促进理解的数学活动特征及其案例设计

孔小明

随着数学课程改革的推进与深入，“数学活动”的教学观念已逐渐为教师所接受，并转化为教学实践中的具体行为，数学课堂发生了可喜的变化.但是，就数学活动设计而言，目前教学中还存在不少问题，其中数学活动过于活动化，活动缺少“数学味”，学生缺乏对数学的深度理解是当前数学活动设计存在的主要问题.

数学是一门抽象性的学科，知识的获得与应用都是以理解为基础的.理解是关联性价值的目标，其他如记忆、运用、分析、迁移和创造等目标的达成，也都是以理解为基础的.因此，将“理解”作为数学活动的核心关注点，把数学活动的设计与实施看成理解的过程，既是数学教学的目标追求，也是对传统数学活动过多强调数学技能的一种修正.

1促进理解的数学活动特征

1.1活动的意义是揭示内容的数学本质

数学活动是以数学思想为指导、用数学的方法解决问题从而感悟数学知识、形成数学能力的活动.促进理解的数学活动设计，有利于摒弃数学活动中过于追求课堂的表面热闹、活动的花样翻新，致使教学出现华而不实、偏离主题等现象，紧紧围绕教学内容，调动学生已有的经验，让学生从数学层面来体验、认识所学内容，在深刻揭示教学内容的数学本质的过程中，促进学生对知识的深入理解.

1.2活动的设计体现理解的层次性

数学理解水平可分为不同的层次，数学理解是一个曲折的、螺旋式上升的发展过程.因此，促进理解的数学活动设计应该从学生已有认知理解出发，设计基于不同理解要求的数学活动.每个活动按一定层次展开，前一个活动为后一个活动做铺垫，随着活动的一一呈现，学生对生成问题的探讨逐步深入，学生的理解也逐步达到较高的认知水平.

1.3活动的形式注重“有引导”的建构性

理解是一种个性化的、自我实现的行为，教师的讲解代替不了学生的思考，因此，促进理解的数学活动形式注重主体的建构性.由于学生自身经验的局限性，这种建构是在教师的引导下进行的，是一种“再发现”、“再创造”.教师可将数学活动的设计放在新知理解的“疑难点”、认知理解的“模糊点”、激发理解的思维“发散点”上，引导学生准确理解内容的数学本质.

1.4活动的过程需要思维的深度参与

理解是指个体逐步认识事物的各种联系、关系直至认识其本质规律的思维活动.因此，内在思维活动是数学活动的核心，只有思维层次的递进，才有数学理解层次的提升，只有高层次的思维参与，才能达到高层次的数学理解.教师可用“为什么？”“你是怎么想出来的？”等进行追问，让学生阐述获得结论的思维过程，以促进学生思维的深度参与.

1.5活动的有效途径是交流与反思

学生对外的交流沟通和对内的自我反思是促进理解的有效途径.交流过程中，学生要对自己的想法进行梳理、加工，这是优化认知结构的过程.交流中的讨论、争议等能激活学生相关已有知识，使新旧知识产生更多联系，有助于加深学生的理解.反思是自己对自己的交流，是对自己理解过程的回顾与思考，从而获取经验和教训，通过对已有认识的再认识，可以进一步理解相关知识的意义，感悟蕴含其中的数学思想方法.

2促进理解的数学活动案例设计

根据理解的不同目标要求，需要设计不同类别的数学活动，本文将促进理解的数学活动分为情境体验活动、主题探究活动、问题解决活动三类.

2.1情境体验活动

情境体验活动意味着借助具体情境，通过观察、操作、思考等活动，初步认识所学内容的特征，获得感性认识.从理解角度看，表现为能结合个人经验初步解释所学内容意义，能解决一些识记性与操作性比较强的简单问题，即达到经验性理解水平.

案例1数学归纳法“直观模型”的建立.

数学归纳法的形式化表达是学生理解该原理的难点，教学引入多米诺骨牌游戏的目的，是降低认知难度，让学生经历“从生活到数学”、“从形象到抽象”的过程，帮助学生建立数学归纳法的“直观模型”，为归纳两个步骤、理解数学归纳法的思想实质做好铺垫.

活动目标：通过活动，让学生认识与理解多米诺骨牌游戏蕴含的“数学内涵”，建立数学归纳法的雏形.

