例谈放缩法证明不等式

李卫东

摘 要：放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，放缩法的考查已经逐渐形成了广东高考理科数学考试的热点，它同时也是难点。放缩法它着重考查学生的观察联想能力，式子变形能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题能力，它对学生的能力要求较高。

关键词：放缩法 证明 不等式

中图分类号：G4 文献标识码：A 文章编号：1673-9795（2013）02（b）-0000-00

广东省2009-2013年连续五年高考理科数学有四年（2009年第20题（2），2011年第20题（2），2012年第19题（Ⅲ），2013年第19题（Ⅲ））考查了数列与不等式的综合应用问题，并且都在第二问考到了放缩法，由此可见放缩法的考查已经逐渐形成了广东高考理科数学考查的热点，它同时也是难点。放缩法它着重考查学生的观察联想能力，式子变形能力，逻辑思维能力，分析问题和解决问题能力，它对学生的能力要求较高。

1 放缩法简介

在一些需要利用不等式的数学问题中，我们常常要把某些项“放大”或“缩小”，“增加”某些项或“舍弃”某些项，利用不等式的传递性，用较大的项（或较小的项）来代替原来的项，使解题过程简化，达到所要求的结果，这种变化就叫放缩变化。

放缩法的基本原理是：构造数B，使得A>B，且B>C A>C。放缩法的关键是：正确、恰当地找到“中介数”B。

2 放缩法常用的技巧有

（1）放大或缩小分子或分母进行放缩。（2）舍掉或加进一些代数项放缩。（3）运用基本不等式或绝对值不等式进行放缩。（4）利用函数的性质，如单调性，有界性等进行放缩。（5）利用题目本身所给的条件或已经证明的结论进行放缩。

3 例谈放缩法的技巧应用

从上述四道广东高考理科数学试题所处的位置与试题的难易程度来看，学生要想在高考规定的时间内顺利地“攻城拔寨”，是有一定难度的。很多学生对不等式的证明，尤其是用放缩法证明不等式心存恐惧，一看题便觉得无从下手。接下来，我结合近几年相关的广东高考试题，谈谈自己在“放缩法证明不等式”教学中的一些做法，与大家交流。

3.1 放大或缩小分子或分母进行放缩

例1.（2013年广东卷/理第19题（Ⅲ））求证：112 +122 +132 +…+1n2<74。

（方法一）分析：当n≥3时，1n2<1（n-1）n =1n-1 - 1n ，

∴不等式左边<1+ 14 +（12 - 13）+…+（1n-1 - 1n）= 74 - 1n<74 ，从而得证。

（方法二）分析：当n≥2时，1n2 <1n2-1 = 1（n-1）（n+1） = 12（1n-1 - 1n+1），

∴不等式左边 < 1+ 12（11 - 13）+ 12（12 - 14）+…+12（1n-1 - 1n+1）=1+ 12 + 14 - 12（1n +1n+1）< 74 。

（方法三）分析：当n≥2时，1n2 <1n2-14 = 1（n-12）（n+12） = 1n-12 - 1n+12 ，

∴不等式左边<1+（12- 12 - 12+ 12）+（13- 12 - 13+ 12）+…+（1n- 12 - 1n+ 12）= 53 - 1n+ 12 < 53< 74 。

反思：（1）此題通过三种方法缩小分母n2实现分式放大：n2>（n-1）n；n2>（n-1）（n+1）；n2>（n-12）（n+12）。（2）对式子放缩的途径很多，但并不是任意放缩都可以证明不等式，而应该放缩得“恰如其分”，实现精细放缩，同时也需要学生有创新精神。（3）有时为了证明所需结论，并不需要每项都放缩。例如本题的三种方法，如果每项都放大，就不能达到证题的目的。至于如何放缩，哪些项不需要放缩，这就需要学生敏锐的观察能力去判断了。当然也需要学生多次尝试，才能寻找到正确的放缩途径。（4）放缩的目的是为了能够实现裂项相消求和，从而证明不等式，即裂项放缩法是探求解题思路常用的一条途径。

3.2 舍掉或加进一些代数项进行放缩

例2.（2012年广东卷/理第19题（3））已知an=3n-2n，求证：1a1 + 1a2 + 1a3 +…+ 1an < 32。

（方法一）分析：∵an=3n-2n=3n[1-（23）n]≥3n-1，∴1an≤（13）n-1，

∴不等式左边≤（13）0+（13）1+（13）2+…+（13）n-1=32 - 32（13）n <32。

（方法二）分析：当n≥3时，an=3n-2n=（1+2）n-2n=1+C1 n2+C2 n22+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n-2n>4C2 n=2n（n-1） 1an < 12n（n-1） = 12（1n-1 - 1n），

