《有理数》的教材分析与教学建议

步入初中的学生，清新活泼，朝气蓬勃，精力充沛，好奇不厌，思维敏捷.他们翻过小学那一页，进入学习的新一站，带着猎奇的欲望走进中学校门，熟悉新环境，翻阅新课本，打听新教师；他们带着跃跃欲试、暗下决心、有所作为的心情来听各科任老师的头几节课.如果发现中学数学学习内容不是他们想象的那种新奇有趣，那种适合于他们的表现欲望，获得成就感，那么，学习热情与兴趣就会极快地消失，所以，研究初中数学第一章《有理数》的教学的重要性无以复加.

1 《有理数》教学内容的重点与难点

《有理数》这一章的教学内容可以说是整个代数学基础中的基础，有理数的计算是初等数学中的基本内容，以后的整式运算、分式运算、解方程、解不等式和利用函数性质等的相关计算都以此为直接基础的.学习本章内容的直接目的除了掌握负数、有理数、相反数、绝对值等基本（也都是核心）概念的目标以外，以这些概念为基础，能熟练地进行有理数运算及其算理的来源是它的更高层次的目标.

1.1 《有理数》教学内容的重点

本章重点应该是有理数的运算.正确理解正、负数的实际意义、相反数和绝对值的概念则是建立有理数的运算法则的基础，而在运算法则中，重点又是加法运算与乘法运算.因为减法运算依赖于加法运算，除法运算、乘方运算依赖于乘法运算.减法、除法运算则可由它们分别是加法、乘法的逆运算推导出来，因而它们都可以直接转化为加法、乘法运算，这就要求教师引导学生认真研究加法、乘法运算，悉心研究学生发生有理数加法运算与乘法运算的心理机制并据此机制帮助学生建立知识的发生过程.

总体上说，与小学不同，有理数是在非负数的基础上扩充了负数而建立起来的，它的关键在于负数的引入，从而运算结果就必须首先选定数的符号，教师在帮助学生形成各运算法则时，就应该以此为重点.因为数的符号，主要是负号为学生初次接触，稍有疏忽就会在计算中出问题.针对符号，一方面教师要力争联系生活实际促进学生理解符号自身的重要性与由来的合理性，帮助学生在理解的基础上记忆；另一方面，教师教学设计时，对每一道例题都要严格地引导学生分为两步走：一定符号，二定绝对值，且其重点要放在第一步上；在一段时间内，结果是正数的要坚持写上“+”号，不要过早轻易地将其省略，由此促进学生形成凡运算必先确定符号的好习惯.

1.2 《有理数》教学内容的难点

本章的难点在于：其一，首要难点是建立负数的概念.这是进入初中的学生遇到的第一个抽象数学概念，因为，（1）对它的理解不能只依靠生活情境，这是由“负数”具有辩证的、“相对”的思想内涵决定的.由于初一学龄段正处于具体运算到形式运演的过渡期，思维方式依然以感性经验为支柱[1]（51），它们对这种辩证的相对性的数学语言表达理解困难.教师一定要多方面地联系实际且有必要鼓励学生自己举例，以加深他们的理解环节与层次，在教学中，使“负数”相对于“正数”的意义突出出来.（2）必须设法引导学生明确建立负数这一核心概念，对引入负数的合理性与目的性具有清楚的认识.通过具体的例子，如提问学生“2-3”如何计算？这就必须要联系实际意义加以解释了，为了达到可以计算的目的，就要引进一种新数——“负数”，因此，只要促使学生明确了目的，学生的学习欲望就会大增，对抽象的数学概念也就容易理解与接受.

其二，建立有理数的各种运算法则.从上述的分析中知道，有理数的基础运算法则是加法法则与乘法法则.这里要特别说明两个负有理数相乘所得到积的符号的确定——“负负得正”的由来，这构成了有理数这一章的难点中的难点.学生确实需要教师的帮助才能理解，处理这个问题的技术手段，教师可以多参考一些数学教学文献，取长补短，进行教学综合设计.总之，针对不同的学生，采用不同的情境设计，促使学生确信有理数的运算法则（特别是“负负得正”的法则），是加强对这些运算法则的理解与记忆的前提与基础.

其三，还有一些具体的、局部的难点.如异分母有理数的大小比较，在一个综合算式中同时存有小数与分数参加的混合运算，对某些应用题的语义（例如，某一领域中的专有名词）的理解从而依据题意列出正确的综合算式（这需要认知更加广阔的外在世界的经验的支持，因此，刚进初一时，教师最好是删繁就简，不要那选择些学生不熟悉的生活中问题）等.突破这些具体的难点也要引起教师教学设计时的高度重视.它需要教师依据具体的数学知识与学习发生这些知识的心理活动环节加以悉心研究.

