抽象函数试题研究

刘光东

抽象函数，一般理解为没有给出解析式，间接给出函数的性质的一种函数的给出形式.下面以近年的高考试题为例，探讨抽象函数的一些学习的方法.

1常见的抽象函数性质

1.1对称

形如f（x+a）=f（b-x），函数具有对称性，对称轴为x=a+b2.

形如f（x+a）=-f（b-x），函数具有对称性，对称中心为a+b2，0.

例1（2012年辽宁省高考11题）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3.又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在[-12，32]上的零点个数为

A.5B.6C.7D.8

简解利用函数f（x）具有对称性：关于y轴和直线x=1对称解决.

1.2周期

f（x+T）=f（x）或f（x+a）=f（x+b）（其中T≠0，a≠b）具有周期性，周期为T=a-b；另外还有形如f（x+a）=-f（x），f（x+a）=1f（x），f（x+a）=-1f（x）等形式，也具有周期性，周期为2a.

例2（2012年山东省高考8题）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x<-1时，f（x）=

-（x+2）2，当-1≤x<3时，f（x）=x.则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）.

A.335B.338C.1678D.2012

简解答案为B.

2常见抽象函数问题解法

研究抽象函数，可以考虑特殊函数能使问题简单化.

例3（2014年新课标卷二Ⅱ15题）已知偶函数fx在[0，+∞）单调递减，f（2）=0.若f（x-1）>0，则x的取值范围是.

简解可以构造特殊函数，如y=-x2+4，再解-（x-1）2+4>0，得x∈（-1，3）.

例4（2014年辽宁省高考12题）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：

①f（0）=f（1）=0；

②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）-f（y）|<12|x-y|.

若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|

A.12B.14C.12πD.18

简解

只要借助二次函数f（x）=x2-x，分别取x=0，y=12即可；此处②式能取等号，恰好要求的式子也正好取到等号，利用变化的观点，只需略微调整一下函数的顶点即可.

例5已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：

①f（2）=0；②x=-4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在[8，10]上单调递增；

④若方程f（x）=m在[-6，-2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=-8.

以上命题中所有正确命题的序号为.

简解①取x=-2，原式化为f（-2+4）=f（-2）+f（2）=f（2），易得f（-2）=0，而f（x）是定义在R上的偶函数，固有f（2）=0.②由于f（2）=0，从而f（x+4）=f（x），f（x）的周期为4，由于函数f（x）又是偶函数，所以x=-4为函数y=f（x）图象的一条对称轴，正确.

③f（x）的周期为4，函数y=f（x）在[8，10]上的单调性与当x∈[0，2]时y=f（x）单调性相同，应该为减，错误.

④当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，且f（x）是定义在R上的偶函数，因此，方程f（x）=m在[-2，2]上的两根为之和0；由于周期为4，所以方程f（x）=m在[-6，-2]上的两根为x1，x2则x1+x2=-8，正确.

抽象函数涉及题型非常多，对学生的能力要求也比较高，这里只是对简单的问题进行了解析，只是问题一角.

抽象函数，一般理解为没有给出解析式，间接给出函数的性质的一种函数的给出形式.下面以近年的高考试题为例，探讨抽象函数的一些学习的方法.

1常见的抽象函数性质

1.1对称

形如f（x+a）=f（b-x），函数具有对称性，对称轴为x=a+b2.

形如f（x+a）=-f（b-x），函数具有对称性，对称中心为a+b2，0.

例1（2012年辽宁省高考11题）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3.又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在[-12，32]上的零点个数为

A.5B.6C.7D.8

简解利用函数f（x）具有对称性：关于y轴和直线x=1对称解决.

1.2周期

f（x+T）=f（x）或f（x+a）=f（x+b）（其中T≠0，a≠b）具有周期性，周期为T=a-b；另外还有形如f（x+a）=-f（x），f（x+a）=1f（x），f（x+a）=-1f（x）等形式，也具有周期性，周期为2a.

例2（2012年山东省高考8题）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x<-1时，f（x）=

-（x+2）2，当-1≤x<3时，f（x）=x.则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）.

A.335B.338C.1678D.2012

简解答案为B.

2常见抽象函数问题解法

研究抽象函数，可以考虑特殊函数能使问题简单化.

例3（2014年新课标卷二Ⅱ15题）已知偶函数fx在[0，+∞）单调递减，f（2）=0.若f（x-1）>0，则x的取值范围是.

简解可以构造特殊函数，如y=-x2+4，再解-（x-1）2+4>0，得x∈（-1，3）.

例4（2014年辽宁省高考12题）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：

①f（0）=f（1）=0；

②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）-f（y）|<12|x-y|.

若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|

A.12B.14C.12πD.18

简解

只要借助二次函数f（x）=x2-x，分别取x=0，y=12即可；此处②式能取等号，恰好要求的式子也正好取到等号，利用变化的观点，只需略微调整一下函数的顶点即可.

