多视角审视全方位探究

黄丽生+朱信富

题目对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+4b2-c=0，且使|2a+b|最大时，3a-4b+5c的最小值为.

本题虽是一道填空题，却别有洞天，考查了函数与方程、不等式的综合应用等知识.试题设计新颖，区分度高，学生普遍感到难以下手.因为从条件来看，它包含两部分，一个多元方程及一个绝对值问题，考生很难发现到底考的是哪一块知识.本题实质上是根据|2a+b|最大时所满足的条件，把一个三元函数一元化，这是处理多元函数的常规方法，关键是怎么找到满足的条件.可见，试题“暗藏”着一定的潜在价值，需要我们去探索发现，做一番研究.

视角一不等式法

思路1（运用向量）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得34a2+3b2-2a+b2=2c①，令m=（2a，3b），n=（1，33），由m·n2≤m2·n2，得2a+b2≤4a2+3b21+13②，即2c≥542a+b2，所以2a+bmax=85c，当且仅当m，n共线，即2a=3b时，等号成立，将2a=3b带入条件：4a2-2ab+4b2-c=0，得c=10b2，于是3a-4b+5c可转化为b的函数，即3a-4b+5c=121b-22-2≥-2，所以当b=12时，3a-4b+5c的最小值为-2，此时a=34，c=52.

点评对条件方程的变形有很多种，比如，将条件转化成34a2+3b2-2a+b2=2c，下一步该怎么走，应该有一个目标才行，要寻找|2a+b|最大值，需要建立4a2+3b2与2a+b2的不等关系，此时可以考虑使用向量中的不等式来建立，等号成立的条件，恰好是m，n共线，即2a=3b时，下面的问题就简单了.可见，抓住问题的关键，才能产生一个优美、漂亮的解法.

思路2（运用柯西不等式）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+5332b2，由柯西不等式，得

2a-b22+533b221+35≥

2a-b2+32b2=2a+b2，所以2a+bmax=85c，当且仅当2a-b23b2=53时，等号成立，此时2a=3b，下同解法1.

点评柯西不等式是人教A版选修45中的内容，运用二维柯西不等式，通常可以迅速证明不等式或建立一些不等关系.比如本题配方后，下一步怎么办？c=2a-b22+5332b2，这种平方和的形式，结构上是否可以使用柯西不等式，实现“等”与“不等”的转化？以上两种解法，异曲同工，令人赏心悦目，这种“高屋建瓴”的解题途径体现了较高的思维品质.

思路3（运用基本不等式）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+5332b2.

由基本不等式，得

2a-b22+58c≥258c2a-b2，①

5332b2+38c≥258c32b，②

①+②，得2c≥258c2a-b2+3b2≥

258c2a-b2+32b，当且仅当①、②中的等号同时成立时等号成立，即2a-b2533b2=53，化简得2a=3b时|2a+b|max=58c，下同解法1.

点评从本题解法可以看出，对条件的转化，等同于思路2，接下来利用有效增设，使用基本不等式，建立两个不等式，然后通过叠加、利用绝对值性质放缩，求出|2a+b|的最大值，同时也找到了|2a+b|达到最大时所满足的条件.解法仍然属于通法，但对不等式的应用提出了更高的要求，有利于培养学生严谨的思维，拓展其视野.

思路4（运用基本不等式）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a+b2-3b2a-b，

3b2a-b=32·2b·2a-b≤322b+2a-b22=382a+b2，

所以c≥582a+b2，当且仅当2b=2a-b，即2a=3b时等号成立，下同解法1.

点评从解法看到，对条件“4a2-2ab+4b2-c=0”的不同配方形式，导致解法的多样化.新解法的出现，根源在于对题目结构认识的提高，实际上是对思路3解法的改进，由两次使用基本不等式减少为一次使用基本不等式，大大缩短了解题的长度.

视角二减元法

思路5（对方程配方减元）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=582a+b2+382a-3b2，

所以2a+b2=85c-382a-3b2≤85c，所以2a+bmax=85c，当且仅当2a=3b时，等号成立；下同解法1.

点评从解法看出，三元最值问题的常规手段，就是“三元归一”，同样是对方程配方，但变形的方法仍然有别于前面三种解法，不仅快速求出|2a+b|的最大值，而且也找到了其达到最值时所满足的条件.正是因为条件的不同变形形式，才导致了解法的多样性，灵活性.可见，该试题立意之深，背景之妙，让人感觉不漏痕迹，唯有很强的思维洞察力，方可识破玄机.用简单的方法说明深刻的道理，才是数学之精髓.

