三角代数上导子的两个结论

李 霞，孙成侠，马 晶

（吉林大学 数学学院，长春130012）

设R是有单位元的交换环，A，B都是R上的酉代数，M是一个非零（A，B）－酉双模，则形式矩阵的集合

如果对任意的x，y∈A都有d（xy）＝d（x）y＋xd（y），则R－代数A 的R－线性映射d：A→A称为A的导子.记［y，x］＝yx－xy.若特征非2的素环R上有非零导子d满足［d（x），d（y）］＝0，∀x，y∈R，则R是交换的［5］.本文基于文献［5］讨论三角代数T满足广义恒等式［D（X），D（Y）］＝0导子的结构.则T称为三角代数［1－4］.本文记若环R的映射f在其子集S 上满足［f（x），f（y）］＝［x，y］，∀x，y∈S，则称f在S 上是强保交换的［6］.若素环R的导子在其非零右理想上是强保交换的，则R是交换的［6］.若素环R的导子在其非零右理想U 上是强保交换的，则U⊆Z（R）（Z（R）是R的中心）［7］.设Γ＝Tri（A，M，B）是三角矩阵环，Φ是Γ上的满射，齐霄霏等［8］证明了：在适当条件下，如果Φ在Γ上是强保交换的，则存在Γ到其中心Z（Γ）的映射μ及λ∈Z（Γ），使得λ2＝1Γ，并且对任意的X∈Γ有Φ（X）＝λX＋μ（X）.本文将证明三角代数T的导子都不是强保交换的.

且f满足

证明：对任意的a，c∈A，b，d∈B，x，y∈M，有

其中

设D 在T上满足［D（X），D（Y）］＝0.由式（3）可知

并且对任意的a，c∈A，b，d∈B，x，y∈M，有

式（5）中取a＝0，x＝y＝0，得

式（5）中取a＝1，x＝y＝0，得

式（7）减式（6）得udB（d）－dA（c）u＝0，c∈A，d∈B.分别取d＝1，c＝1得dA（A）u＝udB（B）＝0.取a＝aα，b＝bβ，α∈A，β∈B，得dA（A）Au＝uBdB（B）＝0，则式（4）可化简为

式（8）中取y＝0，c＝0，得

取d＝βd，β∈B，可得f（M）βdB（B）＝0.于是，式（9）中取x＝xβ，β∈B，并利用式（2）可得MdB（β）dB（d）＝0，对任意的d，β∈B 都成立.由 M 的忠实性可得dB（B）2＝0.同理，在式（8）中取y＝0，d＝0可得dA（c）f（x）＝0，c∈A，x∈M.取c＝cα，α∈A，可得dA（A）Af（x）＝0.于是在dA（c）f（x）＝0中取x＝αx，α∈A，并利用式（2）可知，对任意的a，c∈A 都有dA（c）dA（α）M＝0.又因为M 是忠实的，所以dA（A）2＝0.

反之，当dA（A）2＝0，dB（B）2＝0时，显然有［dA（A），dA（A）］＝0并且［dB（B），dB（B）］＝0.由dA（A）u＝0可知，对任意的x，y∈A 有dA（xy）u＝0，从而dA（A）Au＝0.同理，由udB（B）＝0可得uBdB（B）＝0.将dA（A）Au＝0，uBdB（B）＝0和dA（A）f（M）＝f（M）dB（B）＝0代入式（4）可知Δ＝0，从而由式（3）可知D 在T上满足［D（X），D（Y）］＝0.

证明：设D是T的导子并且在T上强保交换，则对任意的a，c∈A，b，d∈B，x，y∈M，有

设D形如式（1），则

其中Δ形如式（4）.因此

式（10）中取a＝0，x＝0，得

式（10）中取a＝1，x＝0，得

式（12）减式（11）可得：对任意的y∈M，c∈A，d∈B 都有y＝udB（d）－dA（c）u.取c＝0，d＝0可得y＝0.由y的任意性可知M＝0，这与三角代数的定义矛盾，故三角代数T的导子都不是强保交换的.

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