唤醒沉睡的数学思维

杨育红

【摘要】数学来源于生活，其中充满了大自然的奥秘和人类思辨的精妙.学习数学本应是快乐的思维过程，但许多中小学生却对数学充满了畏惧感，教材中一个接一个的公式和刻板的推理使一些学生望而却步，甚至到了“谈数色变”的程度.如何使青少年喜欢数学，使他们在谈笑中练习数学思维，学会基本的数学方法， 从而激发他们的数学学习兴趣，并为新的数学课程学习增加点兴趣，笔者通过数学益智题，來唤醒学生对数学的本位认识.

【关键词】数学教学;数学思维;逻辑

益智题不同于一般教科书中的难题，不需要更多的预备知识或运用许多公式进行冗长的计算;也不同于诸如奥林匹克一类竞赛题，只是面对少数受过专门训练的小天才，大多数学生无缘问津，而是面对普通的学生，使他们都能在诱人的题境中，动手动脑，寻求问题解答.在此过程中，接受逻辑分析和创造性思维训练，从而学会基本的数学思维方法.

例1 有趣的数学推理

一位老师让聪明的三名学生看了一下事先准备好的2顶红帽子和3顶白帽子，再把他们的眼睛蒙住，给1人戴上红帽子，2人戴上白帽子，把剩下的帽子藏起来，然后拿去蒙眼的布，让他们说出自己戴的是什么帽子，3人愣了一会儿，一个戴白帽子的最先判断自己戴的是白帽子，他是怎样判断的？

解析 这位戴白帽子的可用假设法推理.他见到了一顶红帽子和一顶白帽子，假设自己戴的是红帽子，那么他所见到的那位戴白帽子的人就见到了两顶红帽子，由于红帽子一共2顶，因此这个人易于判断自己头上戴的是白帽子，可是他愣住了，未能迅速作出判断，因此断定自己头上戴的不是红帽子，而是白帽子.

这是个有趣的推理问题，培养学生假设判断、逻辑推理能力，锻炼学生思辨能力.

例2 经典问题：百钱买百鸡

今有鸡翁一、值钱五，鸡母一、值钱三，鸡雏三、值钱一.凡百钱买百鸡，问鸡翁、母、雏各几何？（《张丘建算经》）

题意 公鸡5文钱一只，母鸡3文钱一只，小鸡1文钱3只，现在，用100文钱，买100只鸡，问：在这100只鸡中，公鸡、母鸡和小鸡各是多少只？

讲析 这是我国南北朝时期大数学家张丘建的《张丘建算经》中一道十分著名的题，书中该题的解法，被人称为“百鸡术”.

《算经》中写道：

“术曰：鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三，既得.”“答曰：鸡翁四，值钱二十;鸡母十八，值钱五十四;鸡雏七十八，值钱二十六.又答：鸡翁八，值钱四十;鸡母十一，值钱三十三;鸡雏八十一，值钱二十七.又答：鸡翁十二，值钱六十;鸡母四，值钱十二;鸡雏八十四，值钱二十八.”

上解题术，又作如下表示：

“鸡翁每增四” 4 →8 →12

“鸡母每减七” 18→11→4

“鸡雏每益三” 78→81→84

但是，第一组答案（4、18、78），以及鸡翁、鸡母、鸡雏的增减规律是如何得到的，《张丘建算经》中没做任何交代.

这里，我们用代数的方法对之进行探实，弄清“百鸡术”的来龙去脉.

首先，设鸡翁为x，鸡母为y，鸡雏为z，于是有：

x+y+z=100

5x+3y+z3=100

依条件可列两个方程，含有三个未知数，故不能找出方程组的确定解.考虑到各变量应为整数（非负数），可用尝试的方法寻解.

令x=0，方程组变为：y+z=100，3y+z3=100

解之得：y=25，z=75

碰巧了，我们第一次尝试，就得到一组特殊解：{0，25，75}.

我们的想法是在此组解基础上，进行调整变化，寻求问题解答.但变化规律是什么呢？显然应该满足：

x+y+z=0

5x+3y+z3=0

这里x，y，z还表示鸡翁、鸡母及鸡雏，值应该是整数（允许取负值，以表示增减）.

将上式变形：x+y+z=0

15x+9y+z=0

xz+yz=-1，15xz+9yz=-1

解之得：xz=43，yz=-73

又得：x/y/z=4/-7/3

这样我们就得到了《张丘建算经》中给出的“百鸡术”：

“鸡翁每增四，鸡母每减七，鸡雏每益三.”

剩下的工作，就是按此规律，对我们得到的特殊解进行增减变化了.

鸡翁

鸡母

鸡雏

0

25

75

4

18

78

8

11

81

12

4

84

在实际生活中，鸡翁、鸡母、鸡雏的变化也只能是这三种情况了.实际是数论中不定方程的特解问题，但是这个背景材料，却能引起学习者的积极思维，鼓起破解之谜的勇气.

所以，通过益智、经典问题来吸引学生，提高学生学习数学的兴趣，是有益的教学方法，实践证明是有效的.王金战老师教学生如何玩转数学，渗透了这一思想，他用通俗的语言，巧妙的思维，赢得课堂上的阵阵喝彩，在他的课堂上，人人喜欢数学，并为此付出积极努力，实现最大收获.在此，衷心希望每一个数学老师，就课程内容，多思考，挖掘内涵，编成趣味性问题，以问题吸引学生，激发其探究愿望，从而喜欢数学.

【参考文献】

[1]曹培英.新课程背景下小学数学教师本体性知识的缺失及其对策研究[J].课程·教材·教法，2006（6）：42-47.

[2]郑毓信.数学教育领域中的三个新“教条” [J].数学教育学报，2011（2）：5-9.