分类讨论思想在初中数学解题中的应用

李少洪

摘 要：数学学科非常重视对不同解题思想的运用，根据不同题目的类型与特点，采用最佳且最适合的解题方法，是数学思想运用在解题技巧中的最佳方式。这不仅有助于提高学生数学解题的效率，也有助于使学生养成定向解题记忆与扩散性灵活运用的习惯，让学生在遇到类似的数学问题时，可以及时搜索大脑中储存的类型化解题思想，从而有效地帮助学生解决所困扰的难题。就以数学分类讨论思想的思考特点与运用方式为着手点，探析在初中数学解题中学生对分类讨论思想的合理运用与解题效果，从而有效印证分类讨论思想在数学解题中的科学性与必要性。

关键词：分类讨论思想；初中数学解题中的应用；思考特点与运用方式；解题效果

分类讨论思想是一种重要的数学思想，更是一种重要的解题策略，它不仅体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，也揭示着数学对象之间的内在规律，有助于学生总结和归纳数学知识。更重要的是，在面对诸多数学问题时，科学有效、合理有序的分类讨论思想不仅有利于提高学生数学解题的能力，增加学生解题成功的概率，从而达到调动学生学习数学知识的热情与积极性的目的；也有利于提高学生的创新意识和实践能力，使学生真正认识到数学学科的无限魅力，从而在促进初中数学教学优化与升级的同时，高效推进教育改革的完美转型。

一、数学分类讨论思想的思想特点与运用方式

1.通过实际讨论，实现思想上的论证

例如，在八年级下册针对一元一次不等式的知识点考核衍生的数学问题：某公司为了扩大经营，决定购进5台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过22万元。

据上述例子总结，可以看出分类讨论思想对于实际问题进行讨论论证的特点是对学生思维谨慎性与比较性的实际锻炼。首先，学生在看到题目时，通过题目的问题提示，即“按该公司要求可以有几种购买方案？”学生可以立即在思想上判断出此题的讨论论证存在多种可能；接着，学生根据题目的要求，对问题进行假设，通过对一元一次不等式的求解，得出假设的可能性结果；最后，根据不等式的求解结果，有针对性地进行分类论证，最终得出符合公司要求的购买方案。在学生运用分类讨论思想解决该问题时，其思想上的分类结果不一定是对的，但是这个思考的步骤却是必要的。

2.通过知识点的性质，实现讨论式论证

这道题针对的是九年级下册第三章“圆”中的部分知识点。依据上面题目中的阐述，AB、CD是圆的两条弦，但是却并没有提到AB与CD在圆内的准确位置，学生在面对这道题时，首先要查觉到这个疑点，随后就自然而然地将思考方式趋向于分类讨论的方法运用上。学生的思考方向有了结果、应该采用的解题方式也有了定向，那么就可以依照上面两图中AB、CD的不同位置分别对AB与CD之间的距离进行求解。这种题目的分类讨论思想运用是有一定条件要求的，比如说AB与CD之所以存在不同位置的疑点，是因为AB、CD这两条线存在于一个圆中，而圆的性质恰巧与AB、CD的位置疑点相互联系，这就为分类讨论思想提供了适时运用的机会。

对于解不等式的问题，分类讨论思想出现在解题过程中的现象非常多，主要原因有两点：第一，不等式本身存在着不定性；第二，不等式中存在的变量较多。因此，学生在解答类似问题时，必须充分运用分类讨论的思路，不仅可以使解答过程更有目的性、更加顺畅，也可以使解题结果更加准确。如上题中，不等式中的变量为k-1，而x自身也是变量，也可以说是不等式变量中的不定变量，学生则主要根据k-1与0之间的关系进行分类讨论。当k-1=0时，变量则主要集中在k本身；当k-1>0或者k-1<0时，变量则以一个集合量的形式存在，学生就是通过对变量的不同存在形式进行分类与讨论，最终解开此题。

