一类数列求和实验模型的构建与思考

李世臣+张素勤

人教版八年级数学课本在分式加减单元之后的阅读与思考栏目安排了《容器中的水能倒完吗》的典型素材，教材这样设计的目的在于渗透建模思想：即对于一些通过实验难以探寻答案的问题，可以排除操作因素，不计干扰变量，将实际问题抽象为数学模型加以解决，从而凸显依靠数学方法分析问题的优越性.然而，该素材同时还给我们启示：当遇到的数学问题晦涩难懂时，可以构建贴近学生生活实际的实验模型，将数学问题生活化、可视化、操作化、趣味化，让学生借助已有的生活经验很容易体会其中的代数式之间的等量关系，进而深化对数学问题本质的认识.受该素材的启发，笔者对等差数列、等比数列及其生成的数列前n项求和问题进行了探究，构建了两个具有一般意义的实验模型.即使对于不会进行数学推导的小学生，也能轻而易举利用模型对结果进行正确的判断.

1等比数列问题

正数等比数列{an}，首项为a1，公比为q（q≠1），则数列{an}的前n项和为

a1+a2+a3+…+an=a1-an+11-q.

实验模型一个装有a11-q升水的容器，

第1次倒出a11-q×（1-q）=a1升水，剩余a11-q×q=a1q1-q=a21-q升水；

第2次倒出a21-q×（1-q）=a2升水，剩余a21-q×q=a2q1-q=a31-q升水；

第3次倒出a31-q×（1-q）=a3升水，剩余a31-q×q=a3q1-q=a41-q升水；

……

第n次倒出an1-q×（1-q）=an升水，剩余an1-q×q=anq1-q=an+11-q升水.

容易发现，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即an=an1-q-an+11-q.而前n次倒出的水量和等于原有总水量减去最后剩余的水量，即a1+a2+a3+…+an=a11-q-an+11-q.

有了以上发现我们很容易得到等比数列前n项求和的一种化简方法：

a1+a2+a3+…+an

=a11-q-a21-q+a21-q-a31-q+a31-q-a41-q+…+an1-q-an+11-q

=a11-q-an+11-q=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q.

例1求23+232+233+…+23n的值.

解析由实验模型已知a1=q=23，1-q=13，a11-q=2.

构造实验：一个装有2升水的容器，

第1次倒出2×13=23升水，剩余2×23升水；

第2次倒出2×23×13=232升水，剩余2×23×23=2×232升水；

第3次倒出2×232×13=233升水，剩余2×232×23=2×233升水；

……

第n次倒出2×23n-1×13=23n升水，剩余2×23n-1×23=2×23n升水；

显然，根据生活经验，第n次倒出的水量23n等于第n-1次剩余的水量2×23n-1减去第n次剩余的水量2×23n，即23n=2×23n-1-2×23n.

这样，前n次倒出的水量总和等于总水量减去第n次剩余的水量，即

23+232+233+…+23n=2-2×23n.

有了前面的关系式，将等式左边的每一项进行拆分，可以很快完成前n项和的数学推导.和人教版高中数学（必修5）中“等比数列的前n项和”使用印度国王棋盘放麦粒的传说导入相比，显得更清新、自然、有趣.既提供了化简方法，又渗透了数学思想.

2等差数列问题

正数等差数列{an}，首项为a1，公差为d（d≠0），则数列1anan+1的前n项和为

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=na1an+1.

实验模型一个装有1a1d升水的容器，

第1次倒出1a1d×da2=1a1a2升水，剩余1a1d×1-da2=1a1d×a2-da2=1a1d×a1a2=1a2d升水；

第2次倒出1a2d×da3=1a2a3升水，剩余1a2d×1-da3=1a2d×a3-da3=1a2d×a2a3=1a3d升水；

第3次倒出1a3d×da4=1a3a4升水，剩余1a3d×1-da4=1a3d×a4-da4=1a3d×a3a4=1a4d升水；

……

第n次倒出1and×dan+1=1anan+1升水，剩余

1and×1-dan+1=1and×an+1-dan+1=1and×anan+1=1an+1d升水；

容易发现，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即1anan+1=1and-1an+1d.前n次倒出的水量总和等于容器中总水量减去最后剩余的水量，即1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=1a1d-1an+1d.

将等式左边的每一项拆分化简为：

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1

=1a1d-1a2d+1a2d-1a3d+…+1and-1an+1d

=1a1d-1an+1d=an+1-a1a1an+1d=nda1an+1d=na1an+1.

例2求11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）的值.

解析由实验模型已知a1=1，d=2，1a1d=12.

