基于叠加阻抗理论的弹性参数反演方法

桂金咏，高建虎，雍学善，李胜军，王万里

（中国石油勘探开发研究院 西北分院，兰州 730020）

0 引言

Goodway等［1］在Fatti近似方程的基础上，利用叠前AVO属性反演方法首先提取出纵波、横波阻抗反射率，然后采用叠后反演的方法首次反演出储层预测领域较为重要的纵、横波阻抗等弹性参数。基于这种思想，后续许多学者根据不同的Zoeppritz近似方程，采用先叠前AVO属性反演、后叠后反演的方法，反演得到了纵横波速度、阻抗、拉梅参数、剪切模量、密度等众多在储层预测中较为重要的弹性参数。但随着研究与实际应用的深入，许多学者发现由于Zoeppritz近似方程系数矩阵条件数较大，低信噪比的叠前道集会导致后续弹性参数反演结果极不稳定［2－5］。针对这一问题，Connolly等［6］提出了弹性阻抗反演理论，弹性阻抗反演基于抗噪性更好的角度部分叠加地震道集，考虑了子波随炮检距的变化、兼具叠前AVO属性反演与叠后波阻抗（A－coustic Impedance，AI）反演的优点，无需做多大改变即可采用业已成熟的叠后波阻抗反演技术，反演出包含流体信息的弹性阻抗体。更为重要的是，基于不同角度的弹性阻抗体，采用线性求解的方式即可直接反演出纵波、横波速度及密度等弹性参数，是目前应用最为广泛的弹性参数反演方法之一［2，7－11］。然而在实际应用过程中，勘探工作者逐渐意识到弹性阻抗方程是单入射角的函数，理应采用单角度叠加地震道集，而实际上由于采集及处理技术的限制，弹性阻抗反演却采用的是信噪比较高的角度部分叠加地震道集［12］。这就造成方程与地震道集间的矛盾，致使反演得到的弹性阻抗体存在一定的误差，进而影响了后续弹性参数的反演精度。针对方程与实际道集间的矛盾，作者基于叠加阻抗理论，通过推导将常规弹性阻抗方程由单角度函数改写为角度叠加范围的函数，首次引入到弹性参数反演当中，以期提高弹性参数的反演精度。

1 方法原理

1.1 叠加阻抗方程

由于利用弹性阻抗方程反演弹性参数有诸多优点，许多学者根据不同的弹性参数反演需要，基于不同的Zoeppritz近似方程推导出了多种形式的弹性阻抗方程［6，8－12］，如表1所示。

通过观察表1可知，表1中弹性阻抗方程可以总结为式（1）。

其中A、B、C分别为不同的弹性参数；A0、B0、C0分别为目的层段相应弹性参数平均值；EI0为相应的尺度标准化因子；a（θ）、b（θ）、c（θ）为随入射角度变化的函数。

由式（1）可知，弹性阻抗方程EI（θ）为单入射角θ的函数。实际上由于采集和处理技术的限制，很难准确得到单角度叠加地震道集，致使在实际应用中弹性阻抗反演只能采用信噪比更高的、某一角度范围内的角度叠加道集，即角度部分叠加道集。针对弹性阻抗方程与实际道集间的矛盾，Li等［12］对Connolly弹性阻抗方程推导所基于的Aki－Richards近似方程进行角度叠加范围的积分，通过推导将弹性阻抗方程从单角度的函数改写为角度叠加范围的函数，称作叠加阻抗方程（Stack Impedance，SI）：

其中Vp、Vs、ρ分别表示纵波速度、横波速度及密度；Vp0、Vs0、ρ0分别表示目的层段纵波速度、横波速度及密度的平均值；Φ0、Φ分别表示角度叠加范围的起始、终止角度。可以看到，SI方程同Connolly的EI＿Aki方程表达式的区别仅在于指数项的不同，EI＿Aki方程的指数项为单角度θ的函数，而SI方程的指数项为角度范围的函数，当终止角度Φ趋近于起始角度Φ0，即地震资料为单角度叠加地震道集时，SI方程即为弹性阻抗方程EI＿Aki。Li等［12］人认为SI方程比Connolly的EI＿Aki方程更加适合角度部分叠加道集，反演得到的阻抗值更接近真实值。因此按照这种推导思路，如表1中所示弹性阻抗方程经过推导均可得到相应的叠加阻抗方程（见附录），从而更加符合实际地震道集情况，反演得到的组抗体精度也会更高。

表1 不同形式的弹性阻抗方程与反演的弹性参数Tab.1 The elastic impedance equations of different forms and elastic parameters

1.2 弹性参数反演

同Connolly最初提出弹性阻抗方程一样，Li等人只是将SI作为波阻抗的扩展用于岩性以及流体的直接指示。为了充分利用叠加阻抗方程更加适合传统角度部分叠加地震道集的优势，作者经过推导，将传统弹性阻抗方程改写为叠加阻抗方程，进而引入到弹性参数反演中。通过观察（见附录），作者推导的叠加阻抗方程均可表述为：

