概率统计教学过程中如何有效地结合高等数学知识

程俊芳 楚彦军

【摘要】 高等数学和概率统计都是高等院校的重要基础课程， 这两门课的学习效果直接影响着理、工、经、管等各专业后续课程的学习.而概率统计的学习过程中， 又要频繁地用到高等数学的知识.本文结合自己多年的教学实践， 通过认真的理论思考，就随机变量及概率密度方面系统阐述了概率统计的教学过程中， 如何使学生能有效地结合所学的高等数学知识.

【关键词】概率统计; 随机变量; 概率密度函数; 分布函数

高等数学和概率统计都是高等院校理、工、经、管各专业重要的基础课程，由于在概率统计的学习过程中要频繁地用到高等数学的相关知识， 因此在我国目前几门基础数学课程的开设中， 大部分院校都是习惯于本科第一学年学习高等数学， 第一学年下学期或是第二学年上学期学习概率统计课程.我之前长期从事经管类学生的概率论与数理统计课程的教学工作， 发现经管类学生中一部分学生因为高中阶段学的文科， 数学基础一般， 更有一些同学对数学有着天生的恐惧， 再加上高等数学底子相对薄弱， 在学习概率统计过程中遇到了很大的障碍.近两年， 我开始从事高等数学课程的教学工作， 更深切感受到学生学好高等数学， 以及如何把高等数学中学到的知识灵活运用到概率统计的学习当中， 成为学生学习概率统计必须要解决的问题.

概率论与数理统计的思维方式及解题套路和高等数学是不尽相同的， 但实际本质又是相同的.本文主要想探讨一下在概率统计的教学过程中， 如何讲解能使学生把高等数学中所学内容灵活运用到概率统计的学习中.一维和多维连续型随机变量的研究是概率统计中非常重要的内容， 也是需要用到高等数学知识最多的地方.下面分别介绍一维和多维随机变量如何有效地和高等数学相结合.

一、 一维连续型随机变量及概率密度

在概率统计的各类教材中， 第一章一般都是古典概率， 这对高中阶段学习过排列组合的同学容易理解和掌握.而从第二章开始学习一维随机变量， 一维离散型随机变量还是比较容易掌握的， 从开始学习一维连续型随机变量及概率密度开始， 同学们遇到了概率统计的第一个障碍.对一维随机变量的研究，一般会给出随机变量X的概率密度函数，从而研究随机变量的其他性质，我们很容易遇到如下一类题型：

例 已知连续型随机变量X的概率密度为f（x）=Ax，0

0，其他，求：

（1）未知常数A;（2）X的分布函数F（x）.

这种题型是概率统计中最基本的一种题型，同学们在概率论中也很容易学到做这种题分别要用到概率统计中两个常用的公式：

（1）∫+∞-∞f（x）dx=1;

（2）F（x）=PX≤x=∫x-∞f（x）dx.

这类题目本身利用这两个公式，然后运用高等数学中定积分的知识即可得到解决，但是，主要的问题在于高等数学中的定积分一般会直接求∫baf（x）dx，求这个定积分只需要直接运用牛顿—莱布尼茨公式：

∫baf（x）dx=F（x）ba=F（b）-F（a），

其中F（x）为f（x）的一个原函数.然而在此类题中， 积分的积分区间似乎都不是确定的区间[a，b].如何正确地在这类题中用牛顿—莱布尼茨公式对初学的同学们来说就不是那么容易了.如何让学生灵活应用呢？下面分别进行解释.

（1）求常数A

根据公式∫+∞-∞f（x）dx=1 求密度函数中的未知常数，主要是需要让同学们理解， 虽然密度函数性质是在整个数轴（-∞，+∞）上积分一定为1，但是我们所见到的概率密度函数很多情况下都是分段函数，所以此时主要得让学生理解，要把密度函数在整个数轴上的积分根据定积分关于积分区间具有可加性， 转化为密度函数在非零区间上的积分就可以了.如上述例子中先让学生明白

∫∞-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫10f（x）dx+∫+∞1f（x）dx，

而此题目中所给f（x）仅在区间（0，1）不是零，因此整个数轴上定积分

∫∞-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫10f（x）dx+∫+∞1f（x）dx=∫10Axdx，

这样化成定积分后，学生很容易就能求出未知常数A=2.

