函数王国里的鸭嘴兽

向华

鸭嘴兽又名鸭獭，它是哺乳类的脊椎动物，却偏偏又是卵生，它不但有鸟类的喙，也会像鸟类一样自己营造窝巢孵蛋.它在水中游行像鱼一般自如，在陆地上又有爬虫类的两栖性能.取整函数兼顾了常函数与一般函数的特征，是常函数与一般函数的过渡，由于它的存在，函数王国更加丰富多彩.

定义设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为取整函数，也叫高斯函数，显然y=[x]的定义域为R，值域为Z，称[x]为x的整数部分，称x-[x]为x的小数部分，记作{x}.例如[32]=3，{3.2}=0.2，[-23]=-3，{-2.3}=0.7，表面上看这个函数是很简单的，其实不然，它具有函数的简捷美，又有它独特的应用魅力，正因如此，在中学教学中有所渗透（如普通高中课程标准实验教科书《数学》必修1的第25页习题12B组第3题），而且高考题常把它作为背景，数学竞赛中也常考常新，它也是现实生活中的一类问题（如手机收费，电话收费，出租车收费，信函收费等）的数学模型.关于它的应用及解法也是妙趣横生.

1在集合中的应用

例1某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]可以表示为（）.

A.y=x10B.y=x+310

C.y=x+410D.y=x+410

解析班人数除以10的可能余数是0，1，2，3，…，9，其中大于6的余数只可能是7，8，9，因为当余数大于6时再增加1，为达到此目的，先往班里加3个人，除以10后再取整，故选B.

评注本题巧妙地实行了问题的转化，正确使用了取整函数.

2在方程中的应用

例2解方程3x+5[x]-50=0.

解析设[x]=y，则有y≤x≤y+1，原方程变为3x+5y-50=0.

由x≥y，有5y-50=-3x≤-3y，解关于y的不等式得，y≤628=614，

又由x≤y+1，有5y-50=-3x≥-3y-3，解关于y的不等式得，y≥578，从而578≤y≤614，所以y=6.将y=6代入方程3x+5[x]-50=0，解得x=203=623.

评注问题的突破口是将[x]设为y，利用不等式[x]≤x≤[x]+1，把原方程转化为两个含y的不等式，巧妙地解出y的值，使问题迎刃而解.

例3若0≤x≤π，解方程[2sinx]=1x.

解析因为0≤x≤π，2sinx≤2.

原方程等价于0≤2sinx<1，

0≤1x<1，或

1≤2sinx<2，

1≤1x<2，或2sinx=2，

1x=2..

得解集为π6，1∪5π6，π.

评注本题巧妙地利用了三角函数的性质以及取整函数的定义把看似难于解决的问题解决.

3在圆锥曲线中的应用

例4双曲线x2-y2=1的右半支与直线x=100围成的区域内部（不含边界）整点的个数有.

解析设直线x=k（k=2，3，…，99）与双曲线x2-y2=1的右半支交于点Ak，Bk，则yAk=-k2-1，yBk=k2-1，从而线段AkBk内部整数点的个数为2[k2-1]+1=2（k-1）+1=2k-1，（k=2，3，...，99），故所求的整数点的个数为∑99i=2（2i-1）=992-1=9800.

评注解答切入点是用直线x=k（k=2，3，…，99）去平行切割双曲线x2-y2=1的右半支，其交点构成的线段上的整点数（不包括端点，因题中要求是不含边界）就是所求满足条件的整点数，使问题圆满解决.

4现实生活中的应用

例5红，黄，蓝变色灯的拉线开关是这样设计的，接上电源即出现红色，拉第一次开关时，灯色由红变黄，拉第二次开关时，灯色由黄变蓝，拉第三次开关时，灯色由蓝变红，如此循环往复，现对编号为1，2，…，2000的2000盏变色灯接上电源，先将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后黄色灯的盏数有多少？

解析如右图所示，

A={编号为2的倍数的灯}，B={编号为3的倍数的灯}，C={编号为5的倍数的灯}，

D={编号既为2的倍数又为3的倍数的灯}，

E={编号既为3的倍数又为5的倍数的灯}，

F={编号既为2的倍数又为5的倍数的灯}，

G={编号既为2的倍数又为3的倍数还为5的倍数的灯}，被拉过的灯的盏数是

n=20002+20003+20005-20002×3-20002×5-20003×5+20002×3×5

=1000+666+400-333-200-133+66=1446（盏）.