思路6（利用判别式减元）

令m=2a+b，所以b=m-2a，带入条件4a2-2ab+4b2-c=0，

得24a2-8ma+4m2-c=0，所以Δ=-60m2+96c≥0，

所以m2≤85c，即2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.

下同解法1.

点评这是最初的基本解法，考生也最容易想到，但与前面的四种方法相比较，它只能先得到|2a+b|的最大值，然后再结合条件等式，才能发现其达到最值时所满足的条件，进而实现减元.从解法可以看到，其中少一些技巧，多一点自然，水到渠成的解题过程，常常源自思维方法上的质朴.

思路7（利用齐次式减元）

令a=bt，则4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=4t2+4t+14t2-2t+4=6t-34t2-2t+4+1，令λ=t-12，

所以4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=6t-34t2-2t+4+1=6λ4λ2+2λ+4+1=64λ+4λ+2+1≤85

当且仅当λ=t-12=1，即t=32时等号成立，此时2a=3b，下同解法1.

点评此解法精妙之处在于将已知两个条件完美地融合在一起，考虑将|2a+b|平方后，它与条件方程中的“4a2-2ab+4b2”都是齐次式，然后再利用换元法，将其转化为运用均值不等式求最值问题，这是基于代数式中各个部分和整体间的关系，重新显现代数式的结构之美，构思精巧，不仅收获了|2a+b|的最大值，而且顺利找到了其达到最大值时所满足的条件，使得解法流畅、自然，能有效地考查学生观察、联想、转化问题的能力.

思路8（直接减元）

直接令a=bt，把a=bt带入条件4a2-2ab+4b2-c=0，整理得b2=c4t2-2t+4，

所以|2a+b|=|2t+1b|=4t2+4t+1b2=6t-34t2-2t+4+1c，下同解法7.

点评对于多元函数的最值求解问题，解题的关键在于能否成功减元，本题应该预测到当|2a+b|达到最大值时，a，b，c之间某两个变元应该有一个关系，这样再结合条件方程，就可以顺利实现减元，故直接令a=bt.教师在引导学生解答问题时要注重一般思路，即通性通法.中学生应掌握的通性通法是：具有某些规律性和普遍意义的常规的解题模式和常用的数学思想方法，在解决问题时，应突出通性通法在问题解答中的主体性.

视角三换元法

思路9（变量代换）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+152b2，令x′=2a-b2

y′=152b，所以

原等式转化为x′2+y′2=c2，

设z=2a+b=2a-b2+3b2=x′+32215y′=x′+155y′，显然当直线z=x′+155y′与圆x′2+y′2=c2相切时，|z|最大，即c=zmax12+1552，所以zmax=85c，即

2a+b=85c，两边平方，结合4a2-2ab+4b2-c=0，可得2a=3b，下同解法1.

点评本解法对方程的配方有别于前面，但考虑运用变量代换法，将代数问题转变为几何问题了，带有绝对值的二元函数，瞬间变成了一个学生很熟悉的线性目标函数的最值问题.在解题上，这就是我们常说的模式识别，用几何问题处理代数问题，这是高中数学重要的方法之一，在教学中忽视这样的通性通法，显然是不够恰当的.真可谓一法一个境界，每种解法都彰显理性的力量.

思路10（三角代换）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+152b2，考虑三角代换，

令2a-b2=ccost，

152b=csint，从而2a+b=ccost+35sint=c1+35sint+φ，若要|2a+b|最大，只需t+φ=π2，其中，sinφ=58，cosφ=38，从而sint=38，cost=58，

所以2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.下同解法1.

点评本题对方程的变形同思路9，但这次使用的是三角代换，这也是学生常用的一种解题方法.以上两种代换方法，虽然在解题的过程中只得到了|2a+b|的最大值，但在没有找到其它好的解法前，这是一个毋庸置疑的好主意.因为，这两种解法接地气，常规思路，正统本份，学生最容易接受.波利亚指出：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思.”只要教师善于引导，学生的解题能力就会提高.

