减元消参 简中求道
2014-11-07
含多元的数学问题是高中数学重要题型之一,也是同学们备感头疼的棘手题型.一方面,我们面对题中复杂的数量关系,难以将其中关系全部用数学式子表达出来;另一方面,式子虽然列出来了,但面对这些高次方程组或多元不等式,束手无策,没有清晰的思路.对于这些问题,我们需要精心设计一些有利于理解的问题,自主探究,找到解决问题的办法.
一、函数问题中的“消元”
例1 (2014年高考江苏卷,14)若△ABC的内角满足sinA+ sinB=2sinC,则cosC的最小值是_________.
破解 由正弦定理得a+ b=2c,由余弦定理结合基本不等式有:cosC= = = = - ≥ - = ,当且仅当a= b时等号成立.
反思 本题共含a,b,c三个变量,由题中等式a+ b=2c,代入消元后剩下两个变量a,b;再由基本不等式,将式子化为只含ab的一元问题了.类似问题在2008年高考江苏卷中也曾出现:x,y,z∈R?鄢,x-2y+3z=0, 的最小值为________.
例2 设函数f(x)=ex-ax+a(a∈R),其图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1
(1)求a的取值范围;
(2)证明:f ′ <0(f ′(x)为函数f(x)的导函数).
破解:(1)略.
(2)因为e -ax1+a=0,e -ax2+a=0,两式相减得a= . 记 =s(s>0),则f′ =e - = [2s-(es-e-s)]. 设g(s)=2s-(es-e-s),则g′(s)=2-(es+e-s)<0,所以g(s)是单调减函数,则有g(s)
反思:本题第(2)问视 为整体,化二元为一元. 含多个变量求最值或范围的问题,若从局部出发,看成是几个不相干的变量来处理,则变量之间的关系会变得错综复杂,“剪不断理还乱”,因此,需要调整视角,把一些关于多个变量的代数式作为一个有机整体,设多变元构成的整体为“新元”,将“多元”问题改造成“一元”问题.
二、向量问题中的“消元”
例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且 + · - =0. 若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一直径, · 的最大值和最小值分别为_______.
图1
破解:由 + - =0得: 2= 2. 设P(x,y),则(x-2)2+y2= (x-8)2,化简得 + =1. 所求 · 中含有三个动点:P,E,F,动点多,变量多,就像代数问题里解三元方程组一样,应该想到“消元”. 如图1, · =( + )·( + )= 2+ ·( + )+ · = 2-1,这样,化成只含一个动点P,其中N点是定点,问题变成“一元”问题了. 设P(x,y),则x2=161- =16- y2,y∈[-2 ,2 ],所以 · = 2-1=x2+(y-1)2-1=- y2-2y+16. f(y)=- y2-2y+16=- (y+3)2+19在[-2 ,2 ]上的最大值和最小值分别为:19,12-4 .
反思:仔细分析问题的结构特征,当问题中含有多个变量时,挖掘题目中的特殊条件、结构,把其中隐含的关系显性化,运用这些关系,对多变量进行“消元”,直至化成“一元”问题,将多变量问题化为单变量问题,使得问题结构简单.
三、解析几何中的“消元”
例4 已知F1,F2分别是椭圆C1: + =1(a>b>0)的上、下焦点,其中F1也是抛物线C2:x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且MF1= .
(1)求椭圆C1的方程;
(2)已知点P(1,3)和圆O:x2+y2=b2,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点Q,满足: =-λ , =λ (λ≠0,λ≠±1),求证:点Q总在某定直线上.
破解:(1) + =1.
(2)设A(x ,y ),B(x ,y ),Q(x ,y ),则x +y =3 ①,x +y =3 ②.
由 =-λ 得(1-x1,3-y )= -λ(x2-1,y2-3),所以x1-λx2=1-λ ③,y -λy =3(1-λ) ④.
由 =λ 得(x0-x1,y0-y1)=λ(x2-x0,y2-y0),x1+λx2=(1+λ)x0 ⑤,y +λy =(1+λ)y ⑥.
