追本溯源 动中有“圆”

崔春近

圆是全方位的对称图形，美观、大方、匀称，给人以直观的美学形象，因对称和谐而备受人们的喜爱，也是培养学生审美能力的良好载体.因此，纵观近几年的中考题，命题人对圆这一方面知识的考查特别青睐，考查的方式和角度也力求新颖.例如2014淄博市中考题中的第24题，在动态变化的过程中，藏“圆”于题，通过转化分析才让“圆”浮出水面，展示出圆的精彩，出题者的命题角度可谓是新颖别致、独具匠心.下面让我们一起领略题目的风采.1 题目鉴赏分析

题目 如图1，点A与点B的坐标分别是（1，0），（5，0），点P是该直角坐标系内的一个动点.

（1）使∠APB=30°的点P有 个；

（2）若点P在y轴上，且∠APB=30°，求满足条件的点P的坐标；

（3）当点P在y轴上移动时，∠APB是否有最大值？若有，求点P的坐标，并说明此时∠APB最大的理由；若没有，也请说明理由.

题目分析 对于（1）（2）两问我们可以这样分析，过点A与点B的圆可以作无数个，当使∠APB=30°时，这样的点P就固定在了一个圆上，我们就实现了从无数个动圆中找到了我们需要的定圆这一步大的跨越，只要过点A与点B作圆O，并且使得∠AOB=60°，劣弧AB所对的圆周角就是30°.完成（1）（2）两问后，同学们能意识到：①当点P在圆上时，∠APB=30°；②当点P在圆外时，∠APB<30°；③当点P在圆内时，∠APB>30°.所以可以大略的猜想点P在线段AB上的某一点时，∠APB最大.最后根据过A、B、P三点的所有动圆中，找到使得∠APB最大的点P.

在题干和问题的设置中一直没有出现圆的“影子”，只有认真分析题目给出的已经条件，结合教材中的基本定理，才会让圆来到我们身边，真是千呼万唤始出来，犹抱琵琶半遮面.2 追本溯源

2.1 来源于教材，体现了考试的公平

人教版《义务教育课程标准实验教科书——数学》九年级上册2414是圆周角、圆周角定理及推论的内容.在圆周角定理的推导过程中，通过分类讨论（如图2），我们最终得到：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角是相等的，都等于他所对圆心角的一半.这就是我们解决这一问题的理论基础.

①当圆心O在圆周角∠ABC的一边上；

②当圆心O在圆周角∠ABC的内部；

③当圆心O在圆周角∠ABC的外部.