小学数学错例的价值研究及运用初探

田武彬+范立军

摘 要：“数学思考”是新修订的全日制义务教育数学课程标准的四大课程目标之一，是学生受到良好数学教育的标志，它对学生的全面、持续、和谐发展有着重要的意义。数学思考亦即数学思维，指以数学知识方法为载体的思维活动过程。真实的课堂不存在完全正确的答案，课堂中的错误往往是学生最朴实的想法，其中蕴含着对问题的思考，也不乏智慧的闪光点。对于学生在课堂上出现的错误，教师可以通过预设错误、利用错误、制造错误和经历来发展培养学生的数学思考能力。

关键词：研究错误；数学思考；策略探寻

课堂是出错的地方，学生的错误是难免的，又是合理的。新课程教学呼唤学生“自主、合作、探究”地学习，而实实在在的探究必然伴随大量错误的生成。可是在现实的数学教学中，教师常常满足于学生的一帆风顺，视学生的错误为洪水猛兽，想方设法以言堵之，结果堵住了学生的错，也堵住了学生的数学思考。尤为可惜的是，错例蕴含的教学价值没有得到充分认识和运用。如果能挖掘数学错例中的价值，合理利用学生的错误资源，并以此来培养学生的数学思考能力，那岂不是有了“山重水复疑无路，柳暗花明又一村”的效果？这样既纠正了学生的错误，又落实了课程目标，一举两得，何乐而不为？

一、预设“错误”，使数学思考能“未雨绸缪”

教师需要炼就一双慧眼，在教材中，在课堂教学中估计学生易犯的错误，善于发现错误背后隐藏的教学价值，引领学生从错误中进行数学思考。

1.在深挖教材的基础上预设错误

教师要深入读懂习题，把握习题，能根据习题挖掘出学生错误的原因和背后的难点，搞清知识结构的关系，弄明白教材内容反映在学生主体上会产生哪些可能，提前预设学生可能出现哪些错误，做到心中有数。

教材“用‘进一法和‘去尾法解决问题”的练习中有这样一道习题：“在一个长7分米、宽5分米的长方形纸上，要剪出边长是2分米的正方形，最多能剪出这样的正方形多少个？”大部分学生面对这个问题会这样来解决：7×5=35（平方米），2×2=4（平方米），35÷4=8（个）……3（平方米）。答：最多能剪出这样的正方形8个。

从这题的错误来看，学生对计算结果应“进一”还是“去尾”的判断都是正确的，说明本节课的教学目标的达成效度还是比较高的。但面对着学生的这个普遍性的错误，教师若能引导学生在做题前先通过动笔画一画来理解题意的话，能正确解答的学生就会增多。

2.在读懂学生的基础上预设错误

在课堂上，教师要具备为学生服务的意识。只有切实倾听学生的声音，尊重学生的发现和问题，才能引领学生从错误中求知，在错误中探索。

如在教学轴对称图形时，出示已学过的平面图形，让学生说说它们是不是轴对称图形？

生：我认为平行四边形是轴对称图形。因为只要把右边的三角形剪下来，拼在左边的三角形下面，它就成了一个长方形，变成长方形之后，把它对折当中的那条线就是轴。它左右两边就相同了，它就叫轴对称图形。

师：挺有道理。你想发表不同意见？说说！

生：我觉得平行四边形不是轴对称图形，因为它对折之后，两边的图形没有完全重合，所以不是轴对称图形。

师：好了，不多说了，两种观点，怎么办？这样，教师先了解一下，好不好？认为平行四边形不是轴对称图形的举手。（生举手。）

师：手放下。认为平行四边形是轴对称图形的举个手。

师：平分秋色，还有一个男同学举了两次手，摇摆不定，没事，现在既然是势均力敌，各方摆出自己的观点，这样，认为是的同学亮出你的观点，认为不是的再次亮出你的观点。好不好？你认为它不是，你的理由是什么？教师这可以给你提供一个大一点的，以为教师发现你想拿是吧！就几个男同学想说，你想说就说吧！

生：因为我把这个平行四边形对折后，它没有完全重合，所以我觉得它不是平行四边形。

师：听起来多有道理啊！反方，还有举手啊！你说，哦！你说过了，保留一点好不好！但是你怎么反驳她，她说给它一点不就好了吗？

生：我认为平行四边形只是面积相同，而不是轴对称图形。

师：你的意思是把它剪成长方形以后只是面积相等，但是图形的一些性质可能发生变化，是这样吗？可以保留你的意见，你继续说。

生：以为把那个角剪切后它不再是平行四边形而是长方形。所以我认为平行四边形不是轴对称图形。

师：你的发言中有闪光的地方，也有一些小问题。先说你的问题好吗？平行四边形割成长方形后是平行四边形吗？想想平行四边形是长方形吗？长方形还是平行四边形，但是你的发言当中可贵的一点是：你的意思是我们探讨的是这个平行四边形的特征，而不是改装以后的其他图形的特性，是这意思吗？

师：如果我们就认为指定这个平行四边形，你怎么看，你还认为他是轴对称图形吗？说说你的想法就是了。

生：如果单讲这个平行四边形的话，不能裁剪了，就不是轴对称图形。

师：其余同学，你们同意吗？

生：同意。

师：你的退让，让我们又进一步接近了真理，谢谢！没错！我发现正反两方其实都是非常好的观点，但是，当我们把目光聚焦在这个平行四边形上的时候，请问，这个平行四边形它是不是轴对称图形？

生：不是。

……

学生在教师的鼓励下，思考发言更准确和精彩了，数学思考的严密性在这里体现无疑。试想：学生说平行四边形是轴对称图形时，教师如果立即否定这是错误的，如果教师没有具备如何去读懂学生的意识，没有去倾听学生是如何思考方式的意识，学生就不会真正理解知识的内涵和外延了。

