利用导数处理与不等式有关的问题

摘 要：导数是研究函数性质的一种重要工具。在处理与不等式有关的综合性问题时往往需要利用函数的性质。因此，很多时侯可以利用导数作为工具得出函数性质，从而解决不等式问题。下面具体讨论导数在解决与不等式有关的问题时的作用。

关键词：导数；不等式；问题

一、利用导数证明不等式

1.利用导数得出函数单调性来证明不等式

我们知道函数在某个区间上的导数值大于（或小于）0时，则该函数在该区间上单调递增（或递减）.因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数证明该函数的单调性，然后再用函数单调性达到证明不等式的目的.即把证明不等式转化为证明函数的单调性.具体有如下几种形式：

由本例可知用函数单调性证明不等式时，如何选择自变量来构造函数是比较重要的.

2.利用导数求出函数的最值（或值域）后，再证明不等式

导数的另一个作用是求函数的最值，因而在证明不等式时，根据不等式的特点，有时可以构造函数，用导数求出该函数的最值；由当该函数取最大（或最小）值时不等式都成立，可得该不等式恒成立，从而把证明不等式问题转化为函数求最值问题.

例3：已知函数f（x）=（a+1）lnx+ax2+1.

（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性.

（Ⅱ）设a≤-2，证明：对任意x1，x2∈（0，+∞），f（x1）-f（x2）≥4x1-x2.

【解题思路】利用导数考察函数的单调性，注意对数求导时定义域，第Ⅱ问构造函数证明函数的单调性.

二、利用导数解决不等式恒成立问题

不等式恒成立问题，一般都会涉及求参数范围，往往把变量分离后可以转化为m>f（x）（或m

参考文献：

赵大鹏.3+X高考导练：数学[M].中国致公出版社，2004-06.

作者简介：杨忠，男，1979年5月出生，本科，就职学校：辽宁省大连市金州高级中学，研究方向：数学教学.