函数与方程

张月晴

函数与方程是数学中两个重要的概念，它们贯穿于整个高中教学之中. 对函数与方程的复习，除了研究函数的零点、方程的根之外，还需要注意函数与方程思想在其他知识中的应用. 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题. 方程思想，是指从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解. 此外，很多时候我们还需要实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.

重点难点

重点：理解函数零点的概念、零点存在性定理；掌握函数零点和方程的实根之间的关系；掌握函数零点（方程的根）个数以及零点（方程的根）所在区间的判断方法；了解用二分法求方程近似解的过程；能灵活运用函数与方程思想解决数学问题.

难点：零点存在性定理的理解及应用；函数零点、方程的根以及两函数图象的交点横坐标三者之间的转化；如何在不同的情境中构造函数或方程来解决数学综合问题.

方法突破

1. 由函数零点的概念可知，函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实根，也是其图象与x轴交点的横坐标，它是实数. 写一个函数的零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.

2. 在确定一个函数的零点所在区间时，通常利用零点存在性定理，将问题转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反. 在运用零点存在性定理时要注意以下几点：（1）函数的图象在某区间内是不是连续不断的一条曲线；（2）该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0；（3）若函数y=f（x）的图象在闭区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，则“f（a）·f（b）<0”是“函数y=f（x）在闭区间[a，b]上有零点”的充分不必要条件；（4）若函数y=f（x）在[a，b]上单调，则f（a）·f（b）<0？圳函数y=f（x）在闭区间[a，b]上有唯一的零点.

3. 判断函数y=f（x）在某区间内的零点个数的方法主要有三种：（1）解方程f（x）=0，计算出方程实数根的个数（重根按1个计算）即为函数零点个数；（2）作出函数y=f（x）的图象，判断图象与x轴的交点个数即为函数零点个数；（3）转化为求两函数图象的交点个数问题，一般是将f（x）=0的若干项移到等式右边，构造两个基本初等函数，继而在同一直角坐标系内作出两函数图象，两函数图象的交点个数即为函数y=f（x）的零点个数.

4. 函数与方程式密切相关，函数问题可以转化为方程问题，方程问题也可以转化为函数问题. 如函数的零点问题就可以转化为方程的根来解决；求方程的根或根的近似值就是求函数的零点值或近似值.将方程根的问题转化为函数的零点问题，不仅直观展现了方程根的几何意义，重要的是可以简化运算程序，提高解决问题的效率.

5. 已知函数有零点（方程有实根）或已知函数的零点个数（方程的实根个数）求参数的取值范围是高考考查的热点和难点，其突破的方法主要有：（1）直接法，即直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；（2）分离参数法，即先将参数分离，转化为求函数值域或最值问题去解决；（4）数形结合法，即先对函数解析式变形，在同一直角坐标系中画出函数图象，然后通过数形结合求解.

6.函数与方程思想作为一种重要的基本数学思想，几乎渗透于高中数学的各大知识板块之中. 如函数与不等式之间的相互转化，不等式f（x）>0的解集等价于函数y=f（x）的位于x轴上方的图象所涉及的x的取值范围；证明不等式f（x）>0恒成立，可以转化为研究函数y=f（x）的最小值大于0等.endprint

函数与方程是数学中两个重要的概念，它们贯穿于整个高中教学之中. 对函数与方程的复习，除了研究函数的零点、方程的根之外，还需要注意函数与方程思想在其他知识中的应用. 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题. 方程思想，是指从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解. 此外，很多时候我们还需要实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.

重点难点

重点：理解函数零点的概念、零点存在性定理；掌握函数零点和方程的实根之间的关系；掌握函数零点（方程的根）个数以及零点（方程的根）所在区间的判断方法；了解用二分法求方程近似解的过程；能灵活运用函数与方程思想解决数学问题.

难点：零点存在性定理的理解及应用；函数零点、方程的根以及两函数图象的交点横坐标三者之间的转化；如何在不同的情境中构造函数或方程来解决数学综合问题.

方法突破

1. 由函数零点的概念可知，函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实根，也是其图象与x轴交点的横坐标，它是实数. 写一个函数的零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.

2. 在确定一个函数的零点所在区间时，通常利用零点存在性定理，将问题转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反. 在运用零点存在性定理时要注意以下几点：（1）函数的图象在某区间内是不是连续不断的一条曲线；（2）该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0；（3）若函数y=f（x）的图象在闭区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，则“f（a）·f（b）<0”是“函数y=f（x）在闭区间[a，b]上有零点”的充分不必要条件；（4）若函数y=f（x）在[a，b]上单调，则f（a）·f（b）<0？圳函数y=f（x）在闭区间[a，b]上有唯一的零点.

3. 判断函数y=f（x）在某区间内的零点个数的方法主要有三种：（1）解方程f（x）=0，计算出方程实数根的个数（重根按1个计算）即为函数零点个数；（2）作出函数y=f（x）的图象，判断图象与x轴的交点个数即为函数零点个数；（3）转化为求两函数图象的交点个数问题，一般是将f（x）=0的若干项移到等式右边，构造两个基本初等函数，继而在同一直角坐标系内作出两函数图象，两函数图象的交点个数即为函数y=f（x）的零点个数.