7个未知数x1,y1,x2,y2,x0,y0,λ,共6个方程,消去x1,y1,x2,y2,λ等5个未知数可以得到关于x0,y0的一个二元一次方程,从而得到结论. 注意到③~⑥式为一次方程这一结构特点,具体做法是:③×⑤+④×⑥得:(x -λx )+(y -λy )=(1-λ2)x0+3(1-λ2)y0,3(1-λ2)=(1-λ2)(x0+3y0). 因为λ≠±1,所以x0+3y0=3,即点Q总在定直线x+3y-3=0上.
反思:本题包含的未知数和方程个数较多,列出变量关系对我们来说不是难事,但要顺利消去未知数,得到只含x ,y 的一个式子,并非易事,这就要求我们心中有清晰的思路,同时找出式子的结构特点,有条不紊地达到消参减元的目的.
四、数列问题中的“消元”
例5 对于数列A:a1,a2,…,an,若满足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),则称数列A为“0-1数列”.定义变换T,T将“0-1数列”A中原有的每个0都变成1,0,原有的每个1都变成0,1. 例如A:1,0,1,则T(A):0,1,1,0,0,1. 设A0为0,1,令Ak=T(A ),k=1,2, 3,…. 记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk,k=1,2,3,…. 求lk关于k的表达式.
破解 要数Ak中“00”数对个数,依据变换T的定义,“00”数对只能是由数列A 中的“01”数对变换而来的,所以引入“中间变元”:数列Ak中“01”的个数,记为bk. 通过bk的牵线搭桥找出lk与bk之间的关系,然后消去变元bk,从而得到lk的递推关系式.
设数列Ak中“01”的个数为bk,则A 中的“00”数对只能是由数列Ak中的“01”数对变换而来的,所以l =bk ①.
A 中的“01”数对是由数列Ak中的“00”数对或项“1”变换而来的. 由变换T的定义及A0为0,1可得,Ak中的0和1个数相等且各为2k个,所以b =lk+2k?摇 ②.
由①②消去bk得,l =b =lk+2k,即l -lk=2k.
因为A1:1,0,0,1;A2:0,1,1,0,1, 0,0,1. 所以l1=l2=1. 所以当k为奇数时,lk=(lk-l )+(l +l )+…+(l3-l1)+l1=2k-2+2k-4+…+2+1= ;当k为偶数时,lk=(lk-l )+(l +l )+…+(l4-l2)+l2=2k-2+2k-4+…+22+1= . 综上得, lk= ,k为奇数, ,k为偶数.
反思 在本题中直接寻找数列lk的递推关系式比较困难,仔细分析后发现“00”个数与“01”个数之间相互依存,相互制约. 所以引入“01”个数,通过中间变元的牵线搭桥,理清这些变量的内在联系,并把它们之间的关系列出来,然后消去新元,从而得到原问题中的变量之间的关系.
由上面几个方面的例子可以发现,多元问题可以和高中众多的知识点结合,其解决的原则是:减元消参,简中求道.
含多元的数学问题是高中数学重要题型之一,也是同学们备感头疼的棘手题型.一方面,我们面对题中复杂的数量关系,难以将其中关系全部用数学式子表达出来;另一方面,式子虽然列出来了,但面对这些高次方程组或多元不等式,束手无策,没有清晰的思路.对于这些问题,我们需要精心设计一些有利于理解的问题,自主探究,找到解决问题的办法.
一、函数问题中的“消元”
例1 (2014年高考江苏卷,14)若△ABC的内角满足sinA+ sinB=2sinC,则cosC的最小值是_________.
破解 由正弦定理得a+ b=2c,由余弦定理结合基本不等式有:cosC= = = = - ≥ - = ,当且仅当a= b时等号成立.
反思 本题共含a,b,c三个变量,由题中等式a+ b=2c,代入消元后剩下两个变量a,b;再由基本不等式,将式子化为只含ab的一元问题了.类似问题在2008年高考江苏卷中也曾出现:x,y,z∈R?鄢,x-2y+3z=0, 的最小值为________.
例2 设函数f(x)=ex-ax+a(a∈R),其图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1
(1)求a的取值范围;
(2)证明:f ′ <0(f ′(x)为函数f(x)的导函数).
破解:(1)略.