数学分类讨论思想是配合初中数学知识点教学的思维方式之一，既是对学生有针对性地理解数学题目中的实际考核要点与难点的锻炼，也是促进学生成功解决数学难题较为有效而方便的思考线路。同时，要注意的是，数学思想是具有很强的灵活性与连接性的，运用分类讨论思想解决了一种类型的数学难题，若遇到类似的问题时，学生可以进行灵活的思想转换；若遇到新的问题时，学生则可以链接相同的数学思想对问题进行验证，查看是否符合解题要求的同时，也提升了对数学问题的思考能力与解决能力。总的来说，分类讨论想不仅仅是一种数学思维方式，更是一种对数学的认知能力，有效地掌握这种思想的特点与应用方法，对学生综合能力的提升与数学教学的优化都是具有十分重要的意义的。

参考文献：

[1]叶锋.初中数学解题教学中分类讨论思想的作用与教学策略[J].新课程：中学，2012（05）.

[2]丁守方.例谈分类讨论思想在解初中教学题中的应用[J].新课程学习：基础教育，2010（10）.

[3]杨怀宏.分类讨论思想在初中数学中的应用[J].数学大世界：初中生适用，2010（03）.

[4]周毕军.浅谈分类讨论思想在初中数学教学中的运用[J].数理化解题研究：初中版，2013（11）.endprint

摘 要：数学学科非常重视对不同解题思想的运用，根据不同题目的类型与特点，采用最佳且最适合的解题方法，是数学思想运用在解题技巧中的最佳方式。这不仅有助于提高学生数学解题的效率，也有助于使学生养成定向解题记忆与扩散性灵活运用的习惯，让学生在遇到类似的数学问题时，可以及时搜索大脑中储存的类型化解题思想，从而有效地帮助学生解决所困扰的难题。就以数学分类讨论思想的思考特点与运用方式为着手点，探析在初中数学解题中学生对分类讨论思想的合理运用与解题效果，从而有效印证分类讨论思想在数学解题中的科学性与必要性。

关键词：分类讨论思想；初中数学解题中的应用；思考特点与运用方式；解题效果

分类讨论思想是一种重要的数学思想，更是一种重要的解题策略，它不仅体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，也揭示着数学对象之间的内在规律，有助于学生总结和归纳数学知识。更重要的是，在面对诸多数学问题时，科学有效、合理有序的分类讨论思想不仅有利于提高学生数学解题的能力，增加学生解题成功的概率，从而达到调动学生学习数学知识的热情与积极性的目的；也有利于提高学生的创新意识和实践能力，使学生真正认识到数学学科的无限魅力，从而在促进初中数学教学优化与升级的同时，高效推进教育改革的完美转型。

一、数学分类讨论思想的思想特点与运用方式

1.通过实际讨论，实现思想上的论证

例如，在八年级下册针对一元一次不等式的知识点考核衍生的数学问题：某公司为了扩大经营，决定购进5台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过22万元。

据上述例子总结，可以看出分类讨论思想对于实际问题进行讨论论证的特点是对学生思维谨慎性与比较性的实际锻炼。首先，学生在看到题目时，通过题目的问题提示，即“按该公司要求可以有几种购买方案？”学生可以立即在思想上判断出此题的讨论论证存在多种可能；接着，学生根据题目的要求，对问题进行假设，通过对一元一次不等式的求解，得出假设的可能性结果；最后，根据不等式的求解结果，有针对性地进行分类论证，最终得出符合公司要求的购买方案。在学生运用分类讨论思想解决该问题时，其思想上的分类结果不一定是对的，但是这个思考的步骤却是必要的。