视角四构造法

图1

思路11（构造三角形）由条件4a2-2ab+4b2-c=0，

得c2=2a2-2·2a·2b·14+2b2，于是，构造三角形ABC，如图1，其中AB=2b，AC=2a，cosα=14，再由csinα=2asinθ=2bsinα+θ，

得2a+b=c2915sinθ+cosθ=85csinα+θ≤85c，

所以2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.下同解法1.

点评这是笔者在解题过程中，诱发的另一个解题念头，因为条件等式类似于余弦定理，联想到运用构造法解决该题，构造法的关键在于审时度势，积极展开想象，灵活运用所学知识.本题正、余弦定理以及三角函数式的变换，都是基本知识，没有什么技巧在里面.美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.”，大家不妨去体验一下.

思路12（构造直线）

图2

由条件4a2-2ab+4b2-c=0，

可得2c=34a2+3b2-2a+b2，显然，要寻找4a2+3b2与2a+b2的不等关系，于是构造直线l：x+13y=0外一点P2a，3b到直线l的距离PM不大于PO（如图2），即PO2≥PM2，得4a2+3b2≥2a+3b×131+132，即2a+b2≤434a2+3b2.等号在点M与点O重合时取到，此时PO⊥l，即kPO·kl=-1，3b2a×-3=-1，化简得2a=3b.下同解法1.

点评波利亚曾说过，“对于一个非几何问题，去找一个清晰的几何表达式，可能是走向解答的重要一步”.此解法对方程的配方形式，虽然可以使用柯西不等式解决，但充分挖掘代数不等式的几何背景，构造适当几何图形，常常可以收到意想不到的解题效果，同时也可培养我们的发散思维和创造性思想的能力.

为了更好地掌握上述解题方法，笔者给出如下变式题目：

变式1对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大时，1a+2b+4c的最小值为.

变式2对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大时，a+2b-4c的最大值为.

变式3设正实数a，b，c满足a2-3ab+4b2-c=0，则当abc取得最大值时，2a+1b-2c的最大值为.

变式4设正实数a，b，c满足a2-3ab+4b2-c=0，则当cab取得最小值时，a+2b-c的最大值为.

（答案：（1）-1；（2）2564；（3）1；（4）2）

一道填空压轴题，创新意识浓厚.打破常规根据已知条件（方程）求函数的最值，而是把一个最值当作条件，求三元函数的最值问题.该题的编拟思想体现了课程标准理念和教材的设计意图，简朴中显特色，平凡中见真谛，提高了考生观察思辨的能力，提升了本题的考试功能与选拔功能.很有开发的价值，无疑是一道经典之作.

本题虽小，但入口宽，解法具有开放性，横看成岭侧成峰，远近高低各不同，因为着眼点不同，解题的方式方法不同，效果也就大不相同.并且每种方法所用到的知识比较基础，不偏不怪，但要想拿到满分，须具备较强的思维能力和分析问题、解决问题的能力，彰显了“由知识立意转向能力立意”的命题理念.试题内涵丰富、思想深刻，将知识内容和等价转化、数形结合、换元法、向量法等数学思想方法融为一体，让人感觉平凡中出新意，有滋味、有嚼头、有厚度.此题启示我们，数学教学应加强数学知识间的联系，突出数学思想方法的挖掘、提炼和渗透；注重思维探究，突出培养学生面对新问题的选择应变能力和分析、解决问题的能力.

令a=bt，则4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=4t2+4t+14t2-2t+4=6t-34t2-2t+4+1，令λ=t-12，

所以4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=6t-34t2-2t+4+1=6λ4λ2+2λ+4+1=64λ+4λ+2+1≤85

当且仅当λ=t-12=1，即t=32时等号成立，此时2a=3b，下同解法1.

点评此解法精妙之处在于将已知两个条件完美地融合在一起，考虑将|2a+b|平方后，它与条件方程中的“4a2-2ab+4b2”都是齐次式，然后再利用换元法，将其转化为运用均值不等式求最值问题，这是基于代数式中各个部分和整体间的关系，重新显现代数式的结构之美，构思精巧，不仅收获了|2a+b|的最大值，而且顺利找到了其达到最大值时所满足的条件，使得解法流畅、自然，能有效地考查学生观察、联想、转化问题的能力.

思路8（直接减元）

直接令a=bt，把a=bt带入条件4a2-2ab+4b2-c=0，整理得b2=c4t2-2t+4，

所以|2a+b|=|2t+1b|=4t2+4t+1b2=6t-34t2-2t+4+1c，下同解法7.