构造实验：一个装有12升水的容器，

第1次倒出12×23=11×3升水，剩余12×13升水；

第2次倒出12×13×25=13×5升水，剩余12×13×35=12×15升水；

第3次倒出12×15×27=15×7升水，剩余12×15×57=12×17升水；

……

第n次倒出12×12n-1×22n+1=1（2n-1）（2n+1）升水，剩余12×12n-1×2n-12n+1=12×12n+1升水；

显然，第n次倒出的水量1（2n-1）（2n+1）等于第n-1次剩余的水量12×12n-1减去第n次倒水后剩余的水量12×12n+1，即1（2n-1）（2n+1）=12×12n-1-12×12n+1.这样前n次倒出的水量总和等于容器中原有总水量减去第n次剩余的水量，即

11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）=12-12×12n+1=n2n+1.

以上涉及的两类级数求和的实验模型，运用了重算原理，体现了整体思想，使得冰冷的数学生活化.由于实际背景可以变成剪纸、截线等形式，因此实现了在数学思维活动的参与下，以人人参与实际操作为特征的数学验证和探究活动.由实际问题构建数学模型和由数学问题构建实验模型都能有效的帮助学生对数学本质的理解，培养学生从生活中发现数学，并将数学渗透到生活当中的数学意识.在数学教学中融入模型化思想，除了给学生一种直观的感受外，更重要的是能够激发学生的学习兴趣，促使学生独立思考、自觉运用建模的方法解决数学问题，从而树立正确的数学观，逐步培养敏锐的洞察力、丰富的想象力和非凡的创造力.

人教版八年级数学课本在分式加减单元之后的阅读与思考栏目安排了《容器中的水能倒完吗》的典型素材，教材这样设计的目的在于渗透建模思想：即对于一些通过实验难以探寻答案的问题，可以排除操作因素，不计干扰变量，将实际问题抽象为数学模型加以解决，从而凸显依靠数学方法分析问题的优越性.然而，该素材同时还给我们启示：当遇到的数学问题晦涩难懂时，可以构建贴近学生生活实际的实验模型，将数学问题生活化、可视化、操作化、趣味化，让学生借助已有的生活经验很容易体会其中的代数式之间的等量关系，进而深化对数学问题本质的认识.受该素材的启发，笔者对等差数列、等比数列及其生成的数列前n项求和问题进行了探究，构建了两个具有一般意义的实验模型.即使对于不会进行数学推导的小学生，也能轻而易举利用模型对结果进行正确的判断.

1等比数列问题

正数等比数列{an}，首项为a1，公比为q（q≠1），则数列{an}的前n项和为

a1+a2+a3+…+an=a1-an+11-q.

实验模型一个装有a11-q升水的容器，

第1次倒出a11-q×（1-q）=a1升水，剩余a11-q×q=a1q1-q=a21-q升水；

第2次倒出a21-q×（1-q）=a2升水，剩余a21-q×q=a2q1-q=a31-q升水；

第3次倒出a31-q×（1-q）=a3升水，剩余a31-q×q=a3q1-q=a41-q升水；

……

第n次倒出an1-q×（1-q）=an升水，剩余an1-q×q=anq1-q=an+11-q升水.

容易发现，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即an=an1-q-an+11-q.而前n次倒出的水量和等于原有总水量减去最后剩余的水量，即a1+a2+a3+…+an=a11-q-an+11-q.

有了以上发现我们很容易得到等比数列前n项求和的一种化简方法：

a1+a2+a3+…+an

=a11-q-a21-q+a21-q-a31-q+a31-q-a41-q+…+an1-q-an+11-q

=a11-q-an+11-q=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q.

例1求23+232+233+…+23n的值.

解析由实验模型已知a1=q=23，1-q=13，a11-q=2.

构造实验：一个装有2升水的容器，

第1次倒出2×13=23升水，剩余2×23升水；

第2次倒出2×23×13=232升水，剩余2×23×23=2×232升水；

第3次倒出2×232×13=233升水，剩余2×232×23=2×233升水；

……

第n次倒出2×23n-1×13=23n升水，剩余2×23n-1×23=2×23n升水；

显然，根据生活经验，第n次倒出的水量23n等于第n-1次剩余的水量2×23n-1减去第n次剩余的水量2×23n，即23n=2×23n-1-2×23n.

这样，前n次倒出的水量总和等于总水量减去第n次剩余的水量，即

23+232+233+…+23n=2-2×23n.

有了前面的关系式，将等式左边的每一项进行拆分，可以很快完成前n项和的数学推导.和人教版高中数学（必修5）中“等比数列的前n项和”使用印度国王棋盘放麦粒的传说导入相比，显得更清新、自然、有趣.既提供了化简方法，又渗透了数学思想.

