重视和发掘习题的潜功能

颜泂沛

普通高中课程标准实验教科书数学必修5（人民教育出版社A版）第46页习题2.3 B组第2题和第62页习题2.5 B组第2题，其内容如下：

2.3B：2.已知数列{a■}是等差数列，S■是其前n项和，求证：S■，S■-S■，S■-S■也成等差数列.

2.5B：2.已知等比数列{a■}的前n项和为S■，求证：S■，S■-S■，S■-S■也成等比数列.

这两道题的解法紧紧围绕数列的性质特征，依据相同的思维，不同的知识结合数列项数和下标的特征，可以从以下两个方面得到一些高考常用的结论.

一、利用题目所给数列项数相同的特征

Ⅰ.若数列{a■}为等差数列，公差为d，设A=a■+a■+…+a■，B=a■+a■+…+a■，C=a■+a■+…+a■，则A、B、C成等差数列，且公差为knd；

若数列{a■}为等比数列，公比为q，设A=a■+a■+…+a■，B=a■+a■+…+a■，C=2■+a■+…+a■，则A、B、C成等比数列，且公比为q■；设M=a■·a■……a■，N=a■·a■……a■，P=a■·a■……a■，则M，N，P也成等比数列，且公比为q■.

例1.【2014年高考全国卷文】设等比数列{a■}的前n项和为S■，若S■=3，S■=15，则S■=（？摇 ？摇）

A.31 B.32 C.63 D.64

【答案】C

【解析】设公比为q，由题得S■-S■=a■+a■=S■×q■=3×q■=12，

∴q■=4，∴S■-S■=a■+a■=S■q■=48，∴S■=63.

例2.【2010年高考安徽卷理】設{a■}是任意等比数列，它的前n项和，前2n项和与前3n项和分别为X，Y，Z，则下列等式中恒成立的是（？摇 ？摇）

A.X+Z=2Y B.Y（Y-X）=Z（Z-X）

C.Y■=YZ D.Y（Y-X）=X（Z-X）

【答案】D

【解析】∵{a■}是等比数列，∴S■，S■-S■，S■-S■成等比数列，不妨设这三项分别为a，2a，4a；则X=a，Y=3a，Z=7a，代入可得.

例3.【2013年高考福建卷理】已知等比数列{a■}的公比为q，记b■=a■+a■+…+a■，c■=a■·a■·…·a■（m，n∈N■），则以下结论一定正确的是（？摇 ？摇）

A.数列{b■}为等差数列，公差为q■

B.数列{b■}为等比数列，公比为q■

C.数列{c■}为等比数列，公比为q■

D.数列{c■}为等比数列，公比为q■

【答案】C

【解析】数列{b■}为等比数列，公比为q■，数列{c■}为等比数列，公比为q■=q■.

例4.【2013年高考北京卷（文、理）】若等比数列{a■}满足a■+a■=20，a■+a■=40，则公比q=？摇？摇 ？摇？摇；前n项S■=？摇？摇 ？摇？摇.

【答案】2，2■-2

【解析】a■+a■+a■=（a■+a■+a■）·q■=6×q■=48，∴q=2，

∴a■+a■+a■=（a■+a■+a■）·q■=6×q■=192.

例5.【2009年高考浙江卷文】设等差数列{a■}的前n项和为S■，则S■，S■-S■，S■-S■，S■-S■成等差数列.类比以上结论有：设等比数列{b■}的前n项积为T■，则T■，？摇 ？摇？摇？摇，？摇 ？摇？摇？摇，■成等比数列.

【答案】■，■

【解析】对于等比数列，通过类比，有等比数列{b■}的前n项积为T■，则T■，■，■，■成等比数列.

二、利用数列下标特征解题

Ⅱ.等差数列下标成等差数列且公差为m的项a■，a■，a■，…组成的数列仍为等差数列，公差为md；等比数列下标成等差数列且公差为m的项a■，a■，a■，…组成的数列仍为等比数列，公比为q■.

例6.【2014年高考广东卷文】等比数列{a■}的各项均为正数，且a■a■=4，则log■a■+log■a■+log■a■+log■a■+log■a■=？摇？摇 ？摇？摇.

【答案】5.

【解析】由题意知a■a■=a■■=4，且数列{a■}的各项均为正数，所以a■=2，

∴a■a■a■a■a■=（a■a■）·（a■a■）·a■=（a■■）■·a■=a■■=2■，

∴log■a■+log■a■+log■a■+log■a■+log■a■=log■（a■a■a■a■a■）=log■2■=5.

例7.【2012年高考全国卷理】已知{a■}为等比数列，a■+a■=2，a■a■=-8，则a■+a■（？摇 ？摇）

（A）7 （B）5 （C）-5 （D）-7

【答案】D

【解析】因为{a■}为等比数列，所以a■a■=a■a■=-8，又a■+a■=2，所以a■=4，a■=-2或a■=-2，a■=4.若a■=4，a■=-2，解得a■=-8，a■=1，a■+a■=-7；若a■=-2，a■=4，解得a■=-8，a■=1，仍有a■+a■=-7，综上选D.

例8.【2006年高考试卷上海春】已知数列a■，a■，…，a■，其中a■，a■，…，a■是首项为1，公差为1的等差数列；a■，a■，…，a■是公差为d的等差数列；a■，a■，…，a■是公差为d■的等差数列（d≠0）

（1）若a■=40，求d；

（2）试写出a■关于d的关系式，并求a■的取值范围；

（3）续写已知数列，使得a■，a■，…，a■是公差为d■的等差数列……依次类推，把已知数列推广为无穷数列.提出同（2）类似的问题（（2）应当作为特例），并进行研究，你能得到什么样的结论？

【解析】（1）a■=10，a■=10+10d=40，∴d=3.

（2）a■=a■+10d■=10（1+d+d■）（d≠0），

a■=10[（d+■）■+■]，

当d∈（-∞，0）∪（0，+∞）时，a■∈[7.5，+∞）.

（3）所给数列可推广为无穷数列{a■}，其中a■，a■，…，a■是首项为1，公差为1的等差数列，当n≥1时，数列a■，a■，…，a■是公差为d■的等差数列.

研究的问题可以是：试写出a■关于d的关系式，并求a■的取值范围.

研究的结论可以是：由a■=a■+10d■=10（1+d+d■+d■），

依次类推可得a■=10（1+d+…+d■）=10×■，d≠1，10（n+1）， d=1

当d>0时，a■的取值范围为（10，+∞）等.

由上面的高考试卷中关于数列例题可以看出，精心研究习题的解答，重视课本习题的辐射作用，重视书本习题的研究无论对教师和学生分析能力和解题能力都是有利的，特别是对于新教师的培养更有利.