基于皮亚杰理论下的数学概念教学

张玲玲��

2013年12月8日-11日，由江苏省中小学教学研究室主办，在南京中华中学举办了2013年江苏省高中数学青年骨干教师研修活动.本次活动的主题是“数学概念教学”，活动对苏教版《三角函数的周期性》进行“同题异构”教学，经过了“三次备课，两次反思”.期间，本人有幸被抽到上课，课后经过了讨论，反思，再备课，并且得到了省内几位著名特级教师的指导，领悟了很多，是今后个人专业成长的一笔宝贵财富.

在这里，本人将这次活动中张乃达老师和陈光立老师给出的建议结合皮亚杰发生认识论的一些观点谈一谈数学概念的教学.

数学概念是构建数学理论大厦的基石，高中数学课程标准指出： 教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握，对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终，帮助学生逐步加深理解.

1.提供实例图式积累数学概念准备

发生认识论观点认为，图式是形成概念的基础，是同化与顺应的工具.那么数学概念作为概念的一个分支，也必须具有丰富的数学图式.强调在概念教学中要以实验，提供实例为基础，使学生获得必要的感性认识.

在“三角函数的周期性”这一概念的教学时，可先设计以下方式引入课题：

情境1：从2013年12月份的日历上可以看出，12月9日是周一，再过7天，16日还是周一，再过7天，23日还是周一……

情境2：单位圆上的点转动一圈以后回到了原来的位置.

问题1：你能举出数学中某些现象重复出现的例子吗？

学生可以根据前阶段学习的诱导公式的特点，回答出三角函数，三角函数线.

问题2：我们以正弦函数为例，怎样解释这种周而复始的现象呢？

学生1： sin30°=sin150°.这个回答是笔者没有预想到的.

课堂上，学生的深思顿悟、灵机一动，节外生枝和思维的遇阻、疏忽大意等等，都可能催生出一个个鲜活的教学资源，为创设智慧、高效课堂带来可能.为学生的学习创设了预知不得，欲罢不忍的学习情境，激发了学生的探究积极性，课堂气氛又活跃了起来.

学生2：当角α的终边转动2π，就会重合，三角函数值也相等.

这是学生从形的角度刻画了三角函数的“周而复始”的现象，笔者继续追问：把你这句话用表达式写出来是什么样的呢？

学生2： sin（x+2π）=sinx.

这样我们就很自然地联想到之前学习的三角函数的诱导公式，让学生很轻松愉悦地接受了正弦函数的周期现象，也为接下来推导余弦函数和正切函数的周期作铺垫.

2.同化顺应抽象概括数学概念引入

皮亚杰的发生认识观认为，在活动基础上建立起认知图式.学生也总是用已有的图式去认识事物，如果主体能把外界的刺激纳入已有的图式，这就是同化过程.

如： 在“三角函数的周期性”的定义的教学事例中，

问题3： 如果某函数f（x）每间隔2个单位， 函数值重复再现， 如何用符号语言表示？ 引导学生得出f（x+2）=f（x）.

追问1： 如果某函数f（x）每间隔7个单位， 函数值重复再现， 如何表示？

引导学生得出f（x+7）=f（x）.

教师通过前面特殊情况的分析，逐渐引导学生感受“周而复始”的特征，从而慢慢引入数学概念.

3. 提供变式抽象本质数学概念的形成

皮亚杰的发生认识观认为，在图式的不断发展过程中，主体是不平衡的，总是试着向平衡方向发展.

陈光立老师指出教学的艺术就在于精心设问和巧妙地引导学生作答，作答的广义就是引导学生思维，包括课题性问题和启发性问题，问题一定要对学生的概念形成起深化巩固的作用.教师不要为问问题而问，显示出老师过于强势，好的课堂在于展示学生、让学生展示，要利于学生发挥他们的才智，通过老师的引导帮助他们，而不是展示教师，不是展示解题功能，反对复制教学，反对告诉教学，教师要让认知降到学生层次，让学生真正参与进来.

问题4：是不是只有三角函数才有周期性？我们是否可以给一般的周期性函数下一个定义呢？

该问题的设置意图，要求学生能从现有的材料中概括出本质特征，并把本质特征用精当的数学语言加以描述.概括是数学概念形成的重要过程，所以教学设计中必须为学生的概括做好铺垫.这个环节是本节课的重点也是难点.教师不能急于求成，要倾听学生的心声，要营造民主、平等、宽容的课堂教学气氛，把握学生的解惑需求，对于学生的回答，要及时加以辨别，作出正确的判断，并因势利导，给学生探究的时间和空间，这样会使后面的教学更深入，更有价值.