2等差数列问题

正数等差数列{an}，首项为a1，公差为d（d≠0），则数列1anan+1的前n项和为

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=na1an+1.

实验模型一个装有1a1d升水的容器，

第1次倒出1a1d×da2=1a1a2升水，剩余1a1d×1-da2=1a1d×a2-da2=1a1d×a1a2=1a2d升水；

第2次倒出1a2d×da3=1a2a3升水，剩余1a2d×1-da3=1a2d×a3-da3=1a2d×a2a3=1a3d升水；

第3次倒出1a3d×da4=1a3a4升水，剩余1a3d×1-da4=1a3d×a4-da4=1a3d×a3a4=1a4d升水；

……

第n次倒出1and×dan+1=1anan+1升水，剩余

1and×1-dan+1=1and×an+1-dan+1=1and×anan+1=1an+1d升水；

容易发现，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即1anan+1=1and-1an+1d.前n次倒出的水量总和等于容器中总水量减去最后剩余的水量，即1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=1a1d-1an+1d.

将等式左边的每一项拆分化简为：

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1

=1a1d-1a2d+1a2d-1a3d+…+1and-1an+1d

=1a1d-1an+1d=an+1-a1a1an+1d=nda1an+1d=na1an+1.

例2求11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）的值.

解析由实验模型已知a1=1，d=2，1a1d=12.

构造实验：一个装有12升水的容器，

第1次倒出12×23=11×3升水，剩余12×13升水；

第2次倒出12×13×25=13×5升水，剩余12×13×35=12×15升水；

第3次倒出12×15×27=15×7升水，剩余12×15×57=12×17升水；

……

第n次倒出12×12n-1×22n+1=1（2n-1）（2n+1）升水，剩余12×12n-1×2n-12n+1=12×12n+1升水；

显然，第n次倒出的水量1（2n-1）（2n+1）等于第n-1次剩余的水量12×12n-1减去第n次倒水后剩余的水量12×12n+1，即1（2n-1）（2n+1）=12×12n-1-12×12n+1.这样前n次倒出的水量总和等于容器中原有总水量减去第n次剩余的水量，即

11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）=12-12×12n+1=n2n+1.

以上涉及的两类级数求和的实验模型，运用了重算原理，体现了整体思想，使得冰冷的数学生活化.由于实际背景可以变成剪纸、截线等形式，因此实现了在数学思维活动的参与下，以人人参与实际操作为特征的数学验证和探究活动.由实际问题构建数学模型和由数学问题构建实验模型都能有效的帮助学生对数学本质的理解，培养学生从生活中发现数学，并将数学渗透到生活当中的数学意识.在数学教学中融入模型化思想，除了给学生一种直观的感受外，更重要的是能够激发学生的学习兴趣，促使学生独立思考、自觉运用建模的方法解决数学问题，从而树立正确的数学观，逐步培养敏锐的洞察力、丰富的想象力和非凡的创造力.

人教版八年级数学课本在分式加减单元之后的阅读与思考栏目安排了《容器中的水能倒完吗》的典型素材，教材这样设计的目的在于渗透建模思想：即对于一些通过实验难以探寻答案的问题，可以排除操作因素，不计干扰变量，将实际问题抽象为数学模型加以解决，从而凸显依靠数学方法分析问题的优越性.然而，该素材同时还给我们启示：当遇到的数学问题晦涩难懂时，可以构建贴近学生生活实际的实验模型，将数学问题生活化、可视化、操作化、趣味化，让学生借助已有的生活经验很容易体会其中的代数式之间的等量关系，进而深化对数学问题本质的认识.受该素材的启发，笔者对等差数列、等比数列及其生成的数列前n项求和问题进行了探究，构建了两个具有一般意义的实验模型.即使对于不会进行数学推导的小学生，也能轻而易举利用模型对结果进行正确的判断.

1等比数列问题

正数等比数列{an}，首项为a1，公比为q（q≠1），则数列{an}的前n项和为

a1+a2+a3+…+an=a1-an+11-q.

实验模型一个装有a11-q升水的容器，

第1次倒出a11-q×（1-q）=a1升水，剩余a11-q×q=a1q1-q=a21-q升水；

第2次倒出a21-q×（1-q）=a2升水，剩余a21-q×q=a2q1-q=a31-q升水；

第3次倒出a31-q×（1-q）=a3升水，剩余a31-q×q=a3q1-q=a41-q升水；

……

第n次倒出an1-q×（1-q）=an升水，剩余an1-q×q=anq1-q=an+11-q升水.