总之，关于这种起始章节的教学设计，教师要特别注意既要保护学生学习数学的好奇心，又要促进学生对这些比较抽象的概念的准确理解，还要建立起不同于小学时的数学认知方式与思维方式，例如，初步具有“相对性”的辩证思维的萌芽与发展等，在此基础上达到建立有理数的各种运算法则.有理数的各运算法则的建立是一种可以观察的具有客观性的目标，在这一目标的建立过程中，萌生与发展学生上述（我们指出的）三项心理品质才是数学教育的更深层次的目标.要注意的是，有理数运算法则的客观性目标也可以绕过学生心理活动的“匝道”直接通过机械记忆的学习方式达成，如果是这样，有理数的教育价值丧失殆尽.

医家讲究“对症下药”，达到治病的目的就要细心诊断，通过“望、闻、问、切”探清病因，而病因绝不直接表现为它外表的症状.对学生的理解也是一样，他们知识发生，或者解决问题的疑难，从表面上看似乎是知识本身的疑难（例如，抽象性），而实质上却一定是反映在学生的某些僵化了的内在的思维品质，或者是对建立某些新的思维方式（如有理数中“相对性”的辩证思维的萌生）的不适应性方面^[2].现在，学生学习《有理数》这一章的重点与心理疑难既已探明，那么，在教学设计中，如何围绕着教学重点下功夫，如何突破教学难点，从而提高教学的有效性呢？我们想对此提出教学建议.2 《有理数》学习内容的教学建议

经过前述分析，我们发现学习负数最难建立起来的思维方式在于“相对性”的辩证思维的萌芽及其发展，虽然在生活实际中关于“相反意义的量”的现实材料俯拾即是，因而容易获得教学资源的支持，但是，依据皮亚杰的心理发展阶段性的理论，一般情况下，这种辩证思维需要到十五、六岁（大约在高二阶段）才能真正地建立起来[1]（56）.因此，对于表示具有“相反意义的量”的负数的引入，就成人而言，似乎水到渠成，但对处于初一阶段的学生来说，则是他们要攀过的一道极大的“坎”，教师应与学生心理换位，对此作到心中有数，日常的每一节课都需要贴切地从学生的心理出发，循序渐进地引领学生前进，其中，最为重要的就是设法设计好引入“负数”的教学.endprint

2.1 逐步深刻地揭示负数的本质并据此寻求其教学设计的技术性要求

有理数运算与学生在小学进行的运算所不同的是负数进入运算系统，因此，与小学生学习运算有了极大区别，其显著标志就是每一步运算都要考虑它所得结果的符号.由于心理定势的作用，学生养成了不考虑符号的习惯，因而问题常常就出在这个“负”字上.于是，学习者学好这一章的关键点就是要突破这个“负”字，它的技术性手段要从第一节课起，充分依靠具有“相反意义的量”的现实生活背景的支持这一有利条件，逐步引导学生揭示负数的本质，对学生加深理解负数概念，记忆运算法则，从而正确无误地运用它们解决问题都至关重要.

一般来说，相应于成对出现的相反意义的量，我们就在原有数（小学学过的非负数）的基础上引进了负数.而负数的基本特征是：与正数合并时，其结果是可以相互抵消.其实，代数学起始源头就是花拉子米用了（Algebra）这一专业名词，其汉文译意有“安置”、“复位”、“相消”等含义[3]（64）.由此可见，“相反意义的量”在代数学中起着怎样的重要作用了，其现实的效果就是它们相互合并可以部分抵消，特殊情况下可以完全抵消的特点.这种理解对学习者从根本上认识与建立负数的概念是非常有意义的.

相反意义的量是一对孪生兄弟，它们相斥相依，相辅相成，一方离开另一方就消失了，表达现实生活中的一种“相对量”的存在情形，并且被抽象成了严格的数学语言表达，这种精确的、一意的数学语言，概括了生活中的一切“相反意义的量”的共性特征，给学习者论述的语域和他们未来学习代数学的进展提供了良好的基础.例如，我们将收入用正数表示，则支出就相应地用负数表示，将向东的行程用正数表示，则向西的行程就相应地用负数表示，将温度计上的零上温度的读数用正数表示，则零下的温度的读数就相应地用负数表示等等.生活中的这些“相反意义的量”穷不尽、也说不完，但是，只要具有某一情境下的相反意义的量，就可以用“+”和“-”来驾驭一切，这就是数学学科抽象概念的威力.

