谈高职数学习题课的类型和作用

皋古之

摘 要：数学习题课是教师根据教材内容和学生的知识程度，以讲解习题为主的基本课型，是数学教学的有机组成部分，如何备好习题课，是教师教学基本功的体现。作者试图根据数学教学实践，探讨高职数学习题课的基本类型和作用。

关键词：习题课类型 数学能力 习题编排

高职学生数学思维能力的训练主要是通过数学习题课教学完成的，所以习题课是数学课堂教学的重要组成部分。好的习题课可以为学生提供优质的数学课程信息。编制精致的高职数学习题，能激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学能力和素养是教师备课基本能力的体现。高职数学习题课的习题可归结为以下几个基本类型及作用。

一、导入型

和上课导入新课一样，为了使学生能在已学的知识的推演中，将陌生的问题转化为熟知问题而获得新知识，教师可以在习题课上编排一些具有一定导入性的习题，激发学生探究知识的兴趣。如在立体几何教学中，推证异面直线上两点间的距离公式，学生可能一时无从下手，教师可以编排如下的练习：

（1）引导观察模型，设a，b是异面直线，AA'是它们的公垂线，请画出直观图；

（2）是否有过直线b平面a平行于直线a，画出平面a；

（3）已知a，b所成的角为θ，设a，AA'所确定的平面β和a交于c（即a∩β=c），那么b，c所成的角是θ吗？

（4）证明a┴β；

（5）在直线a上取异于A'点E，在β内作EG┴c角c于F，设F是直线b上任意一点，证明△EFG是直角三角形。

（6）设A'E=m，AF=n，AA'=d，求出FG，EF。

通过这一组练习，学生可以比较容易地推出异面直线上两点之间的距离公式，且会觉得思路清晰，从而获得新的知识，掌握思考方法，培养主动探究的能力。

二、概念型

对于一些重要的新概念，在习题课上，教师要编排一些体现新概念实质的习题，通过这些习题的解答，帮助学生加深对这些概念的理解和掌握。如在复数模的教学中，学生往往会与实数的绝对值概念相混淆。为了让学生理解复数的模是实数绝对值概念的推广，教师在习题课上可安排如下的练习：

（1）设|z|=1，且Z5+Z=1，求复数Z。

通过这个练习，教师可以强调：如果a，b是实数，则

（2）设|x+i|=2，求复数在复平面的轨迹。

（3）设3<|z+2|≤5，复数z在复平面上的图形是什么？

在概念题的教学中，教师把学生面前的“陷阱”预先提示给学生，使学生运用时不至于引起混淆和错误，注重培养学生缜密思维的习惯。

三、基本型

习题课上，教师要适当地编排一些基本习题。如在三角函数教学中，对两角和与差的公式理解后，教师可安排如下一组练习。

（1）求

（2）求

（3）求

四、类比型

对于学生容易混淆的概念，或形式相似但本质不同的问题，教师在习题课上要安排具有类比型的习题，通过练习，能够揭示这些知识的不同点，寻找出解决问题的规律。

如对排列数与组合数计算，在初学时，学生容易混淆，习题课中可以编排如下的练习：从标有0，1，2，3，4，5，6，7，8的9张卡片中任取3张，用其数字组成无重复数字的三位数，有多少种取法；若6也可以当成9用，则又有多少种取法。

通过这个练习，学生容易辨别排列与组合的区别，从而加深对排列数与组合数计算规律的掌握。

五、联系型

在习题课上，教师要把学生的新旧知识进行联系，编排一些沟通新旧知识的小综合题，使学生养成综合考虑问题的习惯，从而在解题过程中，在理解新知识的同时，巩固已有的知识，扩大解题思路，培养学生的发散思维能力。如在直线方程习题课时，教师可以编排习题：

（1）设，，求的最大值。

（2）用复数z表示直线方程x+3y-2=0。

教师可以引导学生从几何图形、代数、三角函数等方面考虑。通过习题的练习，启发学生从多方面联想、探究，提高学生数形结合能力和正确的运算能力。

六、过渡型

在教科书上，例题与习题之间的梯度较大，学生难于独立完成，这时教师在习题课上需要编排一些具有“台阶”作用的习题，这种“台阶”性质的习题就是过渡型习题。如在正弦函数的单调性这部分内容中，教材中的例题和习题对于单调性的应用，一般仅限于比较两个三角函数值的大小。为使学生能更好地掌握三角函数的单调性质，教师可以编排一些求复合三角函数的单调区间的习题，也可以编排一些解三角不等式的习题作为过渡性习题。如可编排如下一些习题：