点评对于多元函数的最值求解问题，解题的关键在于能否成功减元，本题应该预测到当|2a+b|达到最大值时，a，b，c之间某两个变元应该有一个关系，这样再结合条件方程，就可以顺利实现减元，故直接令a=bt.教师在引导学生解答问题时要注重一般思路，即通性通法.中学生应掌握的通性通法是：具有某些规律性和普遍意义的常规的解题模式和常用的数学思想方法，在解决问题时，应突出通性通法在问题解答中的主体性.

视角三换元法

思路9（变量代换）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+152b2，令x′=2a-b2

y′=152b，所以

原等式转化为x′2+y′2=c2，

设z=2a+b=2a-b2+3b2=x′+32215y′=x′+155y′，显然当直线z=x′+155y′与圆x′2+y′2=c2相切时，|z|最大，即c=zmax12+1552，所以zmax=85c，即

2a+b=85c，两边平方，结合4a2-2ab+4b2-c=0，可得2a=3b，下同解法1.

点评本解法对方程的配方有别于前面，但考虑运用变量代换法，将代数问题转变为几何问题了，带有绝对值的二元函数，瞬间变成了一个学生很熟悉的线性目标函数的最值问题.在解题上，这就是我们常说的模式识别，用几何问题处理代数问题，这是高中数学重要的方法之一，在教学中忽视这样的通性通法，显然是不够恰当的.真可谓一法一个境界，每种解法都彰显理性的力量.

思路10（三角代换）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+152b2，考虑三角代换，

令2a-b2=ccost，

152b=csint，从而2a+b=ccost+35sint=c1+35sint+φ，若要|2a+b|最大，只需t+φ=π2，其中，sinφ=58，cosφ=38，从而sint=38，cost=58，

所以2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.下同解法1.

点评本题对方程的变形同思路9，但这次使用的是三角代换，这也是学生常用的一种解题方法.以上两种代换方法，虽然在解题的过程中只得到了|2a+b|的最大值，但在没有找到其它好的解法前，这是一个毋庸置疑的好主意.因为，这两种解法接地气，常规思路，正统本份，学生最容易接受.波利亚指出：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思.”只要教师善于引导，学生的解题能力就会提高.

视角四构造法

图1

思路11（构造三角形）由条件4a2-2ab+4b2-c=0，

得c2=2a2-2·2a·2b·14+2b2，于是，构造三角形ABC，如图1，其中AB=2b，AC=2a，cosα=14，再由csinα=2asinθ=2bsinα+θ，

得2a+b=c2915sinθ+cosθ=85csinα+θ≤85c，

所以2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.下同解法1.

点评这是笔者在解题过程中，诱发的另一个解题念头，因为条件等式类似于余弦定理，联想到运用构造法解决该题，构造法的关键在于审时度势，积极展开想象，灵活运用所学知识.本题正、余弦定理以及三角函数式的变换，都是基本知识，没有什么技巧在里面.美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.”，大家不妨去体验一下.

思路12（构造直线）

图2

由条件4a2-2ab+4b2-c=0，

可得2c=34a2+3b2-2a+b2，显然，要寻找4a2+3b2与2a+b2的不等关系，于是构造直线l：x+13y=0外一点P2a，3b到直线l的距离PM不大于PO（如图2），即PO2≥PM2，得4a2+3b2≥2a+3b×131+132，即2a+b2≤434a2+3b2.等号在点M与点O重合时取到，此时PO⊥l，即kPO·kl=-1，3b2a×-3=-1，化简得2a=3b.下同解法1.

点评波利亚曾说过，“对于一个非几何问题，去找一个清晰的几何表达式，可能是走向解答的重要一步”.此解法对方程的配方形式，虽然可以使用柯西不等式解决，但充分挖掘代数不等式的几何背景，构造适当几何图形，常常可以收到意想不到的解题效果，同时也可培养我们的发散思维和创造性思想的能力.

为了更好地掌握上述解题方法，笔者给出如下变式题目：

变式1对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大时，1a+2b+4c的最小值为.

变式2对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大时，a+2b-4c的最大值为.

变式3设正实数a，b，c满足a2-3ab+4b2-c=0，则当abc取得最大值时，2a+1b-2c的最大值为.