“相反意义的量”“合并时”“相消”，其实已经揭示了有理数的加法的特性了，只是没有给出具体的加法法则，如此，启发学生从中领悟与体察，加法法则在学生的认知结构中的形成对他们来说，已经不会感到有多大的困难了，学习者从深层次中理解了“相反意义的量”“合并时”互相“抵消”，还不仅仅为有理数的加法运算打下了基础，这是扩展成“有理数域”或“有理式”的整个代数学的关键核心思想所在，其实，这就已经从根本上奠定了代数学的基础.对此，教师在关于《有理数》这一章的教学设计时，要具有全方位、宽领域、深层次的思想意识，因为，毫不夸张地说，这章内容是整个代数学的基础中的基础，而不仅仅只是有理数的运算法则的基础的这种狭义的理解.

在教学设计时，抽象数学概念的学习需要教师带领学习者仔细分析一些容易混淆的概念或同类事物，以比较归纳出它们的相同点与不同点从而利于学生深入认识与记忆，尤其重要的是，学习者的好奇心、兴趣和基于此的探究所得，对于他们理解、记忆事物的相同点或不同点的效率、有效性与持存久暂性会大相径庭、迥然有别.

学习者感兴趣或最容易记住的是那些对立事物的截然相反的性质，在学习负数时，教师可以利用这一心理特点，随时提请学习者注意正、负数的本质区别与两者之间的隔不断的关联，使这一区别与联系在学习者的大脑中不断强化，就比较容易形成辩证思维的习惯.教师在教学中应不失时机地随着教授内容的进展，及时进行对比与小结，如，两个负数的比较大小与两个正数的比较大小有什么不同；一个数加上一个正数，和是增大了还是减小了，加上一个负数呢？一个数乘以（或除以）一个正数，符号可否改变？乘以（或除以）一个负数呢？正数的相反数或倒数依然分别是正数还是负数？负数的相反数或倒数呢？

这些都是随着教学内容的进展而提出的问题，是学习者在这些具体的情境中可以理解的，它们都比较深刻地体现着“相反意义的量”的辩证思维的某些内涵，具体地体现了负数在运算中所起的作用，或相关负数问题的结论往往和我们过去在小学学习的非负数具有天壤之别.可以促使学习者进一步加深对负数本质的认识，为学习者发生辩证思维提供了跳板.从而，不仅加深了学习者在作有理数运算时，确定正、负号的自觉意识，更为重要的是，加深了对负数本质的理解，初步生成辩证地理解问题的意识.这种辩证意识非常重要，比如问：-a是负数还是正数？如果具有辩证思维意识的话，它与问题：a是负数还是正数？完全一样，无须思考就可以确定a既可以是正数也可以是负数.

2.2 遵循学习者发生有理数知识的心理机制组织教学

关于具有某种意义上的辩证思维的“负数”的引入，长期的教学实践使我们认识到，就学习者发生有理数知识的心理机制来说，处理好以下两个环节，对建立负数的概念与揭示负数的本质大有裨益.

其一，教学中要谨防脱离实际的抽象.人们为了研究事物及其发展变化的规律，常常要将某一类事物的共同本质或某一方面的共同特性合理抽象，形成科学概念.如运算中的自然数，几何中的点、线、面等.这种抽象如果能使学生理解其合理性，就可以使学生发生学习兴趣.所谓“合理”是指以联系实际，合乎具体事物的特性及其变化规律为标准的（对这个阶段的学生而言，与感觉经验一致）.《有理数》一章的负数、绝对值、有理数大小的比较法则等都是比较抽象的，当联系生活实际，教学设计力求采用深入浅出可以促进学生认识到这些概念都是合理的.否则就违反了从具体到抽象，又从抽象到具体的人的发生知识的心理机制.如果违背了学生的心理机制，学习者的学习效率与效果都是难以令人满意的.