（1）求函数y=1-sinx的单调区间；

（2）解不等式：2sinx≤1；

（3）求函数（）的最小值。

教师在学生完成（1）的解答后，归纳y=?（x）的单调性和y=a+?（x）的单调性的关系；在学生完成（2）的解答后，引导学生归纳如何利用三角函数图像找出对应于的x相邻两个值，再找出满足的曲线段，最后利用周期性确定满足不等式的集合。在学生做本题时，教师可提醒注意过渡不等式，从而得到y最小值为。

七、引申型

将习题的方法和结论加以引申，可以使学生的知识和能力得到提升。因此，教师在编排习题时要有一定量的引申型习题，引导学生进行知识的迁移。如在证明等式，稍加变形，得到。若设m+1=k，再稍加变形，便得到引申题。

进一步引申，可证

和

上面两式可引申为

如果把变形成，则原命题可引申为，用此式可证明等式

。

八、综合型

在习题课上，教师编排一些综合型习题，把知识进行系统化，帮助学生形成自己的知识体系，增强学生的知识应用能力。在编排时，教师可以进行一题多解，一题多变，培养学生从多角度，分析问题的综合思考方法。从某种程度上说，综合型习题事实上是狭义也是联系型练习题。在编排综合性习题时，要注意知识的系统性。

如在讲授抛物线的习题课时，教师可编排如下习题：

（1）过抛物线y2=px（p>0）的焦点F作一条垂直于A，B轴的直线交抛物线于A，B两点，求|AB|；

（2）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求|AB|；

（3）设有一定长为的线段AB（），其两端在抛物线y2=2px上移动，求线段AB中点M到y轴的最短距离。

对于题（1），可以引导学生画出示意图，根据图形的直观分别从直线的普通方程，参数方程和抛物线的极坐标方程进行考虑，用不同的方法求得：|AB|=2p。

对于题（2），教师可以趁热打铁，引导学生结合图形和抛物线的定义，仿照题（1）的方法引导学生完成习题的解答：|AB|=4p。

至于（3），教师可让学生探讨，培养全面系统考虑问题的习惯。通过习题的解答，可以把直线的方程与抛物线的方程串联在一起，培养学生综合运用直线和二次曲线所学知识解决问题的能力和正确的运算能力。

对于以上各种类型的习题，教师在不同的习题课的备课中要合理编排，适当搭配，以逐步培养学生的数学创新的思维能力，可以培养学生的数学探究习惯和良好的自学能力，达到职业数学教学目的。

（作者单位：徐州机电工程高等职业学校）endprint

摘 要：数学习题课是教师根据教材内容和学生的知识程度，以讲解习题为主的基本课型，是数学教学的有机组成部分，如何备好习题课，是教师教学基本功的体现。作者试图根据数学教学实践，探讨高职数学习题课的基本类型和作用。

关键词：习题课类型 数学能力 习题编排

高职学生数学思维能力的训练主要是通过数学习题课教学完成的，所以习题课是数学课堂教学的重要组成部分。好的习题课可以为学生提供优质的数学课程信息。编制精致的高职数学习题，能激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学能力和素养是教师备课基本能力的体现。高职数学习题课的习题可归结为以下几个基本类型及作用。

一、导入型

和上课导入新课一样，为了使学生能在已学的知识的推演中，将陌生的问题转化为熟知问题而获得新知识，教师可以在习题课上编排一些具有一定导入性的习题，激发学生探究知识的兴趣。如在立体几何教学中，推证异面直线上两点间的距离公式，学生可能一时无从下手，教师可以编排如下的练习：