活动过程：让学生感受学习新方法的必要性之后，引导学生举一些生活中通过“传递”来完成任务的例子，如接力比赛、连串的鞭炮、多米诺骨牌游戏等，接着让学生观看多米诺骨牌游戏的视频，引导学生着力思考与分析能使所有骨牌全部倒下的条件，师生共同讨论得出：

（1）第一块倒下；

（2）任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.

为了使学生真正理解游戏的数学内涵，从而在后续类比证明相关数学问题中，逐步理解数学归纳法两个步骤的作用，教师可通过追问，引导学生理解与体会具体模型的思想实质.

T：为什么满足上述两个条件，所有骨牌就能全部倒下？

S：由条件（1）可知第一块骨牌倒下，因为第一块相邻的后一块是第二块，由条件（2）可知第二块倒下，同样，第二块倒下又引发第三块倒下，如此一直下去，所有骨牌全部倒下.

T：该过程可由如下程序结构图表示，即第一块倒下条件（2）第二块倒下条件（2）第三块倒下条件（2）……，在这里条件（1）的作用是什么？

S：“起步”作用，没有它，后面的骨牌摆得再好也不可能倒下.

T：从程序结构图看，条件（2）起到关键作用，那么它的作用又是什么？

S：“传递”作用，就是将某一块倒下的结果传递到与其相邻的后一块，即“第k块倒下一定导致第k+1块倒下”.

……

教师可借助实物演示、图画再现、语言描述等途径进行情境体验活动的设计，激发学生的积极学习情感，引导学生经历知识的产生与形成过程，有助于学生更好地理解学习内容.

2.2主题探究活动

主题探究活动意味着数学活动围绕相关内容的生成性主题来展开，为认识主题特性设置一系列层层递进的活动，通过观察、试验、推测、说理、论证、反思等活动，完成对主题的意义建构，获得理性认识.从理解的角度看，表现为能厘清知识本质，把握知识纵横联系，包括新旧知识的联系，数学与现实的联系等，即达到关系性理解水平.

案例2“直线与平面垂直判定定理”的析出.

因为直线与平面垂直定义中的条件是“任一条直线”，而判定定理中的条件是“两条相交直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生理解上的思维障碍，构建围绕主题的探究活动系列有利于扫除这种障碍.

活动目标：通过活动确认和理解判定定理中“双垂直”和“相交”的条件.

活动过程：在完成定义教学后，教师给出“如何检验旗杆竖直立于地面（即旗杆所在直线与地面所在平面垂直）？”的问题，引发认知冲突，激发将平面内直线条数从定义中的“无限”转化为“有限”的需要.教师逐次给出下列探究活动，完成对定理的意义构建.

探究1：试讨论平面内直线减少到多少条才合适，一条够吗？两条呢？

意图：引导学生通过实物（可用笔表示直线，课本表示平面）的观察、操作，感知并猜测“两条”“相交”的条件.

探究2：请你拿出准备好的三角形的纸片，我们一起来做一个试验：如右图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？

意图：通过折纸活动让学生发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，即AD⊥BD，AD⊥CD时，AD与平面α垂直，感知“双垂直”的条件.

探究3：当折痕AD⊥BC时，绕AD无论怎样翻折，（1）翻折之后AD始终与桌面所在平面α垂直吗？（2）翻折之后的垂直关系即AD⊥BD，AD⊥CD是否发生变化？由此得到什么结论？

意图：让学生继续操作并确认：只要有“双垂直”和“相交”的条件，就有“直线与平面垂直”的结论.

上述数学活动中，通过设置层层递进的三个探究活动，引导学生进行观察、操作、解释与说理，挖掘折纸试验的数学内涵，对定理的“双垂直”和“相交”条件进行确认和理解.

2.3问题解决活动

问题解决活动意味着数学活动围绕着解决生成性问题来展开，学生经历观察、思考、推断、概括、迁移等活动，暴露思维过程，揭示问题本质.从理解的角度看，表现为能丰富问题的应用背景，剖析思想方法的本源，并能将解决问题的思想方法迁移至新的情形，即达到迁移性理解水平.

案例3用基本不等式求最值中“配凑系数”的实质.

利用基本不等式求最值有时需要“配凑系数”，因其技巧性强而使不少学生望而却步.这就需要对解题的思维过程进行倒摄深究，发现并理解“配凑系数”的思想实质，从而促进有效迁移.