4. 函数与方程式密切相关，函数问题可以转化为方程问题，方程问题也可以转化为函数问题. 如函数的零点问题就可以转化为方程的根来解决；求方程的根或根的近似值就是求函数的零点值或近似值.将方程根的问题转化为函数的零点问题，不仅直观展现了方程根的几何意义，重要的是可以简化运算程序，提高解决问题的效率.

5. 已知函数有零点（方程有实根）或已知函数的零点个数（方程的实根个数）求参数的取值范围是高考考查的热点和难点，其突破的方法主要有：（1）直接法，即直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；（2）分离参数法，即先将参数分离，转化为求函数值域或最值问题去解决；（4）数形结合法，即先对函数解析式变形，在同一直角坐标系中画出函数图象，然后通过数形结合求解.

6.函数与方程思想作为一种重要的基本数学思想，几乎渗透于高中数学的各大知识板块之中. 如函数与不等式之间的相互转化，不等式f（x）>0的解集等价于函数y=f（x）的位于x轴上方的图象所涉及的x的取值范围；证明不等式f（x）>0恒成立，可以转化为研究函数y=f（x）的最小值大于0等.endprint

函数与方程是数学中两个重要的概念，它们贯穿于整个高中教学之中. 对函数与方程的复习，除了研究函数的零点、方程的根之外，还需要注意函数与方程思想在其他知识中的应用. 函数思想，是指用函数的概念和性质去分析问题、转化问题和解决问题. 方程思想，是指从问题的数量关系入手，运用数学语言将问题中的条件转化为数学模型（方程、不等式或方程与不等式的混合组），然后通过解方程（组）或不等式（组）来使问题获解. 此外，很多时候我们还需要实现函数与方程的互相转化、接轨，达到解决问题的目的.

重点难点

重点：理解函数零点的概念、零点存在性定理；掌握函数零点和方程的实根之间的关系；掌握函数零点（方程的根）个数以及零点（方程的根）所在区间的判断方法；了解用二分法求方程近似解的过程；能灵活运用函数与方程思想解决数学问题.

难点：零点存在性定理的理解及应用；函数零点、方程的根以及两函数图象的交点横坐标三者之间的转化；如何在不同的情境中构造函数或方程来解决数学综合问题.

方法突破

1. 由函数零点的概念可知，函数y=f（x）的零点就是方程f（x）=0的实根，也是其图象与x轴交点的横坐标，它是实数. 写一个函数的零点时，所写的一定是一个数字，而不是一个坐标.

2. 在确定一个函数的零点所在区间时，通常利用零点存在性定理，将问题转化为确定区间两端点对应的函数值的符号是否相反. 在运用零点存在性定理时要注意以下几点：（1）函数的图象在某区间内是不是连续不断的一条曲线；（2）该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于0；（3）若函数y=f（x）的图象在闭区间[a，b]上是一条连续不断的曲线，则“f（a）·f（b）<0”是“函数y=f（x）在闭区间[a，b]上有零点”的充分不必要条件；（4）若函数y=f（x）在[a，b]上单调，则f（a）·f（b）<0？圳函数y=f（x）在闭区间[a，b]上有唯一的零点.

3. 判断函数y=f（x）在某区间内的零点个数的方法主要有三种：（1）解方程f（x）=0，计算出方程实数根的个数（重根按1个计算）即为函数零点个数；（2）作出函数y=f（x）的图象，判断图象与x轴的交点个数即为函数零点个数；（3）转化为求两函数图象的交点个数问题，一般是将f（x）=0的若干项移到等式右边，构造两个基本初等函数，继而在同一直角坐标系内作出两函数图象，两函数图象的交点个数即为函数y=f（x）的零点个数.

4. 函数与方程式密切相关，函数问题可以转化为方程问题，方程问题也可以转化为函数问题. 如函数的零点问题就可以转化为方程的根来解决；求方程的根或根的近似值就是求函数的零点值或近似值.将方程根的问题转化为函数的零点问题，不仅直观展现了方程根的几何意义，重要的是可以简化运算程序，提高解决问题的效率.

5. 已知函数有零点（方程有实根）或已知函数的零点个数（方程的实根个数）求参数的取值范围是高考考查的热点和难点，其突破的方法主要有：（1）直接法，即直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的范围；（2）分离参数法，即先将参数分离，转化为求函数值域或最值问题去解决；（4）数形结合法，即先对函数解析式变形，在同一直角坐标系中画出函数图象，然后通过数形结合求解.

6.函数与方程思想作为一种重要的基本数学思想，几乎渗透于高中数学的各大知识板块之中. 如函数与不等式之间的相互转化，不等式f（x）>0的解集等价于函数y=f（x）的位于x轴上方的图象所涉及的x的取值范围；证明不等式f（x）>0恒成立，可以转化为研究函数y=f（x）的最小值大于0等.endprint