其中A、B、C分别为不同的弹性参数；A0、B0、C0分别为目的层段相应弹性参数平均值；SI0为相应的尺度标准化因子；指数项 m（Φ0，Φ）、n（Φ0，Φ）、p（Φ0，Φ）为角度叠加范围的函数，这就是叠加阻抗方程与传统弹性阻抗方程（见式（1））最大的不同之处。

基于叠加阻抗方程，采用传统的叠后波阻抗反演技术，即可得到叠加阻抗数据体。则对于角度叠加范围为Φ0～Φ的同一叠加阻抗数据体，各采样点t（t＝1，2，…，n）处的指数项 m（Φ0，Φ）、n（Φ0，Φ）、p（Φ0，Φ）相同，对式（3）两边取对数可得式（4）。

根据式（4），通过线性回归方式得到同一叠加角度范围下各采样点的指数项：m（Φ0，Φ）、n（Φ0，Φ）、p（Φ0，Φ）。则对于角度叠加范围分别为Φ0－Φ1、Φ2－Φ3、Φ4－Φ5的三个叠加阻抗体则有9个常指数，带入到式（3）中可得到式（5）。

利用叠加阻抗井旁道反演结果，结合相关测井曲线解方程组（5），可以得到弹性参数A、B、C。结合附录中推导的各种形式的叠加阻抗方程，可实现纵波、横波速度及阻抗、密度、拉梅参数、剪切模量、流体项、泊松比等弹性参数的反演。

图1 基于叠加阻抗理论的弹性参数反演流程technological inversion process of elastic parameter based on the theory of Stack impedance

1.3 实施流程

基于叠加阻抗理论的弹性参数反演流程（图1），主要有以下五个关键步骤：

（1）地震资料处理。主要是对地震资料进行保幅叠前时间偏移，然后抽取角度部分叠加地震道集，一般需要近、中、远三个不同角度部分叠加道集数据体。

（2）测井资料处理。主要是对测井曲线进行基线校正、环境校正、横向标准化等处理，利用纵波、横波速度测井曲线根据叠加阻抗方程，计算出井旁道叠加阻抗曲线，结合层位、钻井等地质信息进行低频模型的构建。

（3）角度子波提取与合成记录标定。对每个角度道集分别提取不同的角度子波，然后用提取的子波做合成记录标定，标定后再提子波，如此反复直到合成记录与地震记录吻合较好。

（4）叠加阻抗数据体反演。基于测井约束反演的思想对各角度部分叠加地震道集进行反演，得到相应的三个叠加阻抗数据体。

（5）弹性参数数据体反演。基于上述步骤得到的三个叠加阻抗数据体，求解方程组（5），可得到各道任意采样点处的弹性参数。

2 效果分析

2.1 近似精度分析

以EI＿Shuey弹性阻抗方程及其叠加阻抗方程SI＿Shuey（见附录式（x））为例，进一步论证叠加阻抗方程较弹性阻抗方程更加符合角度部分叠加道集。如图2所示为三类AVO模型，由上到下依次是第三类、第二类、第一类AVO砂泥岩模型。采用5°到35°的合成角度道，进行叠加得到角度部分叠加道记录，如3（a）、（b）中黑色波动线所示。分别利用EI＿Shuey、SI＿Shuey方程计算模型的反射系数，然后与30Hz雷克子波褶积得到合成地震记录道，如图3（a）、（b）中红色波动曲线所示，其中SI＿Shuey方程角度叠加范围取5至35°，EI＿Shuey方程角度值取角度叠加范围的中间值20°。

由图3可以看到，基于SI＿Shuey方程得到的合成地震记录，比EI＿Shuey方程合成记录与角度部分叠加地震记录整体匹配得更好，尤其对于第二类含气砂岩（1 800ms左右处），两种方程差别尤为明显。这与振幅在含气砂岩与泥岩界面处相位发生了反转而EI＿Shuey方程并没有考虑到角度叠加效应有关。因此利用叠加阻抗方程替代弹性阻抗方程进行阻抗数据体反演，可以得到更加符合实际地震道集的阻抗体，这与Li等人［12］的结论一致。

2.2 稳定性分析

由矩阵理论可知，方程（5）中9个与角度有关的指数项组成的系数矩阵的条件数大小，关系到矩阵方程（5）求解的稳定性［13］。假设背景横波、纵波速度比值的平方（Vs／Vp）2取“0.25”，弹性阻抗方程近角度θ1取10°，远角度θ3从25°到45°范围内取值，中角度θ2取近角度与远角度的中间值。叠加阻抗方程的近、中、远角度取值范围为弹性阻抗方程所取角度θ±5°。分别计算表1中弹性阻抗方程及其相应叠加阻抗方程（见附录）的指数项矩阵条件数，如图4所示。可以看到：①当远角度小于35°时，叠加阻抗方程系数矩阵条件数均小于相应的弹性阻抗方程，此时利用叠加阻抗方程提取弹性参数的稳定性，要高于相应的弹性阻抗方程；②当远角度大于35°时，叠加阻抗与弹性方程的系数矩阵条件数均较小，这时两种方程稳定性相当。因此可以认为，利用叠加阻抗方程进行弹性参数反演是相对稳定的。