活动目标：通过活动，发现并理解“配凑系数”的实质，体会解题方法的提炼与迁移过程.

活动过程：给出问题：已知x、y∈R+，求x+yx+22xy的最小值.

借助已有经验，学生通过系数的配凑，完成问题的求解：

因为22xy=2x（2y）≤x+2y.（1）

所以x+yx+22xy≥x+yx+（x+2y）=12.（2）

当且仅当x=2y时取到等号，故最小值为12

有研究表明，即使学生给出了一个表面看来完美的解答，也不表明学生完全理解了其中的方法内涵.教师有意给出下列变式让学生继续思考：

已知x、y∈R+，求2x+yx+23xy的最小值.

学生努力进行系数的配凑，仍然不得其解.教师引导学生从新审视原有问题的解决过程，着力分析解决问题的关键——“配凑系数”的目的与方法是什么.

师生共同探讨得到，（1）式中不等号左边2xy配凑为x（2y），其目的是（2）式中不等号右边出现定值.变式中，考虑到分子是2x+y，分母中3xy配凑的目的，是在应用基本不等式后，x的系数是y的系数的2倍，保证其比值为定值，系数的确定可用待定系数法.

解法1：因为2x+yx+23xy=2x+yx+23tx·yt≥2x+yx+3tx+yt（t>0），

要使不等式右边是定值，只要1+3t=2t，得t=23.

当且仅当4x=3y时取到等号，最小值为23，

理解了“配凑系数”的实质，新的解法随之从学生的头脑中自然地流淌出来.

解法2：因为2x+yx+23xy=mx+（2-m）x+yx+23xy≥mx+2（2-m）xyx+23xy（0

要使不等式右边是定值，只要2-m=3m，得m=23.

解法3：设2x+yx+23xy≥p（常数），则

（2-p）x+y≥2p3xy.（3）

又当0

（2-p）x+y≥2（2-p）xy.（4）

比较（3）（4），只要3p=2-p，得p=23.

促进理解的数学活动设计的目的旨在将发展学生的理解作为教学的核心目标，将“理解”贯穿在整个数学活动中.创设有效的数学情境，引发数学活动任务，启发学生积极思维，引导学生主动探究，促进学生深层次参与数学活动的全过程，在知识意义和认知结构的建构过程中达到对数学的深刻理解，在数学交流与自我反思中深化内容的理解.

主题探究活动意味着数学活动围绕相关内容的生成性主题来展开，为认识主题特性设置一系列层层递进的活动，通过观察、试验、推测、说理、论证、反思等活动，完成对主题的意义建构，获得理性认识.从理解的角度看，表现为能厘清知识本质，把握知识纵横联系，包括新旧知识的联系，数学与现实的联系等，即达到关系性理解水平.

案例2“直线与平面垂直判定定理”的析出.

因为直线与平面垂直定义中的条件是“任一条直线”，而判定定理中的条件是“两条相交直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生理解上的思维障碍，构建围绕主题的探究活动系列有利于扫除这种障碍.

活动目标：通过活动确认和理解判定定理中“双垂直”和“相交”的条件.

活动过程：在完成定义教学后，教师给出“如何检验旗杆竖直立于地面（即旗杆所在直线与地面所在平面垂直）？”的问题，引发认知冲突，激发将平面内直线条数从定义中的“无限”转化为“有限”的需要.教师逐次给出下列探究活动，完成对定理的意义构建.

探究1：试讨论平面内直线减少到多少条才合适，一条够吗？两条呢？

意图：引导学生通过实物（可用笔表示直线，课本表示平面）的观察、操作，感知并猜测“两条”“相交”的条件.

探究2：请你拿出准备好的三角形的纸片，我们一起来做一个试验：如右图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？

意图：通过折纸活动让学生发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，即AD⊥BD，AD⊥CD时，AD与平面α垂直，感知“双垂直”的条件.

探究3：当折痕AD⊥BC时，绕AD无论怎样翻折，（1）翻折之后AD始终与桌面所在平面α垂直吗？（2）翻折之后的垂直关系即AD⊥BD，AD⊥CD是否发生变化？由此得到什么结论？

意图：让学生继续操作并确认：只要有“双垂直”和“相交”的条件，就有“直线与平面垂直”的结论.