2.通过知识点的性质，实现讨论式论证

这道题针对的是九年级下册第三章“圆”中的部分知识点。依据上面题目中的阐述，AB、CD是圆的两条弦，但是却并没有提到AB与CD在圆内的准确位置，学生在面对这道题时，首先要查觉到这个疑点，随后就自然而然地将思考方式趋向于分类讨论的方法运用上。学生的思考方向有了结果、应该采用的解题方式也有了定向，那么就可以依照上面两图中AB、CD的不同位置分别对AB与CD之间的距离进行求解。这种题目的分类讨论思想运用是有一定条件要求的，比如说AB与CD之所以存在不同位置的疑点，是因为AB、CD这两条线存在于一个圆中，而圆的性质恰巧与AB、CD的位置疑点相互联系，这就为分类讨论思想提供了适时运用的机会。

对于解不等式的问题，分类讨论思想出现在解题过程中的现象非常多，主要原因有两点：第一，不等式本身存在着不定性；第二，不等式中存在的变量较多。因此，学生在解答类似问题时，必须充分运用分类讨论的思路，不仅可以使解答过程更有目的性、更加顺畅，也可以使解题结果更加准确。如上题中，不等式中的变量为k-1，而x自身也是变量，也可以说是不等式变量中的不定变量，学生则主要根据k-1与0之间的关系进行分类讨论。当k-1=0时，变量则主要集中在k本身；当k-1>0或者k-1<0时，变量则以一个集合量的形式存在，学生就是通过对变量的不同存在形式进行分类与讨论，最终解开此题。

数学分类讨论思想是配合初中数学知识点教学的思维方式之一，既是对学生有针对性地理解数学题目中的实际考核要点与难点的锻炼，也是促进学生成功解决数学难题较为有效而方便的思考线路。同时，要注意的是，数学思想是具有很强的灵活性与连接性的，运用分类讨论思想解决了一种类型的数学难题，若遇到类似的问题时，学生可以进行灵活的思想转换；若遇到新的问题时，学生则可以链接相同的数学思想对问题进行验证，查看是否符合解题要求的同时，也提升了对数学问题的思考能力与解决能力。总的来说，分类讨论想不仅仅是一种数学思维方式，更是一种对数学的认知能力，有效地掌握这种思想的特点与应用方法，对学生综合能力的提升与数学教学的优化都是具有十分重要的意义的。

参考文献：

[1]叶锋.初中数学解题教学中分类讨论思想的作用与教学策略[J].新课程：中学，2012（05）.

[2]丁守方.例谈分类讨论思想在解初中教学题中的应用[J].新课程学习：基础教育，2010（10）.

[3]杨怀宏.分类讨论思想在初中数学中的应用[J].数学大世界：初中生适用，2010（03）.

[4]周毕军.浅谈分类讨论思想在初中数学教学中的运用[J].数理化解题研究：初中版，2013（11）.endprint

摘 要：数学学科非常重视对不同解题思想的运用，根据不同题目的类型与特点，采用最佳且最适合的解题方法，是数学思想运用在解题技巧中的最佳方式。这不仅有助于提高学生数学解题的效率，也有助于使学生养成定向解题记忆与扩散性灵活运用的习惯，让学生在遇到类似的数学问题时，可以及时搜索大脑中储存的类型化解题思想，从而有效地帮助学生解决所困扰的难题。就以数学分类讨论思想的思考特点与运用方式为着手点，探析在初中数学解题中学生对分类讨论思想的合理运用与解题效果，从而有效印证分类讨论思想在数学解题中的科学性与必要性。

关键词：分类讨论思想；初中数学解题中的应用；思考特点与运用方式；解题效果

分类讨论思想是一种重要的数学思想，更是一种重要的解题策略，它不仅体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法，也揭示着数学对象之间的内在规律，有助于学生总结和归纳数学知识。更重要的是，在面对诸多数学问题时，科学有效、合理有序的分类讨论思想不仅有利于提高学生数学解题的能力，增加学生解题成功的概率，从而达到调动学生学习数学知识的热情与积极性的目的；也有利于提高学生的创新意识和实践能力，使学生真正认识到数学学科的无限魅力，从而在促进初中数学教学优化与升级的同时，高效推进教育改革的完美转型。