容易发现，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即an=an1-q-an+11-q.而前n次倒出的水量和等于原有总水量减去最后剩余的水量，即a1+a2+a3+…+an=a11-q-an+11-q.

有了以上发现我们很容易得到等比数列前n项求和的一种化简方法：

a1+a2+a3+…+an

=a11-q-a21-q+a21-q-a31-q+a31-q-a41-q+…+an1-q-an+11-q

=a11-q-an+11-q=a1-an+11-q=a1（1-qn）1-q.

例1求23+232+233+…+23n的值.

解析由实验模型已知a1=q=23，1-q=13，a11-q=2.

构造实验：一个装有2升水的容器，

第1次倒出2×13=23升水，剩余2×23升水；

第2次倒出2×23×13=232升水，剩余2×23×23=2×232升水；

第3次倒出2×232×13=233升水，剩余2×232×23=2×233升水；

……

第n次倒出2×23n-1×13=23n升水，剩余2×23n-1×23=2×23n升水；

显然，根据生活经验，第n次倒出的水量23n等于第n-1次剩余的水量2×23n-1减去第n次剩余的水量2×23n，即23n=2×23n-1-2×23n.

这样，前n次倒出的水量总和等于总水量减去第n次剩余的水量，即

23+232+233+…+23n=2-2×23n.

有了前面的关系式，将等式左边的每一项进行拆分，可以很快完成前n项和的数学推导.和人教版高中数学（必修5）中“等比数列的前n项和”使用印度国王棋盘放麦粒的传说导入相比，显得更清新、自然、有趣.既提供了化简方法，又渗透了数学思想.

2等差数列问题

正数等差数列{an}，首项为a1，公差为d（d≠0），则数列1anan+1的前n项和为

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=na1an+1.

实验模型一个装有1a1d升水的容器，

第1次倒出1a1d×da2=1a1a2升水，剩余1a1d×1-da2=1a1d×a2-da2=1a1d×a1a2=1a2d升水；

第2次倒出1a2d×da3=1a2a3升水，剩余1a2d×1-da3=1a2d×a3-da3=1a2d×a2a3=1a3d升水；

第3次倒出1a3d×da4=1a3a4升水，剩余1a3d×1-da4=1a3d×a4-da4=1a3d×a3a4=1a4d升水；

……

第n次倒出1and×dan+1=1anan+1升水，剩余

1and×1-dan+1=1and×an+1-dan+1=1and×anan+1=1an+1d升水；

容易发现，第n次倒出的水量等于第n-1次剩余的水量和第n次剩余的水量的差，即1anan+1=1and-1an+1d.前n次倒出的水量总和等于容器中总水量减去最后剩余的水量，即1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1=1a1d-1an+1d.

将等式左边的每一项拆分化简为：

1a1a2+1a2a3+1a3a4+…+1anan+1

=1a1d-1a2d+1a2d-1a3d+…+1and-1an+1d

=1a1d-1an+1d=an+1-a1a1an+1d=nda1an+1d=na1an+1.

例2求11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）的值.

解析由实验模型已知a1=1，d=2，1a1d=12.

构造实验：一个装有12升水的容器，

第1次倒出12×23=11×3升水，剩余12×13升水；

第2次倒出12×13×25=13×5升水，剩余12×13×35=12×15升水；

第3次倒出12×15×27=15×7升水，剩余12×15×57=12×17升水；

……

第n次倒出12×12n-1×22n+1=1（2n-1）（2n+1）升水，剩余12×12n-1×2n-12n+1=12×12n+1升水；

显然，第n次倒出的水量1（2n-1）（2n+1）等于第n-1次剩余的水量12×12n-1减去第n次倒水后剩余的水量12×12n+1，即1（2n-1）（2n+1）=12×12n-1-12×12n+1.这样前n次倒出的水量总和等于容器中原有总水量减去第n次剩余的水量，即

11×3+13×5+15×7+…+1（2n-1）×（2n+1）=12-12×12n+1=n2n+1.

以上涉及的两类级数求和的实验模型，运用了重算原理，体现了整体思想，使得冰冷的数学生活化.由于实际背景可以变成剪纸、截线等形式，因此实现了在数学思维活动的参与下，以人人参与实际操作为特征的数学验证和探究活动.由实际问题构建数学模型和由数学问题构建实验模型都能有效的帮助学生对数学本质的理解，培养学生从生活中发现数学，并将数学渗透到生活当中的数学意识.在数学教学中融入模型化思想，除了给学生一种直观的感受外，更重要的是能够激发学生的学习兴趣，促使学生独立思考、自觉运用建模的方法解决数学问题，从而树立正确的数学观，逐步培养敏锐的洞察力、丰富的想象力和非凡的创造力.