变式，凸显数学本质

朱玉如

皮亚杰的认知发生论表明，处于具体运算阶段（7-11岁）的儿童，思维带有很大的具体形象性，他们缺乏抽象思维，理解概念在很大程度上离不开具体事物的直观支撑。他们对具体事物感受到一定的数量，感受到一定的程度，抽象思维就悄悄开始了。但是，他们对具体事物的感受不是多多益善的，学习素材的性质和提供学习素材的策略会对儿童的学习产生重要的影响。变式是指变换肯定例证的非本质属性，变更观察事物的角度与方法，在事物的不同表现形式和不同情境中，突出事物的本质特征和本质要素，让学生在变式中思辨，剔除非本质属性，聚焦本质特征。变式按其教学组织形式的不同可分为概念性变式、过程性变式和反例性变式（非概念变式）三类。

1.运用概念性变式，帮助学生初步理解概念。

概念性变式，就是在概念由具体到抽象过渡的过程中，不仅提供肯定例证的一般形式，而且提供变更非本质特征的变式，帮助学生从多个角度感受事物的本质特征，摒弃非本质特征，理解概念。例如：教学“轴对称图形”，把一张长方形纸对折，通过观察和简短的讨论，使学生初步理解对折后能完全重合的图形是轴对称图形。接着——

师（出示）：下列图形是不是轴对称图形？

■

① ② ③ ④

（学生一一判断，都是轴对称图形。）

师：这些图形的形状各不相同，为什么都是轴对称图形？

生：因为它们对折后都能完全重合。

师：是的，不管是什么样的图形，只要对折后能完全重合，就是轴对称图形。

2.运用过程性变式，使学生逐步理解概念的本质。

心理学研究表明，儿童对概念的学习是一个有层次的数学活动过程，这种层次性可以表现为一系列的认知台阶。过程性变式，就是在概念学习的过程中，通过变式例证有层次地推进，使学生积累认知经验，逐步理解概念的本质。例如：教学“三角形的高”，教师先提供了三角形的高的标准图形，告诉学生：从三角形的顶点到对边垂直的线段，叫做三角形的高。但考虑到“标准图形的强烈刺激往往容易使其相应的非本质特征也得到强化”，而易把“水平线垂直”也作为概念的本质特征。所以，教师接着变换概念的非本质特征，呈现变式图形，让学生认识到不管线段如何垂直或其位置、方向如何，只要是从三角形的一个顶点到对边垂直的线段就是三角形的高。后来，教师又意识到学生对三角形的高的认识还只局限在三角形内部，理解还是见一知一的，因此，教师又要求学生画出钝角三角形ABC中AB边上的高。当学生探索着画出AB边上的高CD后（如上图），发现这条“垂直的线段”虽在三角形外部，但它仍是从C点到对边AB的垂线，是三角形AB边上的高。通过这样有层次的变式图形的推进，学生终于认识到无论三角形是什么形状、位置如何、方向怎样，只要是从三角形的顶点到对边垂直的线段就是三角形的高。

3.运用反例性变式，使学生更准确地理解概念的本质。

反例性变式，就是变换事物肯定例证的本质属性，使它质变为他事物，提供有利于辨别的信息，让学生在对比思辨中从反面逆射、反思、突出事物的本质属性。运用反例性变式要注意时机，一般在正确的知识形成以后与概念性变式结合运用，例如：教学“认识方程”，通过用天平称水杯的重量，有层次地揭示物体的重量与未知重量之间的相等关系，使学生初步理解方程的意义——含有未知数的等式。接着，教师让学生判断：①5x+32=47②x-14>7③2y+24④35+65=100⑤6（a+2）=42哪些是方程？为什么？学生在表示②③④式不是方程并说明理由的过程中，便逆射、反思、突出了方程是含有未知数的等式的意义。有时，根据教学的需要，反例也可在开始学习新知时和“正例”一并提供，归谬激正，突出概念的本质特征。

变式没有太多的理论诉求，它与巴班斯基的“教学过程最优化”理论无关，与维果茨基的“最近发展区”理论无涉，一题多解、一题多变更不是变式。运用变式只是一种提供形成概念所需具体材料的策略，一种有利于凸显数学本质的有效策略。■

（作者单位：江苏省南通市实验小学）