例5已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：

①f（2）=0；②x=-4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在[8，10]上单调递增；

④若方程f（x）=m在[-6，-2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=-8.

以上命题中所有正确命题的序号为.

简解①取x=-2，原式化为f（-2+4）=f（-2）+f（2）=f（2），易得f（-2）=0，而f（x）是定义在R上的偶函数，固有f（2）=0.②由于f（2）=0，从而f（x+4）=f（x），f（x）的周期为4，由于函数f（x）又是偶函数，所以x=-4为函数y=f（x）图象的一条对称轴，正确.

③f（x）的周期为4，函数y=f（x）在[8，10]上的单调性与当x∈[0，2]时y=f（x）单调性相同，应该为减，错误.

④当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，且f（x）是定义在R上的偶函数，因此，方程f（x）=m在[-2，2]上的两根为之和0；由于周期为4，所以方程f（x）=m在[-6，-2]上的两根为x1，x2则x1+x2=-8，正确.

抽象函数涉及题型非常多，对学生的能力要求也比较高，这里只是对简单的问题进行了解析，只是问题一角.

抽象函数，一般理解为没有给出解析式，间接给出函数的性质的一种函数的给出形式.下面以近年的高考试题为例，探讨抽象函数的一些学习的方法.

1常见的抽象函数性质

1.1对称

形如f（x+a）=f（b-x），函数具有对称性，对称轴为x=a+b2.

形如f（x+a）=-f（b-x），函数具有对称性，对称中心为a+b2，0.

例1（2012年辽宁省高考11题）设函数f（x）（x∈R）满足f（-x）=f（x），f（x）=f（2-x），且当x∈[0，1]时，f（x）=x3.又函数g（x）=|xcos（πx）|，则函数h（x）=g（x）-f（x）在[-12，32]上的零点个数为

A.5B.6C.7D.8

简解利用函数f（x）具有对称性：关于y轴和直线x=1对称解决.

1.2周期

f（x+T）=f（x）或f（x+a）=f（x+b）（其中T≠0，a≠b）具有周期性，周期为T=a-b；另外还有形如f（x+a）=-f（x），f（x+a）=1f（x），f（x+a）=-1f（x）等形式，也具有周期性，周期为2a.

例2（2012年山东省高考8题）定义在R上的函数f（x）满足f（x+6）=f（x），当-3≤x<-1时，f（x）=

-（x+2）2，当-1≤x<3时，f（x）=x.则f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2012）=（）.

A.335B.338C.1678D.2012

简解答案为B.

2常见抽象函数问题解法

研究抽象函数，可以考虑特殊函数能使问题简单化.

例3（2014年新课标卷二Ⅱ15题）已知偶函数fx在[0，+∞）单调递减，f（2）=0.若f（x-1）>0，则x的取值范围是.

简解可以构造特殊函数，如y=-x2+4，再解-（x-1）2+4>0，得x∈（-1，3）.

例4（2014年辽宁省高考12题）已知定义在[0，1]上的函数f（x）满足：

①f（0）=f（1）=0；

②对所有x，y∈[0，1]，且x≠y，有|f（x）-f（y）|<12|x-y|.

若对所有x，y∈[0，1]，|f（x）-f（y）|

A.12B.14C.12πD.18

简解

只要借助二次函数f（x）=x2-x，分别取x=0，y=12即可；此处②式能取等号，恰好要求的式子也正好取到等号，利用变化的观点，只需略微调整一下函数的顶点即可.

例5已知定义在R上的偶函数满足：f（x+4）=f（x）+f（2），且当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，给出以下四个命题：

①f（2）=0；②x=-4为函数y=f（x）图象的一条对称轴；

③函数y=f（x）在[8，10]上单调递增；

④若方程f（x）=m在[-6，-2]上的两根为x1，x2，则x1+x2=-8.

以上命题中所有正确命题的序号为.

简解①取x=-2，原式化为f（-2+4）=f（-2）+f（2）=f（2），易得f（-2）=0，而f（x）是定义在R上的偶函数，固有f（2）=0.②由于f（2）=0，从而f（x+4）=f（x），f（x）的周期为4，由于函数f（x）又是偶函数，所以x=-4为函数y=f（x）图象的一条对称轴，正确.

③f（x）的周期为4，函数y=f（x）在[8，10]上的单调性与当x∈[0，2]时y=f（x）单调性相同，应该为减，错误.

④当x∈[0，2]时，y=f（x）单调递减，且f（x）是定义在R上的偶函数，因此，方程f（x）=m在[-2，2]上的两根为之和0；由于周期为4，所以方程f（x）=m在[-6，-2]上的两根为x1，x2则x1+x2=-8，正确.

抽象函数涉及题型非常多，对学生的能力要求也比较高，这里只是对简单的问题进行了解析，只是问题一角.