(2)因为e -ax1+a=0,e -ax2+a=0,两式相减得a= . 记 =s(s>0),则f′ =e - = [2s-(es-e-s)]. 设g(s)=2s-(es-e-s),则g′(s)=2-(es+e-s)<0,所以g(s)是单调减函数,则有g(s)
反思:本题第(2)问视 为整体,化二元为一元. 含多个变量求最值或范围的问题,若从局部出发,看成是几个不相干的变量来处理,则变量之间的关系会变得错综复杂,“剪不断理还乱”,因此,需要调整视角,把一些关于多个变量的代数式作为一个有机整体,设多变元构成的整体为“新元”,将“多元”问题改造成“一元”问题.
二、向量问题中的“消元”
例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且 + · - =0. 若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一直径, · 的最大值和最小值分别为_______.
图1
破解:由 + - =0得: 2= 2. 设P(x,y),则(x-2)2+y2= (x-8)2,化简得 + =1. 所求 · 中含有三个动点:P,E,F,动点多,变量多,就像代数问题里解三元方程组一样,应该想到“消元”. 如图1, · =( + )·( + )= 2+ ·( + )+ · = 2-1,这样,化成只含一个动点P,其中N点是定点,问题变成“一元”问题了. 设P(x,y),则x2=161- =16- y2,y∈[-2 ,2 ],所以 · = 2-1=x2+(y-1)2-1=- y2-2y+16. f(y)=- y2-2y+16=- (y+3)2+19在[-2 ,2 ]上的最大值和最小值分别为:19,12-4 .
反思:仔细分析问题的结构特征,当问题中含有多个变量时,挖掘题目中的特殊条件、结构,把其中隐含的关系显性化,运用这些关系,对多变量进行“消元”,直至化成“一元”问题,将多变量问题化为单变量问题,使得问题结构简单.
三、解析几何中的“消元”
例4 已知F1,F2分别是椭圆C1: + =1(a>b>0)的上、下焦点,其中F1也是抛物线C2:x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且MF1= .
(1)求椭圆C1的方程;
(2)已知点P(1,3)和圆O:x2+y2=b2,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点Q,满足: =-λ , =λ (λ≠0,λ≠±1),求证:点Q总在某定直线上.
破解:(1) + =1.
(2)设A(x ,y ),B(x ,y ),Q(x ,y ),则x +y =3 ①,x +y =3 ②.
由 =-λ 得(1-x1,3-y )= -λ(x2-1,y2-3),所以x1-λx2=1-λ ③,y -λy =3(1-λ) ④.
由 =λ 得(x0-x1,y0-y1)=λ(x2-x0,y2-y0),x1+λx2=(1+λ)x0 ⑤,y +λy =(1+λ)y ⑥.
7个未知数x1,y1,x2,y2,x0,y0,λ,共6个方程,消去x1,y1,x2,y2,λ等5个未知数可以得到关于x0,y0的一个二元一次方程,从而得到结论. 注意到③~⑥式为一次方程这一结构特点,具体做法是:③×⑤+④×⑥得:(x -λx )+(y -λy )=(1-λ2)x0+3(1-λ2)y0,3(1-λ2)=(1-λ2)(x0+3y0). 因为λ≠±1,所以x0+3y0=3,即点Q总在定直线x+3y-3=0上.
反思:本题包含的未知数和方程个数较多,列出变量关系对我们来说不是难事,但要顺利消去未知数,得到只含x ,y 的一个式子,并非易事,这就要求我们心中有清晰的思路,同时找出式子的结构特点,有条不紊地达到消参减元的目的.
四、数列问题中的“消元”
例5 对于数列A:a1,a2,…,an,若满足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),则称数列A为“0-1数列”.定义变换T,T将“0-1数列”A中原有的每个0都变成1,0,原有的每个1都变成0,1. 例如A:1,0,1,则T(A):0,1,1,0,0,1. 设A0为0,1,令Ak=T(A ),k=1,2, 3,…. 记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk,k=1,2,3,…. 求lk关于k的表达式.
破解 要数Ak中“00”数对个数,依据变换T的定义,“00”数对只能是由数列A 中的“01”数对变换而来的,所以引入“中间变元”:数列Ak中“01”的个数,记为bk. 通过bk的牵线搭桥找出lk与bk之间的关系,然后消去变元bk,从而得到lk的递推关系式.
设数列Ak中“01”的个数为bk,则A 中的“00”数对只能是由数列Ak中的“01”数对变换而来的,所以l =bk ①.