二、利用“错误”，使数学思考能“因势利导”

错误是正确的先导，是通向成功的阶梯，有时更是创新火花的闪现。教师在教学中要善于把握机会，要创造性地对待学生的“错误”，让学生在纠错的过程培养学习的兴趣，从错误中获得更多更完美的知识。

1.利用错误资源，激发学习兴趣

新数学课程标准指出，“要关注学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我，建立自信心”。良好的数学情感与态度是学生参与数学活动的重要动力，是克服困难和探索创新的力量源泉。来源于学生学习过程的错误资源最贴近学生，学生对来自于自身的错误本身就存在很强的好奇心，这比教师硬塞给他们几个问题要有用得多。所以只要合理利用“错误资源”，就能较好地促进学生情感的发展，对激发学生的学习兴趣，唤起学生的求知欲具有特殊的作用。

2.利用错误资源，培养创造思维

数学是思维的体操。如果教师能在平时的教学中很好地利用学生的错误资源，使其能更好地为学生创造性思维的培养服务，这无疑将是一举两得的事。

这是一节“打电话”的数学实践课。学生兴致盎然地学完了新课知识后，教师让学生完成这样一道题目：打电话给129位同学最少需要多少分钟？绝大多数同学都认为最少需要用8分钟，这时，有一个学生却站起来说：“教师，不对，应该是7.5分钟。”“不，是8分钟”，“7.5分钟”……就这样，一石激起千层浪，瞬间，教室里响起了争论声，成了一场“数学辩论会”。争了半分钟左右，学生才停了下来。既然有学生提了不同意见，何不将学生抛过来的球再抛给学生，让出现的问题转化成一种教学的资源，让学生主动去探究呢？教师微笑着对学生说：“请大家安静，想想，7分钟后可以通知多少位同学，还剩下多少位同学没有通知到，小组演示一下，看看有没有结果？”“有！”同学们异口同声地说。“那就请大家以四人小组为单位研究一下吧。”过了一分多钟，有学生叫了起来：“老师，确实是8分钟呀！”“是8分钟！”全班学生异口同声，都已经有了肯定的结论。“你们是怎么知道只要花8分钟呢？能跟大家说说吗？”教师让第一个说7.5分钟的同学回答。“老师，我们小组是将通过模拟打电话的方法得知的。”说完，他当场演示了一番。

教师在课堂中，应该灵活地处理学生随机出现的错误，引导学生从不同角度去修正错误，训练学生的思维创新能力，引导学生全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，这是培养学生创造性思维的一种有效办法。

三、制造“错误”，使数学思考能“欲擒故纵”

教师在课堂中巧妙地制造错误，给学生创设良好的思维空间，引导学生多角度思考，全方位审视条件、问题、结论之间的内在联系，这是深化认识、培养学生“数学思考”的有效办法。

1.制造错误，拓宽数学思考的深度

如在教学行程问题时，教师有意设计了一道练习题：“在一条公路上有相距1000米的两个村庄，小红和小明同时从两村出发。小明每分钟行100米，小红每分钟行80米，5分钟后两人相距多少米？”结果会有学生说这道题出得有问题，缺少行走方向这个条件，不能解。这时教师答道：“确实差这个条件，谢谢细心的同学及时发现并提出来。现在你将怎样设计两人的行走方向呢？请你们先设计两人的行走方向，再计算两人相距多少米，行吗？”“然后小组合作，比一比哪组设计的情况多。”

生1：同向左行，列式为1000-（100-80）×5

生2：相向而行，列式为1000-（100+80）×5

生3：同向右行，列式为1000+（100-80）×5

生4：背向而行，列式为1000+（100+80）×5

正是教师蹲下身来的真诚和精心制造的“错误”，为学生的学习营造了宽松的环境，营造了探究的思维空间，生成了课堂的精彩，延伸了教学内容，发展了学生“数学思考”的深度和广度。

2.制造错误，展现数学思考的趣味

这是一节“三角形的分类”，由学生按角把三角形分成锐角三角形、直角三角形和钝角三角形后，教师安排了“认三角形”的练习“猜一猜”：只露出三角形一个角，另外两个角遮住。巧妙的是教师先让学生猜只露出一个直角、一个钝角的三角形。学生根据三角形中只能有一个直角或钝角，很快就猜对了这两个三角形。这时，教师又出示了个锐角，学生都说是锐角三角形。教师再问一次：“没有别的意见吗？”学生又齐答“没有！”教师叫起一名学生问其原因，他回答：“因为露出的是锐角，所以肯定是锐角三角形。”教师对他说：“好，那么就一起来把这个三角形叫出来！”教师点击鼠标，一个直角三角形跃入眼帘。几秒的惊讶与沉寂过后，学生明白了：每种三角形都至少有两个锐角，所以凭一个锐角是不能判断它是什么三角形的。

在这个过程中，教师通过故意制造错误，让学生充分暴露错误，也让学生自己能不断认识错误，纠正错误，完善概念的本质，体会数学思考的严密性，感受数学思考的趣味性。

正确，可能只是一种模仿；而错误，却绝对是一种经历。教师需要始终站在关注学生发展需求的角度来审视自己的教学行为，去追寻学生思维发展的有效途径，挖掘隐藏在教材中的数学思考，捕捉学生错误中所所蕴含的数学思考。

参考文献：

[1]刘娟娟.有效教学——小学数学教学中的问题与对策[M].长春：东北师范大学出版社，2007.

[2]张秋爽.读懂学生，反思自我——三道期末考试题的剖析[J].教学月刊（小学数学），2010（10）.