（或链条）的平衡问题中的几个应用。

例1：如图2所示，一个半径为R的四分之一光滑柱面置于水平桌面上。球面上有一条光滑匀质铁链，一端固定于球面顶点A，另一端恰好与桌面不接触，且单位长度铁链的质量为ρ，求铁链A端所受的拉力。

解法一：虚功原理法

如图3所示，设将铁链B端延长Δx，则A端所受拉力F不变，设在A端拉力F作用下铁链移动了距离Δx，则拉力做的功为

W■=FΔx

铁链的重力势能改变为ΔE■=ρΔxgR，相当于B端的Δx的一段搬到了A端。按照功能原理：拉力的功等于铁链重力势能的改变量，W■=ΔEP，

即FΔx=ρΔxgR

∴F=ρgR

解法二：割补法

如图4所示，将四分之一光滑柱面悬空，将铁链如图补充完整，然后用光滑水平面把OB段给顶起来，则O点和B点的拉力必为零，A点的拉力F就等于AO段铁链的重力，即

F=ρgR

讨论：1.上式说明，A点的拉力F，也即A、B两点的拉力之差就等于相当于A、B两点的高度差R（亦即AO）那段铁链的重量。

2.虚功原理解法奇特，但割补法解题同样奇妙。

例2：均匀的不可伸长的绳子，其两端悬挂在A、B两点，B点比A点高h（图5）。在A点绳子张力为T■，求在B点绳子的张力。绳子的质量为m，绳长为l。

解法一：虚功原理法

假设我们在A点存有一段绳子。在A点放下长为Δl的一小段绳子，与此同时在B点抽出同样长度Δl的绳子，显然，这时要做功，所做的功等于（T■-T■）Δl，式中T■和T■分别是在B点和A点处绳子的张力。这个功用于将质量mΔl/l这段绳子提高h时势能的变化。根据功能原理

mg■h=（T■-T■）Δl

因此得到

T■=T■+mgh/l

解法二：填补法

用长为L的光滑斜面放在A、B两点，加段绳子沿着这个斜面将绳子接通（图6）。当然整段绳子应当处于平衡。躺在斜面上的这段绳子是由于在B点与A点处绳子的张力差而维持平衡

T■-T■=■g■

∴T■=T■+■

讨论：1.上式再次说明B、A两点的张力之差就等于B、A两点高度差h的一段绳子的重力。

2.两种解法同样奇妙。

例3：质量为m、长度为l的均匀光滑粗绳，穿过半径为R的光滑滑轮并搭在轮上（图7），求绳上最大张力。

解法一：虚功原理法

设绳子下端据滑轮中心的竖直高度为x，则有

l=2x+πR 即x=（l-πR）/2

显然绳子中的最大张力出现在滑轮顶端，将绳子下端紧挨光滑水平面，并用长为2R的绳子将下端连起来，如图8所示。滑轮顶端绳子张力应该不变，设为T■，假设绳子逆时针转过Δl，则T■做功为T■Δl，按功能关系，它就应该等于把长度为Δl的一段绳子由水平面移到滑轮顶端重力势能的增量，■mg（x+R）。即

T■Δl=■mg（x+R）=■mg（■+R）=■mg■

故T■=■mg

解法二：割补法

如图9所示，將滑轮改为半径相同的光滑半圆柱体且固定，让右端绳子长度保持不变（即保持x不变），左端多余绳子剪掉，使下端对齐，则绳子一定处于平衡状态，最大张力T■出现在半圆柱体顶端且等于左侧部分绳子的重力，因为绳子端点到滑轮顶端的竖直高度是

h=x+R=（1-πR）/2+R=■

故T■=■h=■mg

讨论：两种解法都同样奇妙，同样精彩。

例4：玩具列车由许多节车厢组成。它以恒定速度沿光滑水平轨道行驶，进入“死圈”（图10），列车全长为L，圈的半径为R（R比车厢长得多，但L>2πR）。试问列车应具有多大的初速度，才能防止险情，不让一节车厢脱离翻圈轨道？

图10

解法一：虚功原理法：

设列车质量为M，初速为v■，随着进入“死圈”，列车速度减慢，当“死圈”整个挤满一节节车厢（而后来也不变化时），列车速度达到最小值v。据机械能守恒定律

■=■+ΔMgR ①

式中ΔM是位于“死圈”上的所有车厢的质量，其值为

ΔM=■·2πR ②

“死圈”上的车厢受到轨道的支持力作用，最小压力出现在“死圈”的顶点。要不让一节车厢脱离圈，在这极限情况下车厢对轨道压力为零。这时每节车厢受到重力mg（m是每节车厢质量）和两节相邻车厢间挂钩的拉力T（图11）。这两个力的合力竖直向下，使车厢具有必要的向心加速度v■/R，设“死圈”上每节车厢对圆心张角为α，则有

2Tsin■+mg=m■

图11 图12

这里考虑α角很小，α=l/R（l为每节车厢的长度），用此角代替它的正弦。注意m=（l/L）M=（αR/L）M（忽略两相邻车厢之间的间隔），于是前一方程可改写成

T+■Mg=M■ ②

现在我们求拉力。讨论聚集在“死圈”上的部分车厢（图12）。假设这部分车厢移动一小段距离Δx，则力T做功W=TΔx，但是由于列车速度不变，这个功应该等于质量为Δm的车厢上升到高为2R处其势能的变化，Δm是长为Δx所对应的车厢质量，Δm=（■）Δx，因此

TΔx=■Δx·g·2R，即T=■ ③

解①、②和③式，得到所求列車的初速度

v■=■。[2]

解法二：割补法

其他步骤与虚功原理解法相同，关键是③式的得出思路不一样。如图13，若把列车看做是一串光滑铁链，把“死圈”改为如图所示的半圆形“光滑管道”（其拐角处有一段极小圆弧），则“死圈”右半段铁链受力情况不变，因为此时铁链做匀速运动，所以其中张力应与其速度无关，假设速度很小（趋于零），则“死圈”中最高点张力就应该等于对应的竖直直径的一段链条的重力。即

T=■2Rg=■

与③式相同。

结论：1.在绳索（链条）问题中，如果没有摩擦，且绳索（链条）处于平衡状态（静止或匀速），则绳索（链条）中任意两点A、B的张力之差就等于相当于这两点高度差的一段绳索（链条）的重力。

2.在解决静力学的链条问题中，虚功原理法和填补法同样简单、奇妙，各有千秋。

3.提高学生能力的一种重要方式就是一题多解，多一种方法就多一分能力，因此我认为在物理教学中适当介绍虚功原理和割补法很有必要。

参考文献：

[1][美]费恩曼.费恩曼物理学讲义.上海科学技术出版社，2006：37-38.

[2]刘海生.俄罗斯中学物理竞赛试题精编.南京师范大学出版社，2005：153-154.