上述数学活动中，通过设置层层递进的三个探究活动，引导学生进行观察、操作、解释与说理，挖掘折纸试验的数学内涵，对定理的“双垂直”和“相交”条件进行确认和理解.

2.3问题解决活动

问题解决活动意味着数学活动围绕着解决生成性问题来展开，学生经历观察、思考、推断、概括、迁移等活动，暴露思维过程，揭示问题本质.从理解的角度看，表现为能丰富问题的应用背景，剖析思想方法的本源，并能将解决问题的思想方法迁移至新的情形，即达到迁移性理解水平.

案例3用基本不等式求最值中“配凑系数”的实质.

利用基本不等式求最值有时需要“配凑系数”，因其技巧性强而使不少学生望而却步.这就需要对解题的思维过程进行倒摄深究，发现并理解“配凑系数”的思想实质，从而促进有效迁移.

活动目标：通过活动，发现并理解“配凑系数”的实质，体会解题方法的提炼与迁移过程.

活动过程：给出问题：已知x、y∈R+，求x+yx+22xy的最小值.

借助已有经验，学生通过系数的配凑，完成问题的求解：

因为22xy=2x（2y）≤x+2y.（1）

所以x+yx+22xy≥x+yx+（x+2y）=12.（2）

当且仅当x=2y时取到等号，故最小值为12

有研究表明，即使学生给出了一个表面看来完美的解答，也不表明学生完全理解了其中的方法内涵.教师有意给出下列变式让学生继续思考：

已知x、y∈R+，求2x+yx+23xy的最小值.

学生努力进行系数的配凑，仍然不得其解.教师引导学生从新审视原有问题的解决过程，着力分析解决问题的关键——“配凑系数”的目的与方法是什么.

师生共同探讨得到，（1）式中不等号左边2xy配凑为x（2y），其目的是（2）式中不等号右边出现定值.变式中，考虑到分子是2x+y，分母中3xy配凑的目的，是在应用基本不等式后，x的系数是y的系数的2倍，保证其比值为定值，系数的确定可用待定系数法.

解法1：因为2x+yx+23xy=2x+yx+23tx·yt≥2x+yx+3tx+yt（t>0），

要使不等式右边是定值，只要1+3t=2t，得t=23.

当且仅当4x=3y时取到等号，最小值为23，

理解了“配凑系数”的实质，新的解法随之从学生的头脑中自然地流淌出来.

解法2：因为2x+yx+23xy=mx+（2-m）x+yx+23xy≥mx+2（2-m）xyx+23xy（0

要使不等式右边是定值，只要2-m=3m，得m=23.

解法3：设2x+yx+23xy≥p（常数），则

（2-p）x+y≥2p3xy.（3）

又当0

（2-p）x+y≥2（2-p）xy.（4）

比较（3）（4），只要3p=2-p，得p=23.

促进理解的数学活动设计的目的旨在将发展学生的理解作为教学的核心目标，将“理解”贯穿在整个数学活动中.创设有效的数学情境，引发数学活动任务，启发学生积极思维，引导学生主动探究，促进学生深层次参与数学活动的全过程，在知识意义和认知结构的建构过程中达到对数学的深刻理解，在数学交流与自我反思中深化内容的理解.

主题探究活动意味着数学活动围绕相关内容的生成性主题来展开，为认识主题特性设置一系列层层递进的活动，通过观察、试验、推测、说理、论证、反思等活动，完成对主题的意义建构，获得理性认识.从理解的角度看，表现为能厘清知识本质，把握知识纵横联系，包括新旧知识的联系，数学与现实的联系等，即达到关系性理解水平.

案例2“直线与平面垂直判定定理”的析出.

因为直线与平面垂直定义中的条件是“任一条直线”，而判定定理中的条件是“两条相交直线”，这种用“有限”代替“无限”的过程导致学生理解上的思维障碍，构建围绕主题的探究活动系列有利于扫除这种障碍.

活动目标：通过活动确认和理解判定定理中“双垂直”和“相交”的条件.

活动过程：在完成定义教学后，教师给出“如何检验旗杆竖直立于地面（即旗杆所在直线与地面所在平面垂直）？”的问题，引发认知冲突，激发将平面内直线条数从定义中的“无限”转化为“有限”的需要.教师逐次给出下列探究活动，完成对定理的意义构建.

