例谈坐标法解决平面向量中的求值问题

林丽虹

【摘要】平面向量的表示方法有几何法和坐标法.向量的表示不同，对运算也会产生不一样的结果.在解题中，如果能够结合题目的实际情况，机智地作出选择，选择恰当的方法，对问题的解决事半功倍.

【关键词】平面向量;坐标法;平面直角坐标系

平面向量中的最值与范围问题是一个热点，也是一个难点，这类问题的题型是根据已知条件求某个量的最值、范围，如模、夹角、系数数量积等，解决这一类问题的关键是建立求解目标的函数关系式，通过函数的值域解决问题，而平面向量兼顾“数”与“形”的双重身份，所以解决这类问题的一種基本思想就是数形结合.而坐标法作为实现平面向量几何问题代数化的一种体现，所以有必要对坐标法在向量中的应用做进一步的研究.

坐标法是通过建立直角坐标系，把几何问题转化为代数问题，使得向量的运算完全代数化的一种方法.本文主要是结合近几年的各地高考题模拟题来说明坐标法的应用.那么什么样的题目适合用坐标法呢？如题目中，已经有些元素被量化了，如有直角、 有长度、有角度等，那么是不是可以考虑选择坐标法来解决问题.

高考试卷、模拟卷等经常会有一些向量的应用的题目，特别是求值、求最值问题往往难度都比较大，但是如果能够根据条件，适当建立直角坐标系，则问题即可迎刃而解.如本文根据近两年常遇到的一些质检题、高考题，谈谈关于坐标法在解决平面向量中的最值问题的一些应用.

例1 （2013福建省质检8）在矩形ABCD中，AB=1，AD=3，P为矩形内一点，且AP=32，若AP=λAB+μAD，λ，μ∈R，则λ+3μ的最大值为（ ）.

A.32B.62

C.3+34D.6+324

分析 如图，建立平面直角坐标系，则A （0，0），

B（0，1），C（3，1），D（3，1）.

设P（x，y），则x2+y2≤34（0≤x≤3，0≤y≤1），AP=（x，y）=λ（0，1）+μ（3，0）.

∴x=3μ，

y=λ.所以λ+3μ=x+y，转化为线性规划问题，可行与域为四分之一圆

当直线z=x+y与圆x2+y2=34相切时，z最大，即0+0-z2=32，又z>0，∴z=62.选B.

例2 （2009安徽理数）给定两个长度为1的平面向量OA和OB，它们的夹角为120°，点C在以圆O为圆心的圆弧OA上变动，若OC=xOA+yOB（x，y∈R），则x+y的最大值是.

分析 以O为原点，OA所在直线为x轴，过O垂直于OA的直线为y轴，建立平面直角坐标系，则A（1，0），B-12，32，Cx-12y，32y.

因为点C在以圆O为圆心的圆弧OA上变动，所以C（cosθ，sinθ），其中0≤θ≤2π3.

所以x-12y=cosθ，

32y=sinθ，解得x=cosθ+3sinθ3，

y=23sinθ3.

所以x+y=cosθ+3sinθ=2sinθ+π6≤2，

当且仅当θ=π3时等号成立.所以x+y的最大值是2.

例3 如图，两块斜边长相等的直角三角板拼在一起，∠ACB=45°，∠DEB=60°，若AD=xAB+yAC，则x=，y=.

分析 以A为原点，建立直角坐标系，如图所示.

设AB=AC=1BC=DE=2.

∵∠DEB=60°，∴BD=62.

由∠DBF=45°，解得DF=BF=62×22=32，

D的横坐标为x=1+32，纵坐标为32.

又AD=xAB+yAC，AB=（1，0），AC=（0，1），AD=1+32，32.

所以x=1+32，y=32.

变式：（2013厦门市高一下质检第16题）已知a，b，c分别为△ABC的角A，B，C所对的边，且a=5，b=12，

c=13，点I是△ABC的内心，若AI=λ（ABAB+ACAC），则λ等于多少？

例4 （2013厦门市3月份质检第10题理科）如图，直角梯形ABCD，∠A=π2，AD=CD=1，AB=3，点P在以C为圆心，与直线BD相切的圆内，AP=αAD+βAB，则α+β的取值范围为（ ）.

A.1，32 B.（0，1）

C.1，53 D.12，53

分析 以A为原点，AB，AC所在直线分别为x轴，y轴，建立直角坐标系，

则A（0，0），B（3，0），C（1，1），D（0，1）.

直线BD的方程为x+3y-3=0，C到直线BD的距离d=1+3-310=1010.

设P（x，y），则P的轨迹方程（x-1）2+（y-1）2<110， AP=αAD+βAB，

∴（x，y）=α（0，1）+β（3，0），∴x=3β，

y=α，∴α+β=13x+y.令z=13x+y，当z=13x+y与圆相切时，z取得最值，此时13×1+1-z19+1=1010，解得z=1或53，∴选C.

变式1：已知正方形ABCD的边长为2，点P为对角线AC上一点，则（AP+BD）·（PB+PD）的最大值为.

变式2：（2012厦门市高一下质检第16题）如图，边长为1的正方形

ABCD的顶点A，D分别在x轴，y轴正半轴上移动，则OB·OC

的最大值为.

总之，在数学问题中，应该加强对数学思想方法的总结和提炼，有效地进行归纳，坚持不懈，这样才能做到有理可依，有法可循.