∴不等式左边<1+ 15 + 12 （12 - 13）+…+ 12（1n-1 - 1n）= 2920 - 12n <32。

反思：（1）方法一通过an舍去（23）n代数项缩小分母，实现分式的放大，放缩的目的为了构造等比数列求和。（2）方法二通过二项展开式（1+2）n=1+C1 n2+C2 n22+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n舍去代数项1+C1 n2+C3 n23+…+Cn-1 n2n-1+2n，实现缩小分母。（3）方法二与例1类似，放缩的目的是为了能够实现裂项相消求和，从而证明不等式。

3.3 运用基本不等式放缩

例3.（2011年广东卷/理第20题（2））已知b>0，且b≠2，an=nbn（2-b）2n-bn，求证：an

证明：∵b≠2，∴b2n+22n>2b2n·22n =2n+1bn，…，bn+1·2n-1+bn-1·2n+1>2b2n·22n =2n+1bn。

将以上n个式子相加，得：b2n+b2n-1·2+b2n-2·22+…+b2·22n-2+b·22n-1+22n>n2n+1bn，

∴an<[（b2n+b2n-1·2+b2n-2·22+…+b2·22n-2+b·22n-1+22n）-bn·2n]（b-2）2n+1（bn-2n）

= （b2n+b2n-1·2+b2n-2·22+…+b2·22n-2+b·22n-1+22n）（b-2）-bn·2n（b-2）2n+1（bn-2n）

= （b2n+1-bn+1·2n）+（bn·2n+1-22n+1）2n+1（bn-2n） = = bn（bn+1+2n+1）-2n（bn+1+2n+1）2n+1（bn-2n） = bn+12n+1 +1。

反思：（1）本题通过认真观察式子的结构特征，巧妙地运用基本不等式：a+b≥2ab，（a>0，b>0）进行放缩证明不等式。（2）本题放缩的目的是为了分子能合并、抵消，从而化简式子。

3.4 利用函数的性质，如单调性，有界性等进行放缩

例4.求证：12 + 13 + 14 +…+ 1n

分析：要证原不等式，转证：12 + 13 + 14 +…+ 1n <[lnn-ln（n-1）]+…+[ln2-ln1]，

转证：1n

令x=1n 构造函数f（x）=x+ln（1-x），（00，（n≥2）。由此，解题思路已经通畅。

反思：（1）本题是通过构造函数的方法，用导数法证明函数的单调性，再用函数的单调性放缩证明不等式。（2）函数的巧妙构造，需要认真观察不等式的结构特征。

3.5 利用題目本身所给的条件或已经证明的结论进行放缩

例5.（2013年广州市高三调研测试/理第21题（2））若函数f（x）对任意的实数x1，x2∈D，均有|f（x2）-f（x1）|≤|x2-x1|，则称函数f（x）是区间D上的“平缓函数”.若数列{xn}对所有的正整数n都有|xn+1-xn|≤1（2n+1）2，设yn=sinxn，求证：|yn+1-y1|<14。

证明：∵g（x）=sinx是R上的“平缓函数”，

∴|yn+1-yn|≤|xn+1-xn|≤1（2n+1）2 <14n2+4n = 14（1n - 1n+1）。

∵|yn+1-y1|=|（yn+1-yn）+（yn-yn-1）+…+（y2-y1）|≤|（yn+1-yn）|+|（yn-yn-1）|+…+|（y2-y1）|，

∴|yn+1-y1|≤14[（1n - 1n+1）+（1n-1 - 1n）+…+（1-12）]=14（1- 1n+1）<14 。

反思：本题是根据题目所给的“平缓函数”定义，绝对值不等式，以及已知条件多次放缩证明不等式，它是绝对值不等式在放缩思想指导下的综合运用。

放缩法证明不等式在历年高考数学中是永恒的话题，但它常考常新，学生却常考常怕。不等式的应用体现了一定的综合性，灵活多样性。数学的基本特点是应用的广泛性、理论的抽象性和逻辑的严谨性，而不等关系是深刻体现数学的基本特点。尽管如此，只要我们深入去探索，总有方法规律可循，总会有“拨得云开见日出”的时刻！

参考文献

[1] 王海容.放缩法证明数列不等式.中学生数理化（教与学），2011（04）.