变式4设正实数a，b，c满足a2-3ab+4b2-c=0，则当cab取得最小值时，a+2b-c的最大值为.

（答案：（1）-1；（2）2564；（3）1；（4）2）

一道填空压轴题，创新意识浓厚.打破常规根据已知条件（方程）求函数的最值，而是把一个最值当作条件，求三元函数的最值问题.该题的编拟思想体现了课程标准理念和教材的设计意图，简朴中显特色，平凡中见真谛，提高了考生观察思辨的能力，提升了本题的考试功能与选拔功能.很有开发的价值，无疑是一道经典之作.

本题虽小，但入口宽，解法具有开放性，横看成岭侧成峰，远近高低各不同，因为着眼点不同，解题的方式方法不同，效果也就大不相同.并且每种方法所用到的知识比较基础，不偏不怪，但要想拿到满分，须具备较强的思维能力和分析问题、解决问题的能力，彰显了“由知识立意转向能力立意”的命题理念.试题内涵丰富、思想深刻，将知识内容和等价转化、数形结合、换元法、向量法等数学思想方法融为一体，让人感觉平凡中出新意，有滋味、有嚼头、有厚度.此题启示我们，数学教学应加强数学知识间的联系，突出数学思想方法的挖掘、提炼和渗透；注重思维探究，突出培养学生面对新问题的选择应变能力和分析、解决问题的能力.

令a=bt，则4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=4t2+4t+14t2-2t+4=6t-34t2-2t+4+1，令λ=t-12，

所以4a2+4ab+b24a2-2ab+4b2=6t-34t2-2t+4+1=6λ4λ2+2λ+4+1=64λ+4λ+2+1≤85

当且仅当λ=t-12=1，即t=32时等号成立，此时2a=3b，下同解法1.

点评此解法精妙之处在于将已知两个条件完美地融合在一起，考虑将|2a+b|平方后，它与条件方程中的“4a2-2ab+4b2”都是齐次式，然后再利用换元法，将其转化为运用均值不等式求最值问题，这是基于代数式中各个部分和整体间的关系，重新显现代数式的结构之美，构思精巧，不仅收获了|2a+b|的最大值，而且顺利找到了其达到最大值时所满足的条件，使得解法流畅、自然，能有效地考查学生观察、联想、转化问题的能力.

思路8（直接减元）

直接令a=bt，把a=bt带入条件4a2-2ab+4b2-c=0，整理得b2=c4t2-2t+4，

所以|2a+b|=|2t+1b|=4t2+4t+1b2=6t-34t2-2t+4+1c，下同解法7.

点评对于多元函数的最值求解问题，解题的关键在于能否成功减元，本题应该预测到当|2a+b|达到最大值时，a，b，c之间某两个变元应该有一个关系，这样再结合条件方程，就可以顺利实现减元，故直接令a=bt.教师在引导学生解答问题时要注重一般思路，即通性通法.中学生应掌握的通性通法是：具有某些规律性和普遍意义的常规的解题模式和常用的数学思想方法，在解决问题时，应突出通性通法在问题解答中的主体性.

视角三换元法

思路9（变量代换）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+152b2，令x′=2a-b2

y′=152b，所以

原等式转化为x′2+y′2=c2，

设z=2a+b=2a-b2+3b2=x′+32215y′=x′+155y′，显然当直线z=x′+155y′与圆x′2+y′2=c2相切时，|z|最大，即c=zmax12+1552，所以zmax=85c，即

2a+b=85c，两边平方，结合4a2-2ab+4b2-c=0，可得2a=3b，下同解法1.

点评本解法对方程的配方有别于前面，但考虑运用变量代换法，将代数问题转变为几何问题了，带有绝对值的二元函数，瞬间变成了一个学生很熟悉的线性目标函数的最值问题.在解题上，这就是我们常说的模式识别，用几何问题处理代数问题，这是高中数学重要的方法之一，在教学中忽视这样的通性通法，显然是不够恰当的.真可谓一法一个境界，每种解法都彰显理性的力量.

思路10（三角代换）

由4a2-2ab+4b2-c=0，可得c=2a-b22+152b2，考虑三角代换，

令2a-b2=ccost，

152b=csint，从而2a+b=ccost+35sint=c1+35sint+φ，若要|2a+b|最大，只需t+φ=π2，其中，sinφ=58，cosφ=38，从而sint=38，cost=58，

所以2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.下同解法1.