（1）引导观察模型，设a，b是异面直线，AA'是它们的公垂线，请画出直观图；

（2）是否有过直线b平面a平行于直线a，画出平面a；

（3）已知a，b所成的角为θ，设a，AA'所确定的平面β和a交于c（即a∩β=c），那么b，c所成的角是θ吗？

（4）证明a┴β；

（5）在直线a上取异于A'点E，在β内作EG┴c角c于F，设F是直线b上任意一点，证明△EFG是直角三角形。

（6）设A'E=m，AF=n，AA'=d，求出FG，EF。

通过这一组练习，学生可以比较容易地推出异面直线上两点之间的距离公式，且会觉得思路清晰，从而获得新的知识，掌握思考方法，培养主动探究的能力。

二、概念型

对于一些重要的新概念，在习题课上，教师要编排一些体现新概念实质的习题，通过这些习题的解答，帮助学生加深对这些概念的理解和掌握。如在复数模的教学中，学生往往会与实数的绝对值概念相混淆。为了让学生理解复数的模是实数绝对值概念的推广，教师在习题课上可安排如下的练习：

（1）设|z|=1，且Z5+Z=1，求复数Z。

通过这个练习，教师可以强调：如果a，b是实数，则

（2）设|x+i|=2，求复数在复平面的轨迹。

（3）设3<|z+2|≤5，复数z在复平面上的图形是什么？

在概念题的教学中，教师把学生面前的“陷阱”预先提示给学生，使学生运用时不至于引起混淆和错误，注重培养学生缜密思维的习惯。

三、基本型

习题课上，教师要适当地编排一些基本习题。如在三角函数教学中，对两角和与差的公式理解后，教师可安排如下一组练习。

（1）求

（2）求

（3）求

四、类比型

对于学生容易混淆的概念，或形式相似但本质不同的问题，教师在习题课上要安排具有类比型的习题，通过练习，能够揭示这些知识的不同点，寻找出解决问题的规律。

如对排列数与组合数计算，在初学时，学生容易混淆，习题课中可以编排如下的练习：从标有0，1，2，3，4，5，6，7，8的9张卡片中任取3张，用其数字组成无重复数字的三位数，有多少种取法；若6也可以当成9用，则又有多少种取法。

通过这个练习，学生容易辨别排列与组合的区别，从而加深对排列数与组合数计算规律的掌握。

五、联系型

在习题课上，教师要把学生的新旧知识进行联系，编排一些沟通新旧知识的小综合题，使学生养成综合考虑问题的习惯，从而在解题过程中，在理解新知识的同时，巩固已有的知识，扩大解题思路，培养学生的发散思维能力。如在直线方程习题课时，教师可以编排习题：

（1）设，，求的最大值。

（2）用复数z表示直线方程x+3y-2=0。

教师可以引导学生从几何图形、代数、三角函数等方面考虑。通过习题的练习，启发学生从多方面联想、探究，提高学生数形结合能力和正确的运算能力。

六、过渡型

在教科书上，例题与习题之间的梯度较大，学生难于独立完成，这时教师在习题课上需要编排一些具有“台阶”作用的习题，这种“台阶”性质的习题就是过渡型习题。如在正弦函数的单调性这部分内容中，教材中的例题和习题对于单调性的应用，一般仅限于比较两个三角函数值的大小。为使学生能更好地掌握三角函数的单调性质，教师可以编排一些求复合三角函数的单调区间的习题，也可以编排一些解三角不等式的习题作为过渡性习题。如可编排如下一些习题：

（1）求函数y=1-sinx的单调区间；

（2）解不等式：2sinx≤1；

（3）求函数（）的最小值。

教师在学生完成（1）的解答后，归纳y=?（x）的单调性和y=a+?（x）的单调性的关系；在学生完成（2）的解答后，引导学生归纳如何利用三角函数图像找出对应于的x相邻两个值，再找出满足的曲线段，最后利用周期性确定满足不等式的集合。在学生做本题时，教师可提醒注意过渡不等式，从而得到y最小值为。

七、引申型

将习题的方法和结论加以引申，可以使学生的知识和能力得到提升。因此，教师在编排习题时要有一定量的引申型习题，引导学生进行知识的迁移。如在证明等式，稍加变形，得到。若设m+1=k，再稍加变形，便得到引申题。

进一步引申，可证

和

上面两式可引申为

如果把变形成，则原命题可引申为，用此式可证明等式

。

八、综合型

在习题课上，教师编排一些综合型习题，把知识进行系统化，帮助学生形成自己的知识体系，增强学生的知识应用能力。在编排时，教师可以进行一题多解，一题多变，培养学生从多角度，分析问题的综合思考方法。从某种程度上说，综合型习题事实上是狭义也是联系型练习题。在编排综合性习题时，要注意知识的系统性。