A 中的“01”数对是由数列Ak中的“00”数对或项“1”变换而来的. 由变换T的定义及A0为0,1可得,Ak中的0和1个数相等且各为2k个,所以b =lk+2k?摇 ②.
由①②消去bk得,l =b =lk+2k,即l -lk=2k.
因为A1:1,0,0,1;A2:0,1,1,0,1, 0,0,1. 所以l1=l2=1. 所以当k为奇数时,lk=(lk-l )+(l +l )+…+(l3-l1)+l1=2k-2+2k-4+…+2+1= ;当k为偶数时,lk=(lk-l )+(l +l )+…+(l4-l2)+l2=2k-2+2k-4+…+22+1= . 综上得, lk= ,k为奇数, ,k为偶数.
反思 在本题中直接寻找数列lk的递推关系式比较困难,仔细分析后发现“00”个数与“01”个数之间相互依存,相互制约. 所以引入“01”个数,通过中间变元的牵线搭桥,理清这些变量的内在联系,并把它们之间的关系列出来,然后消去新元,从而得到原问题中的变量之间的关系.
由上面几个方面的例子可以发现,多元问题可以和高中众多的知识点结合,其解决的原则是:减元消参,简中求道.
含多元的数学问题是高中数学重要题型之一,也是同学们备感头疼的棘手题型.一方面,我们面对题中复杂的数量关系,难以将其中关系全部用数学式子表达出来;另一方面,式子虽然列出来了,但面对这些高次方程组或多元不等式,束手无策,没有清晰的思路.对于这些问题,我们需要精心设计一些有利于理解的问题,自主探究,找到解决问题的办法.
一、函数问题中的“消元”
例1 (2014年高考江苏卷,14)若△ABC的内角满足sinA+ sinB=2sinC,则cosC的最小值是_________.
破解 由正弦定理得a+ b=2c,由余弦定理结合基本不等式有:cosC= = = = - ≥ - = ,当且仅当a= b时等号成立.
反思 本题共含a,b,c三个变量,由题中等式a+ b=2c,代入消元后剩下两个变量a,b;再由基本不等式,将式子化为只含ab的一元问题了.类似问题在2008年高考江苏卷中也曾出现:x,y,z∈R?鄢,x-2y+3z=0, 的最小值为________.
例2 设函数f(x)=ex-ax+a(a∈R),其图象与x轴交于A(x1,0),B(x2,0)两点,且x1
(1)求a的取值范围;
(2)证明:f ′ <0(f ′(x)为函数f(x)的导函数).
破解:(1)略.
(2)因为e -ax1+a=0,e -ax2+a=0,两式相减得a= . 记 =s(s>0),则f′ =e - = [2s-(es-e-s)]. 设g(s)=2s-(es-e-s),则g′(s)=2-(es+e-s)<0,所以g(s)是单调减函数,则有g(s)
反思:本题第(2)问视 为整体,化二元为一元. 含多个变量求最值或范围的问题,若从局部出发,看成是几个不相干的变量来处理,则变量之间的关系会变得错综复杂,“剪不断理还乱”,因此,需要调整视角,把一些关于多个变量的代数式作为一个有机整体,设多变元构成的整体为“新元”,将“多元”问题改造成“一元”问题.
二、向量问题中的“消元”
例3 已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x=8,P为该平面上一动点,作PQ⊥l,垂足为Q,且 + · - =0. 若EF为圆N:x2+(y-1)2=1的任一直径, · 的最大值和最小值分别为_______.
图1
破解:由 + - =0得: 2= 2. 设P(x,y),则(x-2)2+y2= (x-8)2,化简得 + =1. 所求 · 中含有三个动点:P,E,F,动点多,变量多,就像代数问题里解三元方程组一样,应该想到“消元”. 如图1, · =( + )·( + )= 2+ ·( + )+ · = 2-1,这样,化成只含一个动点P,其中N点是定点,问题变成“一元”问题了. 设P(x,y),则x2=161- =16- y2,y∈[-2 ,2 ],所以 · = 2-1=x2+(y-1)2-1=- y2-2y+16. f(y)=- y2-2y+16=- (y+3)2+19在[-2 ,2 ]上的最大值和最小值分别为:19,12-4 .