一、数学分类讨论思想的思想特点与运用方式

1.通过实际讨论，实现思想上的论证

例如，在八年级下册针对一元一次不等式的知识点考核衍生的数学问题：某公司为了扩大经营，决定购进5台机器用于生产某种活塞。现有甲、乙两种机器供选择，其中每种机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示。经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过22万元。

据上述例子总结，可以看出分类讨论思想对于实际问题进行讨论论证的特点是对学生思维谨慎性与比较性的实际锻炼。首先，学生在看到题目时，通过题目的问题提示，即“按该公司要求可以有几种购买方案？”学生可以立即在思想上判断出此题的讨论论证存在多种可能；接着，学生根据题目的要求，对问题进行假设，通过对一元一次不等式的求解，得出假设的可能性结果；最后，根据不等式的求解结果，有针对性地进行分类论证，最终得出符合公司要求的购买方案。在学生运用分类讨论思想解决该问题时，其思想上的分类结果不一定是对的，但是这个思考的步骤却是必要的。

2.通过知识点的性质，实现讨论式论证

这道题针对的是九年级下册第三章“圆”中的部分知识点。依据上面题目中的阐述，AB、CD是圆的两条弦，但是却并没有提到AB与CD在圆内的准确位置，学生在面对这道题时，首先要查觉到这个疑点，随后就自然而然地将思考方式趋向于分类讨论的方法运用上。学生的思考方向有了结果、应该采用的解题方式也有了定向，那么就可以依照上面两图中AB、CD的不同位置分别对AB与CD之间的距离进行求解。这种题目的分类讨论思想运用是有一定条件要求的，比如说AB与CD之所以存在不同位置的疑点，是因为AB、CD这两条线存在于一个圆中，而圆的性质恰巧与AB、CD的位置疑点相互联系，这就为分类讨论思想提供了适时运用的机会。

对于解不等式的问题，分类讨论思想出现在解题过程中的现象非常多，主要原因有两点：第一，不等式本身存在着不定性；第二，不等式中存在的变量较多。因此，学生在解答类似问题时，必须充分运用分类讨论的思路，不仅可以使解答过程更有目的性、更加顺畅，也可以使解题结果更加准确。如上题中，不等式中的变量为k-1，而x自身也是变量，也可以说是不等式变量中的不定变量，学生则主要根据k-1与0之间的关系进行分类讨论。当k-1=0时，变量则主要集中在k本身；当k-1>0或者k-1<0时，变量则以一个集合量的形式存在，学生就是通过对变量的不同存在形式进行分类与讨论，最终解开此题。

数学分类讨论思想是配合初中数学知识点教学的思维方式之一，既是对学生有针对性地理解数学题目中的实际考核要点与难点的锻炼，也是促进学生成功解决数学难题较为有效而方便的思考线路。同时，要注意的是，数学思想是具有很强的灵活性与连接性的，运用分类讨论思想解决了一种类型的数学难题，若遇到类似的问题时，学生可以进行灵活的思想转换；若遇到新的问题时，学生则可以链接相同的数学思想对问题进行验证，查看是否符合解题要求的同时，也提升了对数学问题的思考能力与解决能力。总的来说，分类讨论想不仅仅是一种数学思维方式，更是一种对数学的认知能力，有效地掌握这种思想的特点与应用方法，对学生综合能力的提升与数学教学的优化都是具有十分重要的意义的。

参考文献：

[1]叶锋.初中数学解题教学中分类讨论思想的作用与教学策略[J].新课程：中学，2012（05）.

[2]丁守方.例谈分类讨论思想在解初中教学题中的应用[J].新课程学习：基础教育，2010（10）.

[3]杨怀宏.分类讨论思想在初中数学中的应用[J].数学大世界：初中生适用，2010（03）.

[4]周毕军.浅谈分类讨论思想在初中数学教学中的运用[J].数理化解题研究：初中版，2013（11）.endprint