如在讲授抛物线的习题课时，教师可编排如下习题：

（1）过抛物线y2=px（p>0）的焦点F作一条垂直于A，B轴的直线交抛物线于A，B两点，求|AB|；

（2）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求|AB|；

（3）设有一定长为的线段AB（），其两端在抛物线y2=2px上移动，求线段AB中点M到y轴的最短距离。

对于题（1），可以引导学生画出示意图，根据图形的直观分别从直线的普通方程，参数方程和抛物线的极坐标方程进行考虑，用不同的方法求得：|AB|=2p。

对于题（2），教师可以趁热打铁，引导学生结合图形和抛物线的定义，仿照题（1）的方法引导学生完成习题的解答：|AB|=4p。

至于（3），教师可让学生探讨，培养全面系统考虑问题的习惯。通过习题的解答，可以把直线的方程与抛物线的方程串联在一起，培养学生综合运用直线和二次曲线所学知识解决问题的能力和正确的运算能力。

对于以上各种类型的习题，教师在不同的习题课的备课中要合理编排，适当搭配，以逐步培养学生的数学创新的思维能力，可以培养学生的数学探究习惯和良好的自学能力，达到职业数学教学目的。

（作者单位：徐州机电工程高等职业学校）endprint

摘 要：数学习题课是教师根据教材内容和学生的知识程度，以讲解习题为主的基本课型，是数学教学的有机组成部分，如何备好习题课，是教师教学基本功的体现。作者试图根据数学教学实践，探讨高职数学习题课的基本类型和作用。

关键词：习题课类型 数学能力 习题编排

高职学生数学思维能力的训练主要是通过数学习题课教学完成的，所以习题课是数学课堂教学的重要组成部分。好的习题课可以为学生提供优质的数学课程信息。编制精致的高职数学习题，能激发学生学习数学的兴趣，提高学生的数学能力和素养是教师备课基本能力的体现。高职数学习题课的习题可归结为以下几个基本类型及作用。

一、导入型

和上课导入新课一样，为了使学生能在已学的知识的推演中，将陌生的问题转化为熟知问题而获得新知识，教师可以在习题课上编排一些具有一定导入性的习题，激发学生探究知识的兴趣。如在立体几何教学中，推证异面直线上两点间的距离公式，学生可能一时无从下手，教师可以编排如下的练习：

（1）引导观察模型，设a，b是异面直线，AA'是它们的公垂线，请画出直观图；

（2）是否有过直线b平面a平行于直线a，画出平面a；

（3）已知a，b所成的角为θ，设a，AA'所确定的平面β和a交于c（即a∩β=c），那么b，c所成的角是θ吗？

（4）证明a┴β；

（5）在直线a上取异于A'点E，在β内作EG┴c角c于F，设F是直线b上任意一点，证明△EFG是直角三角形。

（6）设A'E=m，AF=n，AA'=d，求出FG，EF。

通过这一组练习，学生可以比较容易地推出异面直线上两点之间的距离公式，且会觉得思路清晰，从而获得新的知识，掌握思考方法，培养主动探究的能力。

二、概念型

对于一些重要的新概念，在习题课上，教师要编排一些体现新概念实质的习题，通过这些习题的解答，帮助学生加深对这些概念的理解和掌握。如在复数模的教学中，学生往往会与实数的绝对值概念相混淆。为了让学生理解复数的模是实数绝对值概念的推广，教师在习题课上可安排如下的练习：

（1）设|z|=1，且Z5+Z=1，求复数Z。

通过这个练习，教师可以强调：如果a，b是实数，则

（2）设|x+i|=2，求复数在复平面的轨迹。

（3）设3<|z+2|≤5，复数z在复平面上的图形是什么？

在概念题的教学中，教师把学生面前的“陷阱”预先提示给学生，使学生运用时不至于引起混淆和错误，注重培养学生缜密思维的习惯。

三、基本型

习题课上，教师要适当地编排一些基本习题。如在三角函数教学中，对两角和与差的公式理解后，教师可安排如下一组练习。

（1）求

（2）求

（3）求

四、类比型

对于学生容易混淆的概念，或形式相似但本质不同的问题，教师在习题课上要安排具有类比型的习题，通过练习，能够揭示这些知识的不同点，寻找出解决问题的规律。

如对排列数与组合数计算，在初学时，学生容易混淆，习题课中可以编排如下的练习：从标有0，1，2，3，4，5，6，7，8的9张卡片中任取3张，用其数字组成无重复数字的三位数，有多少种取法；若6也可以当成9用，则又有多少种取法。

