三段截尾变量小值概率上界的估计

李宗秀，吴 捷

(1.黑龙江财经学院基础部，哈尔滨150025，2.黑龙江科技学院资源与环境工程学院，哈尔滨150027)

小值概率的研究属于小偏差概率，有着较广的适用性.在国外，对概率界的估计研究的历史较长，能一直追溯到Chebyshev，他在给定一、二阶矩的条件下，对概率进行估计，并给出了切比雪夫不等式，概率估计这一问题在切比雪夫不等式这个结论产生之后，发生了质的飞跃.后来Stieltjes解决了如何找到一个φ(x)使得它的各阶矩∫∞0xkdφ(x)，k=0，1……，的值分别与给定的mk相等，其中φ(x)是定义在区间［+0，+∞)上有界的单调不减函数.这为研究小偏差概率提供了一个非常有效的方法.Karlin·S和Isii·K分别独立提出使用对偶理论处理矩问题，这为小偏差概率又提供了一种研究此问题的有效工具;Karlin·S改善了密度函数是单峰分布的截尾变量的切比雪夫不等式，使其应用的范围更加宽广.由于经济和金融领域的需求，均值界的估计问题油然而生，尤其是在期权价格的估计中，均值界的估计问题被广泛研究.Karlik Natarajan 和 Zhou Liyi［1］于 2007 年研究了三段线性函数均值的界，给出了任意随机变量的计算结果.在国内，对概率和均值界的研究处于起步阶段，李文博和刘国庆做了大量的研究工作，研究成果较为显著［3］.刘国庆，王敏慧［3］研究了二维变量的概率分布的估计.张银龙和刘国庆［4］在给定一、二阶矩的条件下，对随机变量分布函数上下界进行了估计.宋伟平［5］研究了随机变量X∈(－∞，M］的三段截尾线性函数均值的上界，给出了精确的估计.李宗秀，刘国庆［6］研究了随机变量 X∈［a，+∞)三段截尾变量概率分布的上界，并给出使确界可达的分布.本文通过对三段截尾变量小值概率和均值上界的估计，明确了概率和均值变化的界限，使我们更精确地将其应用于破产理论、金融学、风险投资、保险学、化学等领域.

1 主要结果和证明

定理1:设随机变量 C∈［－a，M －a］，a≥0，M＞0，且 EX=m1，EX2=m2，三段线性函数 H(x)=max(0，x，mx－z)，其中 m ＞1，z＞0.当 M ＞max(m1，z/(m －1))时，有

1)当t≤z/(m－1)时

且

而且当X在取－a，t，和M－a三个值时等式成立，并且具有

则

②若

则

证明 1)当t≤z/(m－1)时，则P(H(X)≤t)=P(X+a≤t+a)，记 X+a=Y，t+a=d，Y∈［0，M］则P(H(X)≤t)=P(Y≤d)，基本想法是找到一个二次函数 Q(y)=α+βy+γy2，使得示性函数I(Y≤d)≤Q(y)，于是

经过计算和比较，当

因此将 c1=m1+a，c2=m2+2am1+a2，Y=X+a，d=t+a代入，当t≤z/(m－1)时，①得证.

②若

由对偶原理可知，必须找到一个非常“好”的二次函数最大程度的逼近示性函数，即找到满足示性函数1Y≤d≤Q(y)的二次函数 Q(y)= α + βy+ γy2，于是

分两种情况讨论:

当γ≥0时，则二次函数Q(y)应满足

解方程组(8)得

所以

当γ≤0时，则二次函数Q(y)应满足

解方程组(9)得

所以

经过计算和比较，当

Y∈［0，M］，则 P(H(X)≤t)=P(Y≤k)EY=m1+a=c1，EY2=E(X+a)2=m2+2am1+a2=c2证明方法与(1)类似，此不赘述.

2 结语

本文利用对偶的方法，构造了控制函数，分别对三段截尾变量小值概率的上界进行估计.结果深化了对小值概率理论的原有认识，并在金融学、经济学和化学中有着很强的实际应用价值.

［1］NATARAJAN K，ZHOU Y L.A Mean－variance Bound for a Three－piece Linear Function［J］.Probability in the Engineering and Informational Sciences，2007，21(4):611 －621.

［2］LIU G Q，LI W V.Semiparametric Bounds of Mean and Variance for Exotic Options［J］.Science in China Series A:Mathematics Jul，2009，52(7):1 －14.

［3］LIU G Q，WANG M H.Bounds on Probability and Mean for Truncated Random Variables［J］.Journal of Natural Science of Heilongjiang University，2010，2:19－21.

［4］张银龙，刘国庆，王敏慧.两类截尾变量的均值与方差的估计［J］.哈尔滨理工大学学报，2010，15(5):74－77.

［5］宋伟平.截尾三段线性函数期望与方差的半参数界［D］.哈尔滨:哈尔滨工业大学，2011.

［6］李宗秀，刘国庆.三段截尾变量概率分布的上界［J］.高师理科学刊，2011，31(4):11－12.