浅谈利用线性目标函数与非线性目标函数的几何意义求最值

胡立新

在高三数学复习线性规划的时候，我对与此节内容有关的高考试题进行了一些小结与整理，发现了一个规律：你只要找到目标函数的几何意义，计算往往是简单的。我有以下小结，供同学们参考。

一、线性目标函数的几何意义可以是在y（或x）轴上的截距的实数倍，这是课本上介绍的主要的方法。

例题1. 已知实数x、y满足约束条件x+y≥0x-y+5≥0x≤3，则z=2x+4y的最小值为（ ）

A.5 B.-6 C.10 D.-10

解析：由实数x、y满足的约束条件，作可行域如图所示：

当一组平行直线L经过图中可行域三角形ABC区域的点C时，在y轴上的截距最小，又C（3，-3），故z=2x+4y的最小值为zmin=2×3+4×（-3）=-6，答案选B。

类似习题：

习题1（08福建）设变量x，y满足约束条件x+y≥3x-y≥-12x-y≤3，则z=2x+3y的最大值为（ ）

A.6 B.7 C.8 D.23

习题2.（09陕西） 若实数x，y满足x-y+1≥0x+y≥0x≥0，则z=3x+2y的最小值是（ ）

A.0 B.2 C.3 D.9

二、分式目标函数的斜率意义（非线性）：目标函数形如z=y-bx-a，z的几何意义是：平面区域内的动点（x，y）与定点（a，b）连线的斜率。

例题2.（08福建） 若实数x，y满足x-y+1≤0x>0，则yx的取值范围是（ ）

A.（0，1） B.（0，1] C.（1，+∞） D.[1， +∞）

画个草图，很快就得可行域内的点与原点斜率范围为C

三、 目标函数形如：z=（x-a）2+（y-b）2，z的几何意义是：平面区域内的动点（x，y）与定点（a，b）的距离的平方。（非线性）

例题3.已知实数x、y满足x+y-1≤0x-y+1≥0y≥-1 ，则w=x2+y2-4x-4y+8的最大值为 。

解析：目标函数w=x2+y2-4x-4y+8=（x-2）2+（y-2）2，其含义是點（2，2）与可行域内的点的距离的平方。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图所示：

可行域为图中△ABC内部（包括边界），易求B（-2，-1），结合图形知，点（2，2）到点B的距离为其到可行域内点的最大值，wmax=（-2-2）2+（-1-2）2=25。

四、点到直线的距离型。（非线性）

例4.已知实数x、y满足2x+y≥1，求u=x2+y2+4x-2y的最小值。

解析：目标函数u=x2+y2+4x-2y=（x+2）2+（y-1）2-5，其含义是点（-2，1）与可行域内的点的最小距离的平方减5。由实数x、y所满足的不等式组作可行域如图（直线右上方）：

点（-2，1）到可行域内的点的最小距离为其到直线2x+y=1的距离，由点到直线的距离公式可求得d=|2×（-2）+1-1|5=455，故d2-5=165-5=-95

五、法向量法：因线性目标函数的法向量为（A，B），它垂直于目标函数直线的向量。当目标函数的等值线沿目标函数法向量方向平移时，目标函数值逐步增加，与可行区域最后（最先）相交的点上取最大值（最小值）；当等值线沿目标函数法向量反方向平行移动时，目标函数值逐步减少，与可行区域最后（最先）相交的点上取最小值（最大值）。

例5.点P（x， y）在以A（2， 1）、B（–1， –6）、C（–3， 2）为顶点的三角形区域（包括边界）内，求z= 4x–3y的最大值与最小值。

解：目标函数z= 4x–3y的法向量为（4，-3），目标函数的直线沿法向量的方向平移时，最先与可行域在C点上相交，最后在B点上相交（因为目标函数的等值线从左上角平移过来）。所以目标函数在点C（-3，2）上取最小值zmin=4×（-3）-4×2=-18，在点B（-1，-6）上取最大值zmax=4×（-1）-4×（-6）=14。

法向量法虽然直观、形象，它容易使人具体地认识线性规划模型的求解过程，但是，这里难点至少有二：一是必要考虑y的系数b的正负，否则容易得出反相的结论；二是要注意直线束的倾斜程度。为此，下面介绍通过向量数量积解决线性规划问题的方法，这种方法尽量避开以上两个难点，使解法更直观，更简单，更不易出错。

六、向量数量积法（线性目标函数）。把z=Ax+By看成平面内的向量OM=（A，B）与ON=（x，y）的数量积，即z=OM·ON=|OM||ON|cos=Ax+By。因为|OM|为定值，所以当且仅当|ON|cos取最大值（最小值）时，z取最大值（最小值），即当且仅当ON在OM上的射影取最大值（最小值）时，z取最大值（最小值）

注意：在OM正方向上的射影是正值，在OM负方向上的射影是负值）。这样目标函数z=Ax+By在约束条件下的最大值（最小值）问题，就转化为研究点O与可行域内的任意一点N所组成的向量ON在OM上的射影的最大值（最小值）问题。即线性规划最大值（最小值）问题就转化为一向量在另一向量上的射影的最大值（最小值）问题。

例6.若实数x，y满足x+y-2≥0

x≤4y≤5，求z=-x+y的最小值。

解：设z=-x+y是向量OM=（-1，1）与ON=（x，y）的数量积。因为|OM|=2，所以当且仅当|ON|cos取最小值时z取最小值，即当且仅当ON在OM上的射影OP取最小值时，取得最小值。如图，当点N与点B（4，-2）重合时，ON在OM负方向上的射影OP取最小值，所以最小值为zmin=-4-2=-6。

七、（线性目标函数）顶点法。目标函数的最优解肯定在可行区域的顶点上（这个命题可以证明）。因此，首先求约束表示的可行区域顶点的坐标，代入目标函数，然后从计算出来的几个函数值里面选最大（或最小）的即可。把约束条件中的每两个不等式组成一个方程组，方程组的解是两条边界线的交点。有些交点可能不属于可行区域，所以每个交点必须代入约束条件检验不等式是否成立。若不成立排除这个交点（它不属于可行区域）；若成立它是可行区域的顶点。

例7.求满足线性约束条件2x+y=≤3x+2y≤3x≥0y≥0的目标函数z=x+y的最大值和最小值。

解：先找出约束条件表示的可行区域的顶点。

2x+y=3x+2y=3，2x+y=3x=0

，2x+y=3y=0，x+2y=3x=0，x+2y=3y=0，x=0y=0的解分别为A（1，1），B（0，3），C（32，0），D（0，32），E（3，0），F（0，0）。其中B和E不满足约束条件，所以排除。可行区域是以点A，C，D，F为顶点的四边形。

ZA=1+1=2，ZC=32+0=32，ZD=0+32=32，ZF=0+0=0

所以，目标函数z=x+y在A（1，1）上取最大值zmax=1+1=2，在F（0，0）上取最小值zmin=0+0=0。