反思:仔细分析问题的结构特征,当问题中含有多个变量时,挖掘题目中的特殊条件、结构,把其中隐含的关系显性化,运用这些关系,对多变量进行“消元”,直至化成“一元”问题,将多变量问题化为单变量问题,使得问题结构简单.
三、解析几何中的“消元”
例4 已知F1,F2分别是椭圆C1: + =1(a>b>0)的上、下焦点,其中F1也是抛物线C2:x2=4y的焦点,点M是C1与C2在第二象限的交点,且MF1= .
(1)求椭圆C1的方程;
(2)已知点P(1,3)和圆O:x2+y2=b2,过点P的动直线l与圆O相交于不同的两点A,B,在线段AB上取一点Q,满足: =-λ , =λ (λ≠0,λ≠±1),求证:点Q总在某定直线上.
破解:(1) + =1.
(2)设A(x ,y ),B(x ,y ),Q(x ,y ),则x +y =3 ①,x +y =3 ②.
由 =-λ 得(1-x1,3-y )= -λ(x2-1,y2-3),所以x1-λx2=1-λ ③,y -λy =3(1-λ) ④.
由 =λ 得(x0-x1,y0-y1)=λ(x2-x0,y2-y0),x1+λx2=(1+λ)x0 ⑤,y +λy =(1+λ)y ⑥.
7个未知数x1,y1,x2,y2,x0,y0,λ,共6个方程,消去x1,y1,x2,y2,λ等5个未知数可以得到关于x0,y0的一个二元一次方程,从而得到结论. 注意到③~⑥式为一次方程这一结构特点,具体做法是:③×⑤+④×⑥得:(x -λx )+(y -λy )=(1-λ2)x0+3(1-λ2)y0,3(1-λ2)=(1-λ2)(x0+3y0). 因为λ≠±1,所以x0+3y0=3,即点Q总在定直线x+3y-3=0上.
反思:本题包含的未知数和方程个数较多,列出变量关系对我们来说不是难事,但要顺利消去未知数,得到只含x ,y 的一个式子,并非易事,这就要求我们心中有清晰的思路,同时找出式子的结构特点,有条不紊地达到消参减元的目的.
四、数列问题中的“消元”
例5 对于数列A:a1,a2,…,an,若满足ai∈{0,1}(i=1,2,3,…,n),则称数列A为“0-1数列”.定义变换T,T将“0-1数列”A中原有的每个0都变成1,0,原有的每个1都变成0,1. 例如A:1,0,1,则T(A):0,1,1,0,0,1. 设A0为0,1,令Ak=T(A ),k=1,2, 3,…. 记数列Ak中连续两项都是0的数对个数为lk,k=1,2,3,…. 求lk关于k的表达式.
破解 要数Ak中“00”数对个数,依据变换T的定义,“00”数对只能是由数列A 中的“01”数对变换而来的,所以引入“中间变元”:数列Ak中“01”的个数,记为bk. 通过bk的牵线搭桥找出lk与bk之间的关系,然后消去变元bk,从而得到lk的递推关系式.
设数列Ak中“01”的个数为bk,则A 中的“00”数对只能是由数列Ak中的“01”数对变换而来的,所以l =bk ①.
A 中的“01”数对是由数列Ak中的“00”数对或项“1”变换而来的. 由变换T的定义及A0为0,1可得,Ak中的0和1个数相等且各为2k个,所以b =lk+2k?摇 ②.
由①②消去bk得,l =b =lk+2k,即l -lk=2k.
因为A1:1,0,0,1;A2:0,1,1,0,1, 0,0,1. 所以l1=l2=1. 所以当k为奇数时,lk=(lk-l )+(l +l )+…+(l3-l1)+l1=2k-2+2k-4+…+2+1= ;当k为偶数时,lk=(lk-l )+(l +l )+…+(l4-l2)+l2=2k-2+2k-4+…+22+1= . 综上得, lk= ,k为奇数, ,k为偶数.
反思 在本题中直接寻找数列lk的递推关系式比较困难,仔细分析后发现“00”个数与“01”个数之间相互依存,相互制约. 所以引入“01”个数,通过中间变元的牵线搭桥,理清这些变量的内在联系,并把它们之间的关系列出来,然后消去新元,从而得到原问题中的变量之间的关系.
由上面几个方面的例子可以发现,多元问题可以和高中众多的知识点结合,其解决的原则是:减元消参,简中求道.