点评本题对方程的变形同思路9，但这次使用的是三角代换，这也是学生常用的一种解题方法.以上两种代换方法，虽然在解题的过程中只得到了|2a+b|的最大值，但在没有找到其它好的解法前，这是一个毋庸置疑的好主意.因为，这两种解法接地气，常规思路，正统本份，学生最容易接受.波利亚指出：“数学问题的解决仅仅只是一半，而更重要的是解题之后的回顾与反思.”只要教师善于引导，学生的解题能力就会提高.

视角四构造法

图1

思路11（构造三角形）由条件4a2-2ab+4b2-c=0，

得c2=2a2-2·2a·2b·14+2b2，于是，构造三角形ABC，如图1，其中AB=2b，AC=2a，cosα=14，再由csinα=2asinθ=2bsinα+θ，

得2a+b=c2915sinθ+cosθ=85csinα+θ≤85c，

所以2a+bmax=85c，又4a2-2ab+4b2=c，所以2a=3b.下同解法1.

点评这是笔者在解题过程中，诱发的另一个解题念头，因为条件等式类似于余弦定理，联想到运用构造法解决该题，构造法的关键在于审时度势，积极展开想象，灵活运用所学知识.本题正、余弦定理以及三角函数式的变换，都是基本知识，没有什么技巧在里面.美国数学家斯蒂恩说：“如果一个特定的问题可以被转化为一个图形，那么思想就整体地把握了问题，并且能创造性地思索问题的解法.”，大家不妨去体验一下.

思路12（构造直线）

图2

由条件4a2-2ab+4b2-c=0，

可得2c=34a2+3b2-2a+b2，显然，要寻找4a2+3b2与2a+b2的不等关系，于是构造直线l：x+13y=0外一点P2a，3b到直线l的距离PM不大于PO（如图2），即PO2≥PM2，得4a2+3b2≥2a+3b×131+132，即2a+b2≤434a2+3b2.等号在点M与点O重合时取到，此时PO⊥l，即kPO·kl=-1，3b2a×-3=-1，化简得2a=3b.下同解法1.

点评波利亚曾说过，“对于一个非几何问题，去找一个清晰的几何表达式，可能是走向解答的重要一步”.此解法对方程的配方形式，虽然可以使用柯西不等式解决，但充分挖掘代数不等式的几何背景，构造适当几何图形，常常可以收到意想不到的解题效果，同时也可培养我们的发散思维和创造性思想的能力.

为了更好地掌握上述解题方法，笔者给出如下变式题目：

变式1对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大时，1a+2b+4c的最小值为.

变式2对于c>0，当非零实数a，b满足4a2-2ab+b2-c=0，且使|2a+b|最大时，a+2b-4c的最大值为.

变式3设正实数a，b，c满足a2-3ab+4b2-c=0，则当abc取得最大值时，2a+1b-2c的最大值为.

变式4设正实数a，b，c满足a2-3ab+4b2-c=0，则当cab取得最小值时，a+2b-c的最大值为.

（答案：（1）-1；（2）2564；（3）1；（4）2）

一道填空压轴题，创新意识浓厚.打破常规根据已知条件（方程）求函数的最值，而是把一个最值当作条件，求三元函数的最值问题.该题的编拟思想体现了课程标准理念和教材的设计意图，简朴中显特色，平凡中见真谛，提高了考生观察思辨的能力，提升了本题的考试功能与选拔功能.很有开发的价值，无疑是一道经典之作.

本题虽小，但入口宽，解法具有开放性，横看成岭侧成峰，远近高低各不同，因为着眼点不同，解题的方式方法不同，效果也就大不相同.并且每种方法所用到的知识比较基础，不偏不怪，但要想拿到满分，须具备较强的思维能力和分析问题、解决问题的能力，彰显了“由知识立意转向能力立意”的命题理念.试题内涵丰富、思想深刻，将知识内容和等价转化、数形结合、换元法、向量法等数学思想方法融为一体，让人感觉平凡中出新意，有滋味、有嚼头、有厚度.此题启示我们，数学教学应加强数学知识间的联系，突出数学思想方法的挖掘、提炼和渗透；注重思维探究，突出培养学生面对新问题的选择应变能力和分析、解决问题的能力.