被拉过二次的灯的盏数是20002×3+20002×5+20003×5-3×20002×3×5=468（盏）.

被拉过三次的灯的盏数是20002×3×5=66（盏）.

拉过一次的灯为黄灯，所以三次拉完后的黄灯的盏数是1466-468-66=932（盏）.

评注灵活利用结论：若x∈R*，n∈Z*，则从1到x的所有整数中n的倍数有xn个，巧妙运用多去少补的思想方法，问题便顺利解决.

取整函数y=[x]的应用远不止于此，这只是冰山一角，足已见识了它的风采，说它是函数王国的鸭嘴兽一点都不为过，通过对这一怪兽的研究，使我们清醒地认识到必须用新课程理论武装自己的头脑，真正改变教学方法，变“教教科书”为“用教科书教”，认真钻研教材，全面深刻地把握和捕捉教材中的信息，利用一切可以利用的资源，提高解决问题的能力，同时也为学生今后的学习架桥铺路，奠定坚实的基础.

鸭嘴兽又名鸭獭，它是哺乳类的脊椎动物，却偏偏又是卵生，它不但有鸟类的喙，也会像鸟类一样自己营造窝巢孵蛋.它在水中游行像鱼一般自如，在陆地上又有爬虫类的两栖性能.取整函数兼顾了常函数与一般函数的特征，是常函数与一般函数的过渡，由于它的存在，函数王国更加丰富多彩.

定义设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为取整函数，也叫高斯函数，显然y=[x]的定义域为R，值域为Z，称[x]为x的整数部分，称x-[x]为x的小数部分，记作{x}.例如[32]=3，{3.2}=0.2，[-23]=-3，{-2.3}=0.7，表面上看这个函数是很简单的，其实不然，它具有函数的简捷美，又有它独特的应用魅力，正因如此，在中学教学中有所渗透（如普通高中课程标准实验教科书《数学》必修1的第25页习题12B组第3题），而且高考题常把它作为背景，数学竞赛中也常考常新，它也是现实生活中的一类问题（如手机收费，电话收费，出租车收费，信函收费等）的数学模型.关于它的应用及解法也是妙趣横生.

1在集合中的应用

例1某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]可以表示为（）.

A.y=x10B.y=x+310

C.y=x+410D.y=x+410

解析班人数除以10的可能余数是0，1，2，3，…，9，其中大于6的余数只可能是7，8，9，因为当余数大于6时再增加1，为达到此目的，先往班里加3个人，除以10后再取整，故选B.

评注本题巧妙地实行了问题的转化，正确使用了取整函数.

2在方程中的应用

例2解方程3x+5[x]-50=0.

解析设[x]=y，则有y≤x≤y+1，原方程变为3x+5y-50=0.

由x≥y，有5y-50=-3x≤-3y，解关于y的不等式得，y≤628=614，

又由x≤y+1，有5y-50=-3x≥-3y-3，解关于y的不等式得，y≥578，从而578≤y≤614，所以y=6.将y=6代入方程3x+5[x]-50=0，解得x=203=623.

评注问题的突破口是将[x]设为y，利用不等式[x]≤x≤[x]+1，把原方程转化为两个含y的不等式，巧妙地解出y的值，使问题迎刃而解.

例3若0≤x≤π，解方程[2sinx]=1x.

解析因为0≤x≤π，2sinx≤2.

原方程等价于0≤2sinx<1，

0≤1x<1，或

1≤2sinx<2，

1≤1x<2，或2sinx=2，

1x=2..

得解集为π6，1∪5π6，π.

评注本题巧妙地利用了三角函数的性质以及取整函数的定义把看似难于解决的问题解决.

3在圆锥曲线中的应用

例4双曲线x2-y2=1的右半支与直线x=100围成的区域内部（不含边界）整点的个数有.