探究1：试讨论平面内直线减少到多少条才合适，一条够吗？两条呢？

意图：引导学生通过实物（可用笔表示直线，课本表示平面）的观察、操作，感知并猜测“两条”“相交”的条件.

探究2：请你拿出准备好的三角形的纸片，我们一起来做一个试验：如右图，过△ABC的顶点A翻折纸片，得到折痕AD，将翻折后的纸片竖起放置在桌面上（BD、DC与桌面接触）.（1）折痕AD与桌面垂直吗？（2）如何翻折才能使AD与桌面所在平面α垂直？

意图：通过折纸活动让学生发现，当且仅当折痕AD是BC边上的高时，即AD⊥BD，AD⊥CD时，AD与平面α垂直，感知“双垂直”的条件.

探究3：当折痕AD⊥BC时，绕AD无论怎样翻折，（1）翻折之后AD始终与桌面所在平面α垂直吗？（2）翻折之后的垂直关系即AD⊥BD，AD⊥CD是否发生变化？由此得到什么结论？

意图：让学生继续操作并确认：只要有“双垂直”和“相交”的条件，就有“直线与平面垂直”的结论.

上述数学活动中，通过设置层层递进的三个探究活动，引导学生进行观察、操作、解释与说理，挖掘折纸试验的数学内涵，对定理的“双垂直”和“相交”条件进行确认和理解.

2.3问题解决活动

问题解决活动意味着数学活动围绕着解决生成性问题来展开，学生经历观察、思考、推断、概括、迁移等活动，暴露思维过程，揭示问题本质.从理解的角度看，表现为能丰富问题的应用背景，剖析思想方法的本源，并能将解决问题的思想方法迁移至新的情形，即达到迁移性理解水平.

案例3用基本不等式求最值中“配凑系数”的实质.

利用基本不等式求最值有时需要“配凑系数”，因其技巧性强而使不少学生望而却步.这就需要对解题的思维过程进行倒摄深究，发现并理解“配凑系数”的思想实质，从而促进有效迁移.

活动目标：通过活动，发现并理解“配凑系数”的实质，体会解题方法的提炼与迁移过程.

活动过程：给出问题：已知x、y∈R+，求x+yx+22xy的最小值.

借助已有经验，学生通过系数的配凑，完成问题的求解：

因为22xy=2x（2y）≤x+2y.（1）

所以x+yx+22xy≥x+yx+（x+2y）=12.（2）

当且仅当x=2y时取到等号，故最小值为12

有研究表明，即使学生给出了一个表面看来完美的解答，也不表明学生完全理解了其中的方法内涵.教师有意给出下列变式让学生继续思考：

已知x、y∈R+，求2x+yx+23xy的最小值.

学生努力进行系数的配凑，仍然不得其解.教师引导学生从新审视原有问题的解决过程，着力分析解决问题的关键——“配凑系数”的目的与方法是什么.

师生共同探讨得到，（1）式中不等号左边2xy配凑为x（2y），其目的是（2）式中不等号右边出现定值.变式中，考虑到分子是2x+y，分母中3xy配凑的目的，是在应用基本不等式后，x的系数是y的系数的2倍，保证其比值为定值，系数的确定可用待定系数法.

解法1：因为2x+yx+23xy=2x+yx+23tx·yt≥2x+yx+3tx+yt（t>0），

要使不等式右边是定值，只要1+3t=2t，得t=23.

当且仅当4x=3y时取到等号，最小值为23，

理解了“配凑系数”的实质，新的解法随之从学生的头脑中自然地流淌出来.

解法2：因为2x+yx+23xy=mx+（2-m）x+yx+23xy≥mx+2（2-m）xyx+23xy（0

要使不等式右边是定值，只要2-m=3m，得m=23.

解法3：设2x+yx+23xy≥p（常数），则

（2-p）x+y≥2p3xy.（3）

又当0

（2-p）x+y≥2（2-p）xy.（4）

比较（3）（4），只要3p=2-p，得p=23.

促进理解的数学活动设计的目的旨在将发展学生的理解作为教学的核心目标，将“理解”贯穿在整个数学活动中.创设有效的数学情境，引发数学活动任务，启发学生积极思维，引导学生主动探究，促进学生深层次参与数学活动的全过程，在知识意义和认知结构的建构过程中达到对数学的深刻理解，在数学交流与自我反思中深化内容的理解.