高等代数中替换定理的一种证明

蒋红梅

（四川文理学院 数学与财经学院，四川 达州 635000）

高等代数是师范院校本专科学生必修的一门基础数学课。通过本课程的教学，学生要掌握基本理论、基本方法和基本技能，培养学生的科学思维、逻辑推理、运算能力及高观点处理中学教材的能力。教师在定理的教学中，不仅要讲清定理内容，而且要讲清定理的证明和应用，以便学生深刻理解定理内容。替换定理是《高等代数》中一个十分重要的基本定理。《高等代数》是对向量的个数r作数学归纳法，应用向量等价理论证明此定理，两个结论同时证明，证明过程清楚明了，但证明篇幅较长；在高等代数中，证明篇幅虽然很短，但初学者理解起来有些困难，而且学生很难理解其证明过程，最终将导致学生失去学习兴趣。本文将利用线性方程组和矩阵的相关理论给出替换定理的另一个证明，力求给出该定理的比较简洁的证明过程，便于学生理解。

一、预备知识

定理1：若含有n个未知量的非齐次线性方程组有解，且其系数矩阵A的秩为r，那么当r=n时，此方程有唯一解，当r＜n时，此方程有无穷多解。定理2：（替换定理）设向量组{α1，α2，…，αr}（1）线性无关，并且它可由向量组{β1，β2，…，βS}（2）线性表示。那么r≤s，并且必要时可以对（2）中向量重新编号，使得{α1，α2，…，αr}替换{β1，β2，…，βS}后，所得到的向量组{α1，α2，…，αr，βr+1，βr+2，…，βS}（3）与（2）等价。

二、替换定理的证明

通过线性方程理论和矩阵理论的学习后，应用此理论给出替换定理的证明。证明：∵α1，α2，…，αr线性无关，∴当且仅当数k1=k2=…=kr=0时，使k1α1+k2α2+…+krαr=0成立.∵（1）可以由（2）线性表示，即：

方程组（4）可视为关于β1，β2，…，βs的广义的非齐次线性方程组，其中aij为未知量的系数，i=1，2，…r.j=1，2，…，s。此方程组有非零解，否则{α1，α2，…，αr}线性相关。设方程组（4）的系数矩阵为A，增广矩阵为A，当方程组有唯一解时，r（A）=r（A）=s=r，当方程组有无穷多解时，r（A）=r（A）≤r＜s。因此，r≤s。设方程组（4）的系数矩阵A的秩为t（t=r≤s），方程组（4）的增广矩阵（Ab）经过初等行变换可化为：

当r=s时，方程组（5）中不含有变量βr+1，…，βS，方程组（5）

化为

从方程组（6）可知向量组{β1，β2，…，βS}可由向量组{α1，α2，…，αs}线性表示，而向量组{α1，α2，…，αs}也可由向量组{β1，β2，…，βS}线性表示，因此向量组（2）与向量组（3）等价。当r＜s时，方程组（5）可化为

从方程组（7）可知向量组{β1，β2，…，βS}可由向量组{α1，α2，…，αr，βr+1，βr+2，…，βS}线性表示，而向量组{α1，α2，…，αr，βr+1，βr+2，…，βS}也可由向量组{β1，β2，…，βS}线性表示，因此向量组（2）与向量组（3）等价。

不同的高等代数教材中，证明替换定理的方法不一样，在高等代数的教学中，将替换定理的不同证明方法介绍给学生，有助于学生对定理的理解和知识的应用。在高等代数中，替换定理安排在第二章第5节——向量及其线性相关性，在学习第三章——线性方程组后，用此方法证明定理能让学生简洁易懂，便于培养学生学习的兴趣。当然，我们也可以提出某种方法让学生独立或分组讨论，从而达到以学致用的目的，提高学生自主探求学习的能力。

[1]廖家藩.高等代数[M].成都：电子科技大学出版社，1995.

[2]郭卫舵，龙德明.高等代数[M].成都：成都科技大学出版社，1997.

[3]徐德余.高等代数[M].成都：四川大学出版社，2002.

[4]徐德余.线性方程组理论在高等代数中的应用[J].绵阳师范学院报，2008，（11）：6-11.

[5]北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组.高等代数（三版）[M].北京：高等教育出版社，2000.