图2 模型纵、横波速度以及密度参数Fig.2 The model parameters of P wave velocity，S wave velocity and density

2.3 实际应用分析

图3 合成地震记录与角度部分叠加记录对比Fig.3 The contrast of the record between synthetic seismic and angle stacked seismic

图4 弹性阻抗方程与叠加阻抗方程系数矩阵条件数对比Fig.4 The contrast of the condition number of the coefficient matrix between the elastic impedance equation and stack impedance equation

不同岩石以及同一种岩石含不同流体时其弹性的性质也不一样，具体表现为弹性参数的数值大小不同。岩石物理理论及实际应用均表明，砂岩的泊松比要小于泥岩的泊松比，且砂岩含气时差异尤为明显，含气砂岩泊松比值一般不超过“0.2”［14］。因此，泊松比参数常被用来识别油气储层。将本文方法应用于某研究区，该研究区主产层为砂泥岩岩性气藏，呈高电阻率特征。岩石物理交汇分析表明，泊松比在该地区具备较好的气藏识别效果，因此我们基于三个角度部分叠加地震道集，分别利用包含泊松比项的弹性阻抗方程EI＿Shuey与叠加阻抗方程SI＿Shuey进行泊松比的反演，反演结果如图5、图6所示。该地区电阻率测井显示在剖面1.40s～1.43 s之间存在气藏（剖面中椭圆框所示为气藏，投影曲线为电阻率测井曲线）。从图5、图6中可以看到，EI＿Shuey、SI＿Shuey方程反演得到的泊松比在气藏处均呈低值，均在一定程度上指示出了气藏。但对比图5、图6可以发现，图6气藏处泊松比值在“0.2”以下，泊松比低值异常比图5中的EI＿Shuey方程反演结果更加突出且与围岩区分更加清晰，这非常有利于地质解释工作者圈定出气藏的分布，实际试气结果与岩芯取样也证实了这一点。这说明本文提出的弹性参数反演方法，比传统方法更加适合常规的角度部分叠加地震道集，反演得到的弹性参数更加准确。

3 结论

图5 EI＿Shuey方程反演得到的泊松比剖面Fig.5 The Poisson＇s ratio inverted by the equation of EI＿Shuey

图6 SI＿Shuey方程反演得到的泊松比剖面Fig.6 The Poisson＇s ratio inverted by the equation of SI＿Shuey

弹性参数在储层预测中具有极其重要的作用，其精度关系到储层预测的可信度。叠加阻抗方程解决了弹性阻抗反演在实际过程中所使用的角度地震道集并非单角度叠加的问题，叠加阻抗方程更加符合实际情况，得到的阻抗数据体更为精确。更为重要的是将叠加阻抗的思想引入到弹性参数的反演当中，仅需将常见弹性阻抗方程改写为叠加阻抗的形式、按照原有的弹性参数反演流程，即可更加稳定、精确地反演出纵横波速度、纵横波阻抗、拉梅参数、剪切模量、泊松比等多种在储层预测中较为重要的弹性参数。理论分析以及实际资料应用均表明，该方法具有较好的应用效果及应用前景。

附录

当角度叠加范围为Φ0－Φ时，对R（θ）进行角度积分：

记SI为叠加阻抗，叠加阻抗同弹性阻抗一样，是声波阻抗的推广，反射系数可以用阻抗的对数值表示［6，12］：

将上式带入到式（i）中得到：

利用对数运算法则得到：

对上式取积分：

与弹性阻抗方程类似，利用方程（v）计算得到的阻抗值，会随着角度叠加范围的变化而发生量纲尺度的变化，引入三个标准化常数A0、B0、C0，分别由目的层段相应弹性参数取平均值得到，采用Whitecomb的标准化方法得到［15］：

上式即为叠加阻抗方程的最终推导形式，其中SI0为与A0、B0、C0有关的标准化系数，其取值同EI0。式（vi）即为叠加阻抗方程的一般表达式，当终止角度Φ趋近于起始角度Φ0时，式（vi）即变为传统的弹性阻抗方程。

按照这种推导过程，弹性阻抗方程EI＿Fatti可以改写为包含纵波、横波阻抗、密度Ip、Is、ρ的叠加阻抗方程：

弹性阻抗方程EI＿Gray可以改写为包含拉梅参数λ、剪切模量μ、密度ρ的叠加阻抗方程：

弹性阻抗方程EI＿Russell可以改写为包含Gassmann流体项f、剪切模量μ、密度ρ的叠加阻抗方程：

弹性阻抗方程EI＿Shuey可以改写为包含泊松比σ、纵波速Vp、密度ρ的叠加阻抗方程：

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