因此，教师在设计《有理数》这一章的抽象概念教学时，必须从学生熟知的具体事物出发，举出足够多的实例，通过分析与综合促进学生对抽象概念的理解，启发学习者从具体的实例中推测出（合情推理）合乎情理的运算法则，再运用这些合乎情理的法则进行运算并对得到的结果加以检验，以验证这些合乎情理的法则是否正确.这种合乎人类知识发生心理机制的教学设计对于学习者理解抽象概念、掌握运算法则、增进学习兴趣、发展理解能力、形成深度数学经验都会产生正面影响.endprint

其二，要防止学习者不明道理的死记硬背.一方面，这一章抽象概念集中出现、密度大、层次深；另一方面，愈是抽象的概念、法则（公式或定理），就愈需要教师设法带领学生弄清其中的道理，因势利导，在理解的基础上记忆.如果教师的教学设计稍有不当，就有可能导致学生绕过理解材料的“匝道”而形成直接机械性记忆的教学过程，致使学习者死记硬背，这是非常危险的.罗梭说，“第一句叫学生记忆意义不明的话，或者第一件叫他盲从而不让他理解其意义的事物，就是使学生判断力毁灭的开始”.由此可见，先理解、后记忆的重要性是无以复加的.

对此，笔者有过非常深刻的教训.在刚入职时，由于不理解学生发生相关有理数知识的心理疑难，没有花足够的时间与气力联系实际说明有理数的运算结果需要冠之以符号的由来，在运算中出了问题就强调学生去阅读与记忆，结果有理数的四则运算尚未学完，学生对相关法则的理解就乱七八糟，导致必须回头来理清学习者的零乱的思绪，由于学生失去了发生知识的“首因效应”因势利导的作用，虽然在补救的过程中下了很大的功夫，可效果始终不如人意.这一教训，至今令我难忘，几乎成为我的教学中的一个抹不去的心结，这也是笔者学写这篇文章重要原因所在：前车之覆，后车之鉴.

其三，谨防学生把在正数中已经建立起来的概念与运算弄糊涂.一方面，认知心理学家奥苏贝尔认为，新知识的建立是学生利用自己已有的旧知识的结构性组织外在信息，将外在信息“挂靠”（奥苏贝尔用了“抛锚”一词）到学习者认知结构的相关要素上，形成数学知识的结果^[3]，造成了学习者认知结构的扩展或已有认知结构的改造；另一方面，如果进入认知结构的新知识不是“同化”，而是“顺应”所得，由于新知识与旧知识相距甚远，由心理学概念的“倒摄抑制”可知，新知识在原认知结构中具有不稳定性，特别是依靠机械记忆发生新知识时尤其如此，此时，新知识就可能与认知结构中的旧知识格格不入，新知识往往会颠覆旧知识，使新知识成了无源之水、无本之木，而旧知识也相应地失去了作用.

学习者学了有理数的运算后，往往在遇到算术（不牵涉负数）计算问题时，也要运用有理数的运算法则去思考，有时，由于新学习的有理数法则不熟而造成不必要的错误，他们学习了新知识，新知识成了干扰旧知识的因素.因而，在实际教学设计中，还是要选择合适的例子（千万不能以说教的形式，由于读者对此可以直接理解，这里不举具体的例子了）反复向学生说明，数域的扩大并不影响原数域中的运算法则、定律的施行（丹齐克名之曰“固本原则”[4]（97）），正是由于有了如此的保证，才能说明新数域的科学性与合理性.

其四，分析学生的知识现实，寻找利于有理数知识发展的教学设计途径.为了摸清学习者学习有理数的心理障碍，除了我们从心理上（理论上）分析学习者的辩证思维的萌生的机制性疑难外，具体分析学生的知识的欠缺、技能的疑难.这里不赘述了.

3 简要结语

有理数概念的引入是为了刻画生活中的一类具有相反意义的量，由于矛盾的普遍性，世界上的许多事物都具有相斥相依、相反相成的性质，这就构成了相反的意义，作为描摹外在事物数量关系的工具、语言或模型，数学必须要找到刻画具有这种事物性质的符号，这就是正号“+”与负号“-”.当学生形成具有这种“相对性”的辩证观念时，其实是一种思维方式的转变，学生对此十分困难.教师需要透彻地理解知识特性、学生发生知识的心理机制.希望本文的建议对《有理数》教学内容与学生发生这一内容的心理过程的了解有所帮助.参考文献

[1][瑞士]J·皮亚杰.发生认识论原理[M].王宪钿译.北京：商务印书馆，1981.

[2]张昆，宋乃庆.初一列方程入门教学的思考与建议[J].中学数学杂志，2014（2）：4-7.

[3]施良方.课程理论——课程的基础、原理与问题[M].北京：教育科学出版社，1996：34.

[4][美]T·丹齐克.数·科学的语言[M].苏仲湘译.北京：商务印书馆，1985.endprint