解析设直线x=k（k=2，3，…，99）与双曲线x2-y2=1的右半支交于点Ak，Bk，则yAk=-k2-1，yBk=k2-1，从而线段AkBk内部整数点的个数为2[k2-1]+1=2（k-1）+1=2k-1，（k=2，3，...，99），故所求的整数点的个数为∑99i=2（2i-1）=992-1=9800.

评注解答切入点是用直线x=k（k=2，3，…，99）去平行切割双曲线x2-y2=1的右半支，其交点构成的线段上的整点数（不包括端点，因题中要求是不含边界）就是所求满足条件的整点数，使问题圆满解决.

4现实生活中的应用

例5红，黄，蓝变色灯的拉线开关是这样设计的，接上电源即出现红色，拉第一次开关时，灯色由红变黄，拉第二次开关时，灯色由黄变蓝，拉第三次开关时，灯色由蓝变红，如此循环往复，现对编号为1，2，…，2000的2000盏变色灯接上电源，先将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后黄色灯的盏数有多少？

解析如右图所示，

A={编号为2的倍数的灯}，B={编号为3的倍数的灯}，C={编号为5的倍数的灯}，

D={编号既为2的倍数又为3的倍数的灯}，

E={编号既为3的倍数又为5的倍数的灯}，

F={编号既为2的倍数又为5的倍数的灯}，

G={编号既为2的倍数又为3的倍数还为5的倍数的灯}，被拉过的灯的盏数是

n=20002+20003+20005-20002×3-20002×5-20003×5+20002×3×5

=1000+666+400-333-200-133+66=1446（盏）.

被拉过二次的灯的盏数是20002×3+20002×5+20003×5-3×20002×3×5=468（盏）.

被拉过三次的灯的盏数是20002×3×5=66（盏）.

拉过一次的灯为黄灯，所以三次拉完后的黄灯的盏数是1466-468-66=932（盏）.

评注灵活利用结论：若x∈R*，n∈Z*，则从1到x的所有整数中n的倍数有xn个，巧妙运用多去少补的思想方法，问题便顺利解决.

取整函数y=[x]的应用远不止于此，这只是冰山一角，足已见识了它的风采，说它是函数王国的鸭嘴兽一点都不为过，通过对这一怪兽的研究，使我们清醒地认识到必须用新课程理论武装自己的头脑，真正改变教学方法，变“教教科书”为“用教科书教”，认真钻研教材，全面深刻地把握和捕捉教材中的信息，利用一切可以利用的资源，提高解决问题的能力，同时也为学生今后的学习架桥铺路，奠定坚实的基础.

鸭嘴兽又名鸭獭，它是哺乳类的脊椎动物，却偏偏又是卵生，它不但有鸟类的喙，也会像鸟类一样自己营造窝巢孵蛋.它在水中游行像鱼一般自如，在陆地上又有爬虫类的两栖性能.取整函数兼顾了常函数与一般函数的特征，是常函数与一般函数的过渡，由于它的存在，函数王国更加丰富多彩.

定义设x∈R，用[x]表示不超过x的最大整数，则y=[x]称为取整函数，也叫高斯函数，显然y=[x]的定义域为R，值域为Z，称[x]为x的整数部分，称x-[x]为x的小数部分，记作{x}.例如[32]=3，{3.2}=0.2，[-23]=-3，{-2.3}=0.7，表面上看这个函数是很简单的，其实不然，它具有函数的简捷美，又有它独特的应用魅力，正因如此，在中学教学中有所渗透（如普通高中课程标准实验教科书《数学》必修1的第25页习题12B组第3题），而且高考题常把它作为背景，数学竞赛中也常考常新，它也是现实生活中的一类问题（如手机收费，电话收费，出租车收费，信函收费等）的数学模型.关于它的应用及解法也是妙趣横生.

1在集合中的应用

例1某学校要召开学生代表大会，规定各班每10人推选1名代表，当各班人数除以10的余数大于6时，再增选一名代表，那么各班可推选代表人数y与该班人数x之间的函数关系用取整函数y=[x]可以表示为（）.

A.y=x10B.y=x+310

C.y=x+410D.y=x+410

解析班人数除以10的可能余数是0，1，2，3，…，9，其中大于6的余数只可能是7，8，9，因为当余数大于6时再增加1，为达到此目的，先往班里加3个人，除以10后再取整，故选B.