通过这个练习，学生容易辨别排列与组合的区别，从而加深对排列数与组合数计算规律的掌握。

五、联系型

在习题课上，教师要把学生的新旧知识进行联系，编排一些沟通新旧知识的小综合题，使学生养成综合考虑问题的习惯，从而在解题过程中，在理解新知识的同时，巩固已有的知识，扩大解题思路，培养学生的发散思维能力。如在直线方程习题课时，教师可以编排习题：

（1）设，，求的最大值。

（2）用复数z表示直线方程x+3y-2=0。

教师可以引导学生从几何图形、代数、三角函数等方面考虑。通过习题的练习，启发学生从多方面联想、探究，提高学生数形结合能力和正确的运算能力。

六、过渡型

在教科书上，例题与习题之间的梯度较大，学生难于独立完成，这时教师在习题课上需要编排一些具有“台阶”作用的习题，这种“台阶”性质的习题就是过渡型习题。如在正弦函数的单调性这部分内容中，教材中的例题和习题对于单调性的应用，一般仅限于比较两个三角函数值的大小。为使学生能更好地掌握三角函数的单调性质，教师可以编排一些求复合三角函数的单调区间的习题，也可以编排一些解三角不等式的习题作为过渡性习题。如可编排如下一些习题：

（1）求函数y=1-sinx的单调区间；

（2）解不等式：2sinx≤1；

（3）求函数（）的最小值。

教师在学生完成（1）的解答后，归纳y=?（x）的单调性和y=a+?（x）的单调性的关系；在学生完成（2）的解答后，引导学生归纳如何利用三角函数图像找出对应于的x相邻两个值，再找出满足的曲线段，最后利用周期性确定满足不等式的集合。在学生做本题时，教师可提醒注意过渡不等式，从而得到y最小值为。

七、引申型

将习题的方法和结论加以引申，可以使学生的知识和能力得到提升。因此，教师在编排习题时要有一定量的引申型习题，引导学生进行知识的迁移。如在证明等式，稍加变形，得到。若设m+1=k，再稍加变形，便得到引申题。

进一步引申，可证

和

上面两式可引申为

如果把变形成，则原命题可引申为，用此式可证明等式

。

八、综合型

在习题课上，教师编排一些综合型习题，把知识进行系统化，帮助学生形成自己的知识体系，增强学生的知识应用能力。在编排时，教师可以进行一题多解，一题多变，培养学生从多角度，分析问题的综合思考方法。从某种程度上说，综合型习题事实上是狭义也是联系型练习题。在编排综合性习题时，要注意知识的系统性。

如在讲授抛物线的习题课时，教师可编排如下习题：

（1）过抛物线y2=px（p>0）的焦点F作一条垂直于A，B轴的直线交抛物线于A，B两点，求|AB|；

（2）过抛物线的焦点F作倾斜角为的直线交抛物线于A，B两点，求|AB|；

（3）设有一定长为的线段AB（），其两端在抛物线y2=2px上移动，求线段AB中点M到y轴的最短距离。

对于题（1），可以引导学生画出示意图，根据图形的直观分别从直线的普通方程，参数方程和抛物线的极坐标方程进行考虑，用不同的方法求得：|AB|=2p。

对于题（2），教师可以趁热打铁，引导学生结合图形和抛物线的定义，仿照题（1）的方法引导学生完成习题的解答：|AB|=4p。

至于（3），教师可让学生探讨，培养全面系统考虑问题的习惯。通过习题的解答，可以把直线的方程与抛物线的方程串联在一起，培养学生综合运用直线和二次曲线所学知识解决问题的能力和正确的运算能力。

对于以上各种类型的习题，教师在不同的习题课的备课中要合理编排，适当搭配，以逐步培养学生的数学创新的思维能力，可以培养学生的数学探究习惯和良好的自学能力，达到职业数学教学目的。

（作者单位：徐州机电工程高等职业学校）endprint