（2）求X的分布函数F（x）

根据连续型随机变量的概率密度函数f（x）求分布函数F（x）， 是一个重点，对同学们来讲也是难点.在这里， 最需要让学生理解的问题仍然是关于积分区间的问题.由于F（x）=∫x-∞f（x）dx， 这个积分非常特殊，下限为-∞，上限为x， 正是积分区间给学生在计算分布函数F（x）时造成了很大的困扰.这里，我一般会把X的概率密度函数f（x）在数轴上先示意出来，由于f（x）在三个区间（-∞，0]，（0，1），[1，+∞）分成了三种情况，因此应该讨论积分上限x分别落在三个区间的情况.

当x∈（-∞，0]时，由于f（x）≡0，则F（x）=∫x-∞f（x）dx=0;

当x∈（0，1）时，此时要强调积分区间仍然为（-∞，x]，由于f（x）仅在区间（0，1）不为零，因此必须让学生理解（-∞，x]=（-∞，0）∪[0，x]，根据积分区间的可加性得

F（x）=∫x-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫x0f（x）dx=0+∫x02xdx=x2;

当x∈[1，+∞），（-∞，x]=（-∞，0）∪[0，1]∪（1，+∞），同样由积分区间的可加性得

F（x）=∫x-∞f（x）dx=∫0-∞f（x）dx+∫10f（x）dx+∫x1f（x）dx=0+∫102xdx+0=1.

總之，在讲解此类题中，主要是让学生明白几点，首先是F（x）=∫x-∞f（x）dx，不论上限x取什么值，但积分区间始终是（-∞，x]，但在真正计算的过程中，要根据被积函数即概率密度函数f（x）在不同子区间的表达式不同，把区间（-∞，x]根据x的取值范围，分成不同的子区间进行计算.学生只要理解此处，那么不管密度函数f（x）如何变形，分成几段，求分布函数F（x）的问题均都迎刃而解.

二、 多维随机变量

在多维随机变量的教学过程中，不免要用到二重积分的知识，如何确定积分区域，仍然是学生很难掌握的一个知识点.比如，对于二维连续型随机变量（X，Y），如果已知其联合概率密度f（x，y）=φ（x，y），（X，Y）∈D，

0，其他， 其中φ（x，y）≠0， 若求概率P（X，Y）∈G，需要运用公式P（X，Y）∈G=Gf（x，y）dxdy.

对于这个概率的计算，学生很容易错误写成

P（X，Y）∈G=Gf（x，y）dxdy=Gφ（x，y）dxdy.

这时候直接计算φ（x，y）在区域G上的二重积分就不对了，正确的做法应该是

P（X，Y）∈G=Gf（x，y）dxdy=G∩Dφ（x，y）dxdy，

然后計算φ（x，y）在区域G∩D上的二重积分就可以了，在历年的教学过程中，发现学生很难理解题目本身是计算随机变量（X，Y）落在区域G上的概率，而最后是在区域G∩D上计算二重积分.根据个人的课堂实践，要让学生明白这个问题，可以先从一维随机变量说起，比如我们前面那个例子，已知X的概率密度函数f（x）=2x，0

0，其他， 若计算概率P-0.5≤X≤0.5，由于当x∈（-0.5，0）时， 密度函数f（x）=0，因此P-0.5≤X≤0.5=∫0-0.50dx+∫0.502xdx=0.25.

如果理解了一维随机变量计算概率，对于现在的二维随机变量

P（X，Y）∈G=Gf（x，y）dxdy=G∩Dφ（x，y）dxdy+G＼D0dxdy=G∩Dφ（x，y）dxdy

也就不难理解了.

当然， 除了上述所提到的地方， 概率统计的教学过程中还有很多地方需要注重和高等数学的有效结合， 本文仅仅是希望在高等数学的教学过程中可以事先给学生介绍概率统计中可能要用到的知识， 在概率统计的教学过程中，也不能想当然地认为学生学过高等数学了，那么用到高等数学知识的时候， 学生一定理解.在概率统计教学中如何讲解能让学生灵活地运用高等数学的知识，是本文的主要目的， 也是在今后教学过程中我们需要研究的一个课题.

【参考文献】

[1]盛骤， 谢式千， 潘承毅.概率论与数理统计[M].高等教育出版社，2009.

[2]吴赣昌.概率论与数理统计[M].中国人民大学出版社，2008.

[3]沈晓婧，周介南.概率论与数理统计课程改革的创新机制[J].高等数学研究， 2011年1月，第14卷第1期，114-116.

[4]姚敏.关于大学概率统计课程教学改革的几点思考[J].吉林省教育学院学报，2011年第8期，第27卷，153-154.