评注本题巧妙地实行了问题的转化，正确使用了取整函数.

2在方程中的应用

例2解方程3x+5[x]-50=0.

解析设[x]=y，则有y≤x≤y+1，原方程变为3x+5y-50=0.

由x≥y，有5y-50=-3x≤-3y，解关于y的不等式得，y≤628=614，

又由x≤y+1，有5y-50=-3x≥-3y-3，解关于y的不等式得，y≥578，从而578≤y≤614，所以y=6.将y=6代入方程3x+5[x]-50=0，解得x=203=623.

评注问题的突破口是将[x]设为y，利用不等式[x]≤x≤[x]+1，把原方程转化为两个含y的不等式，巧妙地解出y的值，使问题迎刃而解.

例3若0≤x≤π，解方程[2sinx]=1x.

解析因为0≤x≤π，2sinx≤2.

原方程等价于0≤2sinx<1，

0≤1x<1，或

1≤2sinx<2，

1≤1x<2，或2sinx=2，

1x=2..

得解集为π6，1∪5π6，π.

评注本题巧妙地利用了三角函数的性质以及取整函数的定义把看似难于解决的问题解决.

3在圆锥曲线中的应用

例4双曲线x2-y2=1的右半支与直线x=100围成的区域内部（不含边界）整点的个数有.

解析设直线x=k（k=2，3，…，99）与双曲线x2-y2=1的右半支交于点Ak，Bk，则yAk=-k2-1，yBk=k2-1，从而线段AkBk内部整数点的个数为2[k2-1]+1=2（k-1）+1=2k-1，（k=2，3，...，99），故所求的整数点的个数为∑99i=2（2i-1）=992-1=9800.

评注解答切入点是用直线x=k（k=2，3，…，99）去平行切割双曲线x2-y2=1的右半支，其交点构成的线段上的整点数（不包括端点，因题中要求是不含边界）就是所求满足条件的整点数，使问题圆满解决.

4现实生活中的应用

例5红，黄，蓝变色灯的拉线开关是这样设计的，接上电源即出现红色，拉第一次开关时，灯色由红变黄，拉第二次开关时，灯色由黄变蓝，拉第三次开关时，灯色由蓝变红，如此循环往复，现对编号为1，2，…，2000的2000盏变色灯接上电源，先将编号为2的倍数的灯线拉一下，再将编号为3的倍数的灯线拉一下，最后将编号为5的倍数的灯线拉一下，三次拉完后黄色灯的盏数有多少？

解析如右图所示，

A={编号为2的倍数的灯}，B={编号为3的倍数的灯}，C={编号为5的倍数的灯}，

D={编号既为2的倍数又为3的倍数的灯}，

E={编号既为3的倍数又为5的倍数的灯}，

F={编号既为2的倍数又为5的倍数的灯}，

G={编号既为2的倍数又为3的倍数还为5的倍数的灯}，被拉过的灯的盏数是

n=20002+20003+20005-20002×3-20002×5-20003×5+20002×3×5

=1000+666+400-333-200-133+66=1446（盏）.

被拉过二次的灯的盏数是20002×3+20002×5+20003×5-3×20002×3×5=468（盏）.

被拉过三次的灯的盏数是20002×3×5=66（盏）.

拉过一次的灯为黄灯，所以三次拉完后的黄灯的盏数是1466-468-66=932（盏）.

评注灵活利用结论：若x∈R*，n∈Z*，则从1到x的所有整数中n的倍数有xn个，巧妙运用多去少补的思想方法，问题便顺利解决.

取整函数y=[x]的应用远不止于此，这只是冰山一角，足已见识了它的风采，说它是函数王国的鸭嘴兽一点都不为过，通过对这一怪兽的研究，使我们清醒地认识到必须用新课程理论武装自己的头脑，真正改变教学方法，变“教教科书”为“用教科书教”，认真钻研教材，全面深刻地把握和捕捉教材中的信息，利用一切可以利用的资源，提高解决问题的能力，同时也为学生今后的学习架桥铺路，奠定坚实的基础.