定义中关键词有哪些？这些关键词你感觉熟悉吗？之前的学习中哪里遇见过？

设计意图是为了让学生更深入理解定义的内涵，把握判断函数周期性的关键，并联系之前的学过的函数的奇偶性和单调性，更好地理解周期性的定义.

思考：y=3是周期函数吗？

学生的反映并没有预想的好，问题出在了哪里？是概念理解不清，还是符号不能准确转换？笔者课后作了学生调查，结果显示，学生不能把y=3和f（x）=3联系起来，更找不出f（x+T）=f（x）中的T的值，感觉不存在.该问题的设计意图是想说明不是所有函数都有最小正周期，但是反映出来的是学生对函数概念的不理解.

张乃达老师给出的建议是：不要在枝节上“惹是生非”，按照课标要求教学.本节主要研究三角函数的周期性，不要在一般函数周期性上纠缠太多.

4. 概念再同化数学概念的深化、 运用

发生认识观认为，新图式的形成，可以同化更多的客体.同样，新的数学概念也同化了更多的数学现象以后才能被检验，因此数学概念只有在应用中才能得到巩固、深化与发展.

这节概念课配备了如下的例题：

例1若钟摆的高度h（mm）与时间t（s）之间的函数关系如图1所示.（1）求该函数的周期；（2）求t=10 s时钟摆的[HJ1.45mm]高度.

师组织学生围绕以下问题展开讨论：

问题1：周期函数的图象具有什么特征？

问题2：能否根据周期性找到t=10 s时钟摆的高度？

例2求函数y=cos2x的周期.

思考：自编一道三角函数题，请同座位思考是否为周期函[JP3]数？若是周期函数，周期是多少？ 若不是周期函数，请说明理由. [JP]

该问题的设计意图是想让学生能够感受到自己是课堂的主人，是学习活动中自由的“生命体”.但是由于学生的层次比较低，这个环节在具体实施过程中很难推进，不能体现有效性，给的3分钟的时间不能完成布置的任务，笔者表示很遗憾.这个环节的不成功，使得接下来的y=Asin（ωx+φ）（A，ω，φ都是常数，A≠0，ω>0）的周期的概括和推导就不能顺利的进行.当然，课堂教学过程本身就是一个“精心预设”与“动态生成”和谐统一的过程.备课首先应该先备学生，教师应熟悉学生的认知水平和学习的薄弱之处，要换位思考，真正从学生的角度审视问题.针对这个问题，笔者认为，概念的教学是一个值得继续探究的过程，是要贯穿在平时的教学过程中，潜移默化的去[LL][HJ1.3mm]发展学生的思维的过程，是一个长远的过程.如果再上一次，我想把这个问题改成例题，直接改为：求下列函数的周期：

（1）y=cos2x；

（2）y=2cos（x+π3）；

（3） y=2sin12x；

（4）y=Asin（ωx+φ） （A，ω，φ都是常数，A≠0，ω>0）.

张乃达老师给出的建议是：本节可以拓展的有（1）证明2π是y=sinx的最小正周期；（2）对于例2要好好处理，实际是形式化的证明.求y=cos2x的最小正周期，回顾定义，T是x的增量，等式cos（2x+2π）=cos2x，2x增加了2π，那x增加了多少？得到cos2（x+π）=cos2x.先讲直观的认识猜想，再回到定义，用形式化的方法证明.

有一位哲人说过：“教师最容易犯的错误，是把结论简单地告诉学生.高明的教师总是将自己想说的东西掩藏起来，放到最后.”从皮亚杰对认知发生、 发展的生动分析中， 我们看到， 皮亚杰认知发展理论用建构的观点探讨认知的发展， 尤其强调活动在认知发展和知识建构中的作用.为此，在概念教学中多花一些时间是值得的，只有理解、掌握了概念，才能更好地帮助学生认识数学的思想和本质，进一步发展学生的思维，提高学生的解题能力.

最后引用陈光立老师说的一句话作为结束语：“